Что такое абсолютная погрешность округления
Имея ответ (среднее значение искомой величины), абсолютную (суммарную) погрешность и относительную погрешность, начинаем округление с абсолютной погрешности.
Если абсолютная погрешность начинается с 1,
например, (136; 0,01567; 0,1450),
то оставляем две значащие цифры (140; 0,016; 0,15).
Если абсолютная погрешность начинается с 3 и более,
например, (32; 456; 99; 0,98; 0,0791),
то оставляем одну значащую уифру (30; 500; 100; 1; 0,08).
Принимая во внимание результат округления абсолютной погрешности приступаем к округлению среднего значения искомой величины.
Значашими цифрами называются все цифры, кроме нуля, а также и нуль в двух случаях:
когда нуль стоит между значащими цифрами;
когда нуль стоит в конце числа, если известно, что единиц соответствующего разряда в данном числе не имеется.
Примеры:
Если абсолютную погрешность округлить до десятков (136 => 140), то среднее значение тоже округлим до десятков.
Пример: имеем аср=27894 мм округляем => аср=27890 мм.
Можно записать а=(27890 ± 140) мм.
.
Если абсолютную погрешность округлить до сотен (456 => 500), то среднее значение также округляем до сотен.
Пример: имеем lср=7896897 мм округляем => lср=7896900 мм.
Можно записать l=(7896900 ± 500) мм.
Целая часть числа абсолютной погрешности равна нулю:
Если абсолютную погрешность округлить до двух значащих цифр (0,01567 => 0,016), то среднее значение округляем до числа, содержащего столько же знаков после запятой, сколько их в абсолютной погрешности..
Пример: имеем bср=1,0769 мм округляем => bср=1,077 мм.
Можно записать b=(1,077 ± 0,016) мм.
.
Если абсолютная погрешность округлена до двух значащих цифр (0,00102 => 0,0010), то среднее значение округляем до числа, содержащего столько же знаков после запятой, сколько их в абсолютной погрешности..
Пример: имеем сср=0,07837 мм округляем => сср=0,0784 мм.
Можно записать с=(0,0784 ± 0,0010) мм.
Другие примеры округления абсолютной погрешности:
Если абсолютная погрешность округлена до сотен (456 => 500), то среднее значение округляем до сотен.
Пример: имеем sср=98753 мм округляем => sср=98700 мм.
Можно записать s=(98700 ± 500) мм.
.
Если абсолютная погрешность округлена до десятков (32 =>30), то среднее значение имеем hcp=789 мм округляем => hcp=790 мм.
Мгожно записать h=(790 ± 30) мм.
.
Если fcp=76439 мм, а D f =99 мм. Округляем абсолютную погрешность получаем D f =100 мм, затем округляем среднее значение получаем fcp=76440 мм.
Мгожно записать f =(76440 ± 100) мм.
.
Если dcp=2,7849 мм, а Dd =0,98 мм. Округляем абсолютную погрешность получаем Dd =1,0 мм, затем округляем среднее значение получаем dcp=2,8 мм.
Мгожно записать d =(2,8 ± 1,0) мм.
.
Если kcp=0,7439 мм, а D k=0,0791 мм. Округляем абсолютную погрешность получаем D k =0,08 мм, затем округляем среднее значение получаем kcp=0,74 мм.
Можно записать k =(0,74 ± 0,08) мм.
ВНИМАНИЕ: работая с относительной погрешностью, выраженной в процентах,достаточно записать результат с двумя значащими цифрами.
Пример: d =13,6 % округляем d =14 %
d =0,0187 % округляем d =0,019 %
Приложение А. Погрешности вычислений
Абсолютная и относительная погрешности
Точность полученного в результате вычисления результата определяется погрешностью вычислений. Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную.
Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычисления или измерения:
(А.1)
где а – приближенное значение числа х.
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа:
(А.2)
Истинное значение величины х обычно неизвестно. Имеется лишь приближенное значение а и нужно найти его предельную погрешность 
. В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного числа а. Тогда истинное значение х находится в интервале 
.
Источники погрешностей
Рассмотрим различные причины возникновения погрешностей.
Математическая модель задачи является неточной
Погрешность возникает из-за того, что сам численный метод или математическая модель является лишь приближением к точному методу (например, дифференцирование). Кроме того, любая математическая модель или метод могут внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-то особенности рассматриваемой задачи. Модель может прекрасно работать в одних условиях и быть совершенно неприемлемой в других. Такую погрешность называют также методической. Она всегда имеет место, даже при абсолютно точных данных и абсолютно точных вычислениях. В большинстве случаев погрешность численного метода можно уменьшить до требуемого значения за счет изменения параметров метода (например, уменьшением шага дискретизации, или увеличением количества итераций).
Ошибки в исходных данных
Исходные данные задачи часто являются основным источником погрешностей. Ошибки такого типа неизбежны и проявляются в любых реальных задачах, поскольку любое измерение может быть проведено с только какой-то предельной точностью. Вместе с погрешностями, вносимыми математической моделью, их называют неустранимыми погрешностями, поскольку они не могут быть уменьшены ни до начала решения задачи, ни в процессе ее решения.
Следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точности. Сильное уточнение одних исходных данных при наличии больших погрешностей в других не приводит к повышению точности конечных результатов. Если какие-то отдельные точки данных (измерения) явно ошибочные, их можно исключить из вычислений.
