что такое абсолютная величина числа
Модуль числа
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Абсолютная величина. Модуль.
Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).
Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.
Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:
Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:
Абсолютные величины, виды:
Свойства модуля.
.
Так как частное 
= 
, то 
. В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством 
, которое справедливо в силу определения модуля числа.
Основные свойства абсолютной величины.
Вещественные числа.
Комплексные числа.
Алгебраические свойства абсолютной величины.
Для каждого 
имеют место следующие соотношения:
Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:
Абсолютная величина. Модуль.
Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).
Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.
Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:
Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:
Абсолютные величины, виды:
Свойства модуля.
.
Так как частное = , то . В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.
Основные свойства абсолютной величины.
Вещественные числа.
Комплексные числа.
Алгебраические свойства абсолютной величины.
Для каждого имеют место следующие соотношения:
Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:
Нельзя так просто взять и вычислить абсолютное значение
Кажется, задача вычисления абсолютного значения (или модуля) числа совершенно тривиальна. Если число отрицательно, давайте сменим знак. Иначе оставим как есть. На Java это будет выглядеть примерно так:
Вроде бы это слишком просто даже для вопроса на собеседовании на позицию джуна. Есть ли тут подводные камни?
Этот метод JIT-компилятор в идеале может вообще удалить полностью, потому что речь идёт просто про реинтерпретацию набора бит в процессоре, чтобы типы данных сошлись. А сами биты остаются одни и те же и процессору обычно наплевать на типы данных. Хотя говорят, что всё-таки это может привести к пересылке из регистра с плавающей точкой в регистр общего назначения. Но всё равно очень быстро.
Ладно, у нас осталось два ветвления для всех положительных чисел и нулей. Всё равно кажется, что много. Мы знаем, что ветвления — это плохо, если branch predictor не угадает, они могут очень дорого стоить. Можно ли сделать меньше? Оказывается, можно любой нуль превратить в положительный, если вычесть его из 0.0 :
Таким образом, можно написать:
Отлично, у нас теперь всегда одна ветка. Победа? Но как насчёт сделать всегда ноль веток? Возможно ли это?
Этот способ действительно не содержит ветвлений, и профилирование показывает, что пропускная способность метода при определённых условиях увеличивается процентов на 10%. Предыдущая реализация с одним ветвлением была в стандартной библиотеке Java с незапамятных времён, а вот в грядущей Java 18 уже закоммитили улучшенную версию.
В ряде случаев, впрочем, эти улучшения ничего не значат, потому что JIT-компилятор может использовать соответствующую ассемблерную инструкцию при её наличии и полностью проигнорировать Java-код. Например, на платформе ARM используется инструкция VABS. Так что пользы тут мало. Но всё равно интересная статья получилась!
Что такое модуль числа в математике
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.
5-А, если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.