Что такое упругий и неупругий удар
Задачи физики, в которых рассматриваются движущиеся и ударяющиеся друг о друга тела, предполагают для их решения знание законов сохранения импульса и энергии, а также понимание специфики самого взаимодействия. В данной статье дается теоретическая информация об упругом и неупругом ударах. Также приводятся частные случаи решения задач, связанных с данными физическими понятиями.
Количество движения
Перед рассмотрением абсолютно упругого и неупругого удара необходимо дать определение величине, которая известна, как количество движения. Ее принято обозначать латинской буквой p. Вводится в физику она просто: это произведение массы на линейную скорость движения тела, то есть имеет место формула:
Вам будет интересно: Алебастр: формула и виды
Это векторная величина, но для простоты она записана в скалярной форме. В данном понимании количество движения рассматривалось Галилеем и Ньютоном в XVII веке.
Эта величина не выводится. Ее появление в физике связано с интуитивным пониманием наблюдаемых в природе процессов. Например, каждый хорошо представляет, что остановить лошадь, которая бежит со скоростью 40 км/ч, гораздо тяжелее, чем муху, летящую с той же скоростью.
Импульс силы
Вам будет интересно: Арифметический квадратный корень и его свойства
Количество движения многие называют просто импульсом. Это не совсем верно, поскольку под последним понимают воздействие силы на объект в течение некоторого промежутка времени.
Если сила (F) не зависит от времени ее действия (t), тогда импульс силы (P) в классической механике записывается следующей формулой:
Пользуясь законом Ньютона, перепишем это выражение так:
Мы получили интересный результат: импульс силы равен количеству движения, которое он сообщает телу. Именно поэтому многие физики просто опускают слово «сила» и говорят импульс, имея в виду количество движения.
Записанные формулы также ведут к одному важному выводу: при отсутствии внешних сил любые внутренние взаимодействия в системе сохраняют ее суммарное количество движения (импульс силы равен нулю). Последняя формулировка известна в качестве закона сохранения импульса изолированной системы тел.
Понятие о механическом ударе в физике
Вам будет интересно: Что свидетельствует о зарождении феодальных отношений на Руси?
Теперь пришло время перейти к рассмотрению абсолютно упругого и неупругого ударов. Под механическим ударом в физике понимают одновременное взаимодействие двух или более твердых тел, в результате которого происходит обмен энергией и количеством движения между ними.
Частными случаями столкновения являются абсолютный упругий и неупругий удары (последний также называют эластичным или пластичным). Рассмотрим, что они собой представляют.
Идеальные виды ударов
Упругие и неупругие удары тел являются идеализированными случаями. Первый из них (упругий) означает, что при столкновении двух тел не создается никакой остаточной деформации. Когда одно тело сталкивается с другим, то в некоторый момент времени происходит деформация обоих объектов в области их контакта. Эта деформация служит механизмом передачи энергии (количества движения) между объектами. Если она является абсолютно упругой, то после удара никаких потерь энергии не происходит. В этом случае говорят о сохранении кинетической энергии взаимодействующих тел.
Второй вид ударов (пластический или абсолютно неупругий) означает, что после соударения одного тела о другое, они «слипаются» друг с другом, поэтому после удара оба объекта начинают двигаться как единое целое. В результате этого удара некоторая часть кинетической энергии расходуется на деформацию тел, трение, выделение тепла. При этом виде соударения энергия не сохраняется, но количество движения остается неизменным.
Абсолютно упругое столкновение
m1*v1 +m2*v2 = m1*u1 +m2*u2.
Эта система используется для решения любых задач с любыми начальными условиями. В данном примере ограничимся частным случаем: пусть массы m1 и m2 двух шаров равны. Кроме того, начальная скорость второго шара v2 равна нулю. Необходимо определить результат центрального упругого столкновения рассматриваемых тел.
С учетом условия задачи, перепишем систему:
Подставляем второе выражение в первое, получаем:
u12 + u22 + 2*u1*u2 = u12 + u22 => u1*u2 = 0
Последнее равенство справедливо, если одна из скоростей u1 или u2 равна нулю. Вторая из них не может быть нулевой, поскольку при попадании первого шара во второй, он неминуемо начнет двигаться. Это означает, что u1 = 0, а u2 > 0.
Таким образом при упругом столкновении движущегося шара с покоящимся, массы которых одинаковы, первый передает свой импульс и энергию второму.
Неупругий удар
В этом случае шар, который катится, при столкновении со вторым шаром, который покоится, прилипает к нему. Дальше оба тела начинают движение, как одно целое. Поскольку импульс упругих и неупругих ударов сохраняется, то можно записать уравнение:
m1*v1 + m2*v2 = (m1 + m2)*u
Поскольку в нашей задаче v2=0, то конечная скорость системы из двух шаров определиться следующим выражением:
В случае равенства масс тел, получаем еще более простое выражение:
Скорость двух слипшихся шаров будет в два раза меньше, чем эта величина для одного шара до момента столкновения.
