Что такое модуль числа в математике
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.
5-А, если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Разность модулей и модуль разности
Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:
Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:
Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.
Доказательство 4) |a – b| ≥ |a| – |b|:
В этой статье мы детально разберем модуль числа. Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.
Навигация по странице.
Модуль числа – определение, обозначение и примеры
Сначала введем обозначение модуля числа. Модуль числа a будем записывать как 
, то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль целого числа −7 можно записать как 
; модуль рационального числа 4,125 записывается как 
, а модуль иррационального числа 
имеет запись вида 
.
Так мы определились с обозначением, теперь пришло время дать определение модуля числа. Чтобы хорошо понять определение модуля числа необходимо хорошо владеть материалом статьи положительные и отрицательные числа, а также статьи противоположные числа.
Следующее определение модуля относится к действительным числам, а следовательно, и к натуральным числам, и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в последнем пункте этой статьи.
Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и 
. Начнем с нахождения 
. Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, 
. А чему равен модуль числа ? Так как – отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу 
. Таким образом, 
.
В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака, а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа. Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.
Модуль числа как расстояние
Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние. Приведем определение модуля числа через расстояние.
Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.
Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.
Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.
Определение модуля числа через арифметический квадратный корень
Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень.
Для примера вычислим модули чисел −30 и 
на основании данного определения. Имеем 
. Аналогично вычисляем модуль двух третьих: 
.
Свойства модуля
Модулю присущ ряд характерных результатов – свойства модуля. Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z=x+i·y называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части данного комплексного числа.
Модуль комплексного числа z обозначается как 
, тогда озвученное определение модуля комплексного числа может быть записано в виде 
.
Данное определения позволяет вычислить модуль любого комплексного числа в алгебраической форме записи. Для примера вычислим модуль комплексного числа 
. В этом примере действительная часть комплексного числа равна 
, а мнимая – минус четырем. Тогда по определению модуля комплексного числа имеем 
.
Геометрическую интерпретацию модуля комплексного числа можно дать через расстояние, по аналогии с геометрической интерпретацией модуля действительного числа.
Модуль комплексного числа z – это расстояние от начала комплексной плоскости до точки, соответствующей числу z в этой плоскости.
По теореме Пифагора расстояние от точки O до точки с координатами (x, y) находится как 
, поэтому, , где 
. Следовательно, последнее определение модуля комплексного числа согласуется с первым.
Можно также заметить, что произведение комплексного числа на комплексно сопряженное число 
дает сумму квадратов действительной и мнимой части. Действительно, 
. Полученное равенство позволяет дать еще одно определение модуля комплексного числа.
Модуль комплексного числа z – это арифметический квадратный корень из произведения этого числа и числа, комплексно сопряженного с ним, то есть, 
.
В заключение отметим, что все свойства модуля, сформулированные в соответствующем пункте, справедливы и для комплексных чисел.
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности.
А между тем она проста как апельсин. Но чтобы ее понять, давай сначала разберемся зачем нужен модуль.
Вот смотри, ситуация первая.
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая.
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией Lays, если они тебе недовесили?
Нет. Потому что Lays устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
Ситуация третья.
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от нуля в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее.
Что же такое модуль числа?
Модуль – это абсолютная величина
Обозначается модуль просто:
Итак, найдём модуль числа и :
Основные свойства модуля
Вот мы и приблизились к первому свойству модуля:
Модуль не может быть выражен отрицательным числом.
То есть, если – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу:
Если – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу:
Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:
А теперь потренируйся:
Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.
Довольно легко, правда?
А если перед тобой вот такое число:
Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.
Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :
Ну что, попробуем? Оценим :
А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
Разобрался? Тогда попробуй сам:
Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.
А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля?
Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
при условии, что (так как на ноль делить нельзя).
Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:
Почему так? Всё очень просто!
Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.
Рассмотрим на примере:
Выражения также равны, если оба числа отрицательны:
Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:
Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.
Что если перед нами такое выражение:
Число больше нуля, а значит можно просто записать:
Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:
А чему равно такое выражение:
Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?
Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства. И что же получается? А вот что:
Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:
Ну, и почему сомнения? Действуем смело!
Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!
3. Найдите значение выражений:
Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:
Итак, подставим значения и в выражение
Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!
Попробуем упростить выражение
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.
Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
, следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:
Во втором случае просто отбросим знак модуля:
Упростим данное выражение целиком:
Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)
СОДЕРЖАНИЕ
Терминология и обозначения
Определение и свойства
Вещественные числа
Поскольку символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень (в применении к положительному числу), отсюда следует, что
| Икс | знак равно Икс 2 <\ Displaystyle | х | = <\ sqrt <х ^ <2>>>> 
эквивалентно определению, приведенному выше, и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел.
Ниже приведены некоторые дополнительные полезные свойства. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваются четырьмя фундаментальными свойствами, указанными выше.
Два других полезных свойства, касающихся неравенств:
Эти отношения могут использоваться для решения неравенств, касающихся абсолютных значений. Например:
Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными действительными числами, стандартной метрики действительных чисел.
Комплексные числа
где х и у являются действительными числами, то абсолютное значение или модуль из г обозначается | z | и определяется
Когда комплексное число z выражается в полярной форме как
Комплексное абсолютное значение разделяет четыре основных свойства, приведенных выше для реального абсолютного значения.
Важно отметить, что свойство субаддитивности (« неравенство треугольника ») распространяется на любой конечный набор из n комплексных чисел как ( z k ) k знак равно 1 п <\ textstyle (z_
Доказательство комплексного неравенства треугольника
Функция абсолютного значения
Связь со знаковой функцией
Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как функция знака (или знака) возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают взаимосвязь между этими двумя функциями:
Производная
Реальная функция абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума там, где производная не существует.
Первообразный
Первообразной (неопределенного интеграла) вещественной функции абсолютного значения
Расстояние
Стандартное евклидово расстояние между двумя точками
Это можно рассматривать как обобщение, поскольку для и реального, то есть в 1-пространстве, согласно альтернативному определению абсолютного значения, а 1 <\ displaystyle a_ <1>> б 1 <\ displaystyle b_ <1>>
Выше показано, что расстояние «абсолютное значение» для действительных и комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одномерного и двумерного евклидова пространства соответственно.
Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, данные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функции расстояния следующим образом:
Обобщения
Заказанные кольца
Четыре основных свойства абсолютного значения для действительных чисел могут использоваться для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.
Векторные пространства
Опять же, фундаментальные свойства абсолютного значения для действительных чисел могут быть использованы, с небольшими изменениями, для обобщения этого понятия на произвольное векторное пространство.
Композиционные алгебры
Что такое абсолютная величина разности
Дан массив, содержащий 2014 вещественных чисел. Напишите на одном из языков программирования программу, находящую в этом массиве два соседних элемента, значения которых наименее близки, то есть абсолютная величина их разности максимальна. Если таких пар несколько, можно взять любую из них. Программа должна вывести найденные элементы. Исходные данные объявлены так, как показано ниже. Запрещается использовать переменные, не описанные ниже, но разрешается не использовать часть из описанных.
DIM I, J, K AS INTEGER
a: array [1..N] of real;
using namespace std;
нц для i от 1 до N
# целочисленные переменные j, k
# и вещественные d, r
В качестве ответа Вам необходимо привести фрагмент программы, который должен находиться на месте многоточия. Вы можете записать решение также на другом языке программирования (укажите название и используемую версию языка программирования, например Free Pascal 2.4). В этом случае вы должны использовать те же самые исходные данные и переменные, какие были предложены в условии.
Программа рассматривает все пары соседних чисел в массиве, определяет абсолютное значение разности элементов в каждой паре и находит максимум среди этих разностей. Для запоминания и последующего вывода можно хранить индекс первого элемента текущей наиболее подходящей пары, а в конце программы выводить элемент с данным индексом и следующий за ним.
Пример фрагмента программы на Паскале
for i:=2 to N-1 do begin
В качестве начального значения для максимальной разности можно использовать ноль, но даже в этом случае нужно использовать стартовое значение индекса. Оно будет использовано, если все элементы в массиве окажутся одинаковыми. Можно запоминать не один, а оба индекса найденной пары.
Пример программы на Си
Можно хранить не индексы, а значения элементов. Но поскольку разрешено использование только двух вещественных переменных, в этом случае не удастся запоминать разности, их придётся каждый раз вычислять заново.
Пример программы на Алгоритмическом языке
нц для i от 2 до N-1
если abs(a[i+1]-a
Допускаются и другие способы решения, если они соответствуют указанным в условии ограничениям и приводят к правильному ответу.