Вычислительные ошибки (ошибки округления)
Ошибки этого типа проявляются из-за дискретной (а не непрерывной) формы представления величин в компьютере. Вычислительные ошибки можно свести к минимуму продуманно организовывая алгоритмы.
Вычислительные ошибки
Рассмотрим подробнее вычислительные ошибки. Допустим, исходные данные не имеют погрешности, но поскольку место в памяти компьютера, отведенное на хранение чисел, ограничено, и соответственно ограничена точность представления чисел, возникновение вычислительных ошибок неизбежно.
Представление чисел с плавающей точкой
Для хранения целых чисел (int, long, unsigned int и т.д.) обычно отводится 4 байта памяти, что позволяет представлять целые числа, находящиеся примерно в диапазоне от 
.
В вычислениях чаще используются вещественные числа (float, double). Такие числа представляются в компьютере в форме с плавающей точкой, и хранятся в логарифмическом виде – мантисса и порядок:
(А.3)
где m – мантисса, p – порядок, а – основание степени.
Например, число 273.9 можно 
представить в виде 
или в компьютерном представлении 2.739E+02.
В таблице А.1 приводится диапазон допустимых значений и другие параметры для чисел с плавающей точкой одинарной (float) и двойной (double) точности.
| Точность | Одинарная | Двойная |
| Размер (байты) | 4 | 8 |
| Наименьшее значение | 1.2·10 −38 | 2.3·10 −308 |
| Наибольшее значение | 3.4×10 +38 | 1.7×10 +308 |
| Размеры степени и мантиссы (биты) | 8-23 | 11-52 |
Таблица A.1. Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей точкой
Для чисел с плавающей точкой существует понятие машинного эпсилон – наименьшего положительного число ε такого, что 
. Например, для числа с одинарной точностью 1 + 0.00000001 = 1. Для одинарной точности 
, а для двойной точности 
.
Погрешность округления
При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений, связанные с ограниченностью хранимых разрядов мантиссы. Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, значение 
могло быть получено округлением чисел 0.73441, 0.73353 и др. При этом 
. При простом отбрасывании лишних разрядов эта погрешность увеличивается вдвое.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую также может быть источником погрешности из-за того, что основание одной системы счисления не является степенью основания другой (например, 10 и 2). Это может привести к тому, что в новой системе счисления число невозможно представить абсолютно точно, например:
Погрешность арифметических действий над приближенными числами
При выполнении операций над приближенными числами можно оценить предельную погрешность результата в зависимости от выполняемой операции. При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются:
, 
(А.4)
При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени:
(А.5)
При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются:
(А.6)
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых вычисляется как:
. (А.7)
Отсюда следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака, заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:
. (А.8)
На практике для оценки погрешности при сложении чисел обычно используют максимальную погрешность 
.
При сложении погрешность будет сильно завесить от абсолютных величин складываемых чисел. Рассмотрим пример сложения двух чисел с одинаковым количеством значащих цифр, но разных по абсолютному значению:
1234 + 0.005678 = 1234.00005678
или в компьютерном представлении:
1.234Е+03 + 5.678Е-03 = 1.234005678Е+03
После сложения количество значащих цифр равно 10. Число с одинарной точностью (float) позволяет хранить только 8 значащих цифр, то есть на самом деле число будет равно 1.2340056Е+03. Две значащие цифры потерялись в процессе сложения. Потеря точности здесь возникает из-за того, что при прибавлении к большому числу малых чисел результат сложения выходит за пределы точности при округлении. Для того чтобы уменьшить погрешность вычислений, нужно складывать числа в порядке возрастания их абсолютной величины. Таким образом можно минимизировать абсолютную величину промежуточной погрешности при каждом сложении.
Рассмотрим теперь вычитание чисел (сложение чисел разного знака, или вычитание чисел одного знака). В соответствии с выражением (А.7) относительная погрешность может быть очень большой в случае, если числа близки между собой, так как даже при малых погрешностях 
результат их сложения в знаменателе может быть очень малым. Чтобы уменьшить погрешность при вычитании, необходимо строить вычислительные алгоритмы таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.
Таким образом, можно сделать вывод, что сложение и вычисление являются плохо обусловленными (неустойчивыми) операторами, так как при некоторых данных даже небольшая погрешность в исходных данных может привести к большой погрешности результата. Уменьшить погрешность можно за счет правильной последовательности операций. Из-за погрешности округления в машинной арифметике важен порядок выполнения операций, и известные из алгебры законы коммутативности (и дистрибутивности) здесь не всегда выполняются.
Абсолютная погрешность
Причины возникновения погрешности измерения
Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.
Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.
Виды погрешности измерений
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Систематическая и случайная погрешности
Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.
Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.
Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.
Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.
Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.
Определение абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:
При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:
Что такое абсолютная погрешность округления
Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или oотносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то
δ = Δ/a.
Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.
Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?
Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться формулой δ = Δ/a. Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).
Что такое абсолютная погрешность округления
Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними
1.1 Виды погрешностей при приближенных вычислениях
Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.
Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.
Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.
Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл — суммой и т.д. Кроме того, вычислительная машина обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.
Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.
Причинами появления погрешностей являются:
Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется неустранимой — она не зависит от математика.
Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.
Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.
Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.
1.2 Приближенные числа
Определение 1.2. Относительной погрешностью приближенного числа a * называется величина:
Любое число d ( a * ) , удовлетворяющее неравенству