Коэффициент восстановления
m1*v12 + m2*v22 = m1*u12 + m2*u22;
m1*v1 + m2*v2 = m1*u1 + m2*u2.
После ряда упрощений можно получить формулу:
Ее в виде отношения разности скоростей можно переписать следующим образом:
Коэффициент восстановления K имеет вид:
Расчет коэффициента восстановления для «прыгающего» тела
В зависимости от характера удара, коэффициент K может существенно отличаться. Рассмотрим, как можно его рассчитать, для случая «прыгающего» тела, например, футбольного мяча.
Сначала мяч держат на некоторой высоте h0 над поверхностью земли. Затем его отпускают. Он падает на поверхность, отскакивает от нее и поднимается на некоторую высоту h, которую фиксируют. Поскольку скорость поверхности земли до и после ее соударения с мячом была равна нулю, то формула для коэффициента будет иметь вид:
Здесь v2=0 и u2=0. Знак минус исчез, потому что скорости v1 и u1 направлены противоположно. Поскольку падение и подъем мяча является движением равноускоренным и равнозамедленным, то для него справедлива формула:
Выражая скорость, подставляя значения начальной высоты и после отскока мяча в формулу для коэффициента K, получим конечное выражение: K = √(h/h0).
Упругие и неупругие соударения
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.
Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.
Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.
При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.
Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.
Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.
Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.
Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:
M ( M + m ) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда
Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.
Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем
В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что
Абсолютно упругий удар
Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.
Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.
Встречаются случаи, когда массы m 1 и m 2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем
За v 1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v 2 = 0 скорость второго шара, u 1 и u 2 – скорости после столкновения.
Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:
Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения.
С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.
Предельное расстояние
Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v 1 → летящего шара.
При одинаковых массах шаров векторы v 1 → и v 2 → имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m 1 = m 2 = m , тогда определение примет вид
Область применения
Столкновения имеют большое значение для изучения вещества. Отражение и рассеяние света, других электромагнитных волн или даже потока электронов могут быть рассмотрены подобно механическим явлениям. На фотографии или рентгеновском снимке можно рассмотреть предметы, не имея возможности сделать это напрямую. Аналогично для исследования устройства микромира физики проводят столкновение ядер свинца в детекторе Большого Адронного Коллайдера.
Сферы использования
Учёные не могут наблюдать столкновение, но датчики фиксируют частицы, которые образуются в его результате, их характеристики (массу, энергию и импульс). Доступная информация очень ограничена, но, проведя длительный анализ полученных данных на основе теории столкновений и множество расчётов, учёные делают удивительные выводы об устройстве нашего мира.
Теоретическая основа
При ударе выполняются законы сохранения импульса и момента импульса. Но механическая энергия, как правило, не сохраняется. Она переходит в нагрев, деформацию тел, колебания (в том числе акустические) и другие виды энергии. Но для удобства рассмотрения в физике применяются упрощённые модели. Поэтому используются предельные случаи:
Абсолютно упругий удар
При абсолютно упругих столкновениях механическая энергия системы тел сохраняется. Интуитивным примером может стать соударение бильярдных шаров или отскакивание теннисного мячика от твёрдой поверхности. Столкновения молекул, атомов и элементарных частиц в ряде случаев хорошо подчиняются законам протекания упругого удара, хотя они и взаимодействуют лишь посредством полей, в первую очередь электромагнитных.
Физическая модель
Если взглянуть поближе, то при столкновении тел происходит их небольшая деформация. Её отчётливо можно заметить для теннисного мячика. Для бильярдного шара она очень мала, а в случае с заряженными частицами изменяет свою форму их электрическое поле. Эти случаи объединяет то, что деформация близка к упругой.
Поверхности сжимаются подобно пружинам, запасая энергию на доли секунды. Кинетическая энергия тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Но потом поверхности снова выпрямляются, отталкивая тела. В результате энергия снова перетекает в кинетическую. Но эти переходы считаются моментальными. Однако, нельзя считать, что энергия сохранилась для каждого тела. Объекты взаимодействуют и совершают работу. Шар, налетев на другой, теряет скорость. Закон сохранения энергии выполняется лишь для системы, которая не получает приращения энергии от тел извне – закрытой системы.
Тем не менее, кинетическая энергия может быть заключена в разных формах движения тела. Нельзя, например, опрометчиво исключать возможность вращения тел и их форму. Но, опять же, в ряде случаев такими свойствами можно пренебречь. Так работает описание разряженного одноатомного газа (атомы, которые перемещаются по сосуду, взаимодействуя лишь упруго с другими атомами и стенками сосуда).
В ряде случаев удобной для применения является модель центрального удара. В этом случае принимается, что тела движутся только вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Таким образом, можно рассматривать только одну координату, разместив ось вдоль этой прямой. В первую очередь для изучения физики процесса используется именно эта ситуация ввиду её простоты. В более общем случае тела могут двигаться к месту столкновения под разными углами и сталкиваться не на одной линии с направлением скорости, однако это существенно усложняет математическую модель.
Пусть один шар покоится, а второй налетает на него с некоторой скоростью, направление которой проходит через центр масс второго шара.
Взаимодействие будем считать центральным и абсолютно упругим ударом, формулы для законов сохранения энергии и импульса будут иметь вид:
При решении этой системы уравнений получаются выражения для скоростей шаров после столкновения:
Можно заметить, что скорость первого может принимать значения обеих знаков. В данном случае рассматриваются проекции скоростей на ось х, поэтому отрицательная скорость означает направление движения против направления оси, т.е. влево. В то же время скорость второго шара имеет лишь положительные значения. Это подтверждает интуитивное предположение о том, что неподвижный шар при таких условиях может быть оттолкнут первым лишь вправо.
Ещё более упрощённый случай строится, когда массы шаров равны. Тем не менее, он несёт ряд интересных эффектов. Подставив одно значение массы в приведённые выше уравнения, получим:
Выходит, что первый шар полностью останавливается, а второй начинает движение со скоростью, равной начальной скорости первого.
Дело в том, что запасённая потенциальная энергия в равных долях переходит обоим телам (согласно третьему закону Ньютона они отталкиваются с равными силами). Выходит, что первый полностью теряет свою кинетическую энергию, ведь столкновение препятствует его движению. Таким образом, вся энергия переходит второму, который разгоняется в той же мере.
Наглядные эффекты
Упругое столкновение лежит в основе широко распространённой игрушки – маятника Ньютона. Одинаковые стальные шарики подвешиваются на тонких нитках так, что они располагаются очень близко, но в то же время не давят друг на друга, а также исключаются их боковые смещения. Если оттянуть и отпустить один – то происходит ряд упругих столкновений. Дело в том, что между шариками в любом случае имеются хоть небольшие зазоры, ведь это не единое тело.
Абсолютно неупругий удар
При абсолютно неупругом столкновении тела соединяются и продолжают движение как единое целое. Импульс сохраняется, а вот часть энергии расходуется и уже не переходит обратно в кинетическую энергию движения этих тел. Два кусочка мягкого пластилина, налетев друг на друга, склеятся и полетят вместе дальше. Но речь может идти и о захвате одного объекта другим. Даже состыковку блоков космической станции можно рассматривать как неупругое столкновение.
Силы, действие которых приводит к убыванию механической энергии системы, называются диссипативными. В первую очередь к диссипативным относятся силы трения и сопротивления среды. Они всегда направлены против движения тела. В технике диссипативные силы очень часто представляют собой существенную проблему. Во-первых, они снижают коэффициент полезного действия устройств. Во-вторых, энергия, переходящая в деформации, акустические волны и выделение тепла несут разрушающее действие. Таким образом, во многих ситуациях инженеры пытаются снизить их действие. Как следствие, учёт вклада неупругих столкновений важен.
Баллистический маятник
Стоит заметить, что формулировки «тонкий», «длинные» несут весьма конкретный смысл. Слово «тонкий» показывает, что влиянием толщины, трения и напряжения в точках крепления можно пренебречь. «Длинные» нити – смещением по вертикали можно пренебречь. Хотя время удара пули настолько мало, что отклонением можно пренебречь вне зависимости от длины нити.
До столкновения ящик неподвижен, учитывается только энергия пули. После – энергия ящика и пули как единого целого. Начальная и конечная кинетические энергии:
Их разность и покажет потери механической энергии:
Потери кинетической энергии не пропадают бесследно, они переходят в нагрев пули и песка, а также образование акустических волн.
Частные случаи
Важные выводы можно сделать, проверив полученные выражения при различных соотношениях масс ящика и пули. При равных массах уйдёт половина энергии. Если масса пули значительно меньше массы ящика – рассеется почти вся. Когда намного больше – потеряется малая часть, массивное подвижное тело будто бы и не заметит мелкого препятствия.
Реальный удар
В реальных условиях столкновения крайне редко являются такими, что их можно считать абсолютно упругими или неупругими. Они находятся где-то между предельными случаями, поэтому рассматриваются как комбинация этих процессов.
Коэффициент восстановления
Вводится коэффициент восстановления, который показывает степень близости к абсолютно упругому удару:
Значения для некоторых материалов
Приведем величины для различных сталкивающихся веществ:
Коэффициент восстановления показывает, какая доля начальной относительной скорости этих тел восстанавливается к концу удара.
Если предположить, что тело ударяется о неподвижную преграду (или тело гораздо большей массы), то коэффициент покажет соотношение между скоростями первого тела до и после столкновения.
Что такое абсолютно упругое столкновение
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.
С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц).
Ударом (или столкновением ) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.
Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).
Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через 
Тогда по закону сохранения импульса
 |
При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:
 |
Отношение – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:
 |
Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.
При 
почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При 
– во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы () отношение 
Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:
 |
где – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:
 |
Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.
Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.
В общем случае массы и соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии
 |
Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости и шаров после столкновения:
 |
Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.
Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).
После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей 
и 
после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости 
налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей 
и 
шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При эти законы принимают вид:
 |
