Метод аксиоматический
Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания (см. Теория) в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.
При аксиоматическом построении теоретического знания сначала перечисляются основные (неопределяемые) понятия, при этом все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определённые ранее. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через ещё более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Далее формулируется и задаётся набор исходных положений, не требующих доказательства и называемых постулатами или аксиомами (аксиомы — это утверждения, доказательство истинности которых не требуется — см. Аксиома). Затем из них по посредством логических процедур вывода (доказательства) выводятся (дедуцируются) все остальные предложения (утверждения), называемые теоремами. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. Иногда аксиоматическую теорию строят с помощью специального (формализованного) языка символов. В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определённым логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией. Правила, по которым должны проводиться такие рассуждения, рассматриваются в логике (см. Логика). Фиксация определённых правил вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развёртывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. Тем самым аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания и служит средством построения развитой научной теории.
Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто так называемые постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а античные математики делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Следует отметить, что учёт статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, например, одну из них новым постулатом значения.
Наиболее широко аксиоматический метод используется в математике. Он применяется и в эмпирических науках, но с учётом ряда особенностей. В основном сфера применения аксиоматического метода ограничена теми науками, в которых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним чётких предписаний формальной логики, а наибольшая эффективность метода проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчинённую роль. По этой причине попытки применения аксиоматического метода в философии (которая по самому существу занимается неформализованным анализом понятий, при этом не рассматриваемых как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели.
Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. Первоначально он был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Его научная значимость была обоснована ещё Аристотелем в начале III века до новой эры, который первым разделил всё множество истинных высказываний на основные («принципы») и требующие доказательства («доказываемые»). Применительно к геометрии её реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Геометрическая система Евклида стала первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века. Открытие в XIX веке неевклидовой геометрии (К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причём сразу целых их семейств; появление переменных структур вроде групп; наконец, широкое обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» — всё это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Наряду с этим, в конце XIX века Дж. Пеано ввёл аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщён и на логику. Д. Гилберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний (требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом), а П. Бернайс — логики предикатов. В XX веке аксиоматический метод становится формализованным. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий.
Аксиоматические теории представляют собой одну высших форму организации знания. Относительно них могут устанавливаться такие их свойства, как непротиворечивость, полнота, разрешимость, независимость исходных постулатов, определяться их отношения к другим аксиоматическим теориям и так далее. Однако, как показал К. Гёдель, доказавший в 1931 году теорему о принципиальной неполноте любой формальной системы, аксиоматический метод имеет существенные ограничения в своём применении, так как достаточно богатые содержательные теории в принципе не могут быть полностью аксиоматизированы. В дальнейшем были получены и другие ограничительные теоремы, касающиеся аксиоматического метода. В частности, А. Тарский показал, что понятие истины, определяемое относительно некоторой теории, не выразимо средствами этой теории.
Учитывая накладываемые на него ограничения, аксиоматический метод рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (см. Метод гипотетико-дедуктивный) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от аксиоматического метода, предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений аксиоматического метода: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счёт возможности введения дополнительных гипотез, жёстко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, то есть снять ограничение на справедливость аксиоматики «во всех мирах»; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, аксиоматический метод, в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определённым содержательным предметным областям.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Полезное
Смотреть что такое «АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД» в других словарях:
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения науч. теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путём, посредством… … Философская энциклопедия
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — см. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, метод математических рассуждений, основанный на логическом выводе из некоторых утверждений (аксиом). Этот метод является одной из основ математической науки: его использовали еще в древней Греции, а формализацию его… … Научно-технический энциклопедический словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Современная энциклопедия
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории … Большой Энциклопедический словарь
аксиоматический метод — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Аксиоматический метод — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически… … Философия науки: Словарь основных терминов
аксиоматический метод — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. * * * АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ… … Энциклопедический словарь
аксиоматический метод — aksiominis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. axiomatic method vok. axiomatische Methode, f rus. аксиоматический метод, m pranc. méthode axiomatique, f … Fizikos terminų žodynas
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Полезное
Смотреть что такое «АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД» в других словарях:
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — см. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, метод математических рассуждений, основанный на логическом выводе из некоторых утверждений (аксиом). Этот метод является одной из основ математической науки: его использовали еще в древней Греции, а формализацию его… … Научно-технический энциклопедический словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — (греч. axioma значимое, принятое положение) способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные… … Новейший философский словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Современная энциклопедия
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории … Большой Энциклопедический словарь
аксиоматический метод — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Аксиоматический метод — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически… … Философия науки: Словарь основных терминов
аксиоматический метод — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. * * * АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ… … Энциклопедический словарь
аксиоматический метод — aksiominis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. axiomatic method vok. axiomatische Methode, f rus. аксиоматический метод, m pranc. méthode axiomatique, f … Fizikos terminų žodynas
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод (аксиоматизация науки, аксиоматическое построение научного знания) — способ построения отдельных научных теорий, разделов науки и науки в целом, при котором какие-то положения избираются в качестве исходных и не требующих доказательства (истинных), а все остальные положения выводятся из исходных — доказываются — логическим путём. Исходные положения, которые принимаются без доказательств, называются аксиомами, а выводимые из аксиом утверждения — теоремами.
Аксиоматический метод изучается в философии науки.
Исторически аксиоматический метод применялся в Древней Греции в труде Евклида «Начала», написанном в 330−320 годах до нашей эры. Впоследствии на аксиоматическом методе была основана вся математика. Широко применяется аксиоматический метод в физике. Аксиоматический метод так или иначе проявляется в любой научной теории, которую удаётся построить на основе математики: это математизация научного знания.
Содержание
[править] Объективное условие аксиоматизации
Аксиоматическое построение научной теории предполагает стабильность, определенную устойчивость соответствующей части науки, иначе говоря общепринятость соответствующих представлений. На этой стадии теории можно придать законченность, уточнив ее терминологический аппарат и основные выводы.
Тем не менее, согласно современным представлениям о развитии науки, все области науки время от времени испытывают потрясения, которые называются научные революции или смена парадигм. В итоге в процессе развития любой отрасли науки выделяются отрезки спокойного развития, а также отрезки взрывообразного развития, связанного с пересмотром ее основ. Данная концепция развития науки была введена в книге Т. Куна «Структура научных революций».
Аксиоматизация научных знаний может произойти только в период спокойного развития («нормальной науки» в терминологии Куна), а не в период смены парадигмы соответствующего раздела науки.
[править] Этапы становления аксиоматического метода
Выделяемые в философии науки этапы становления аксиоматического метода тесно связаны с развитием понимания понятия аксиомы.
Выделяют три периода, в которые аксиомы понимались по-разному. В первый период, начавшийся в Древней Греции, где и было впервые сформулировано определение аксиомы, под аксиомами стали пониматься положения, которые будучи совершенно очевидными, интуитивно ясными для всех, не нуждаются в доказательстве. Подобное понимание аксиом преобладало вплоть до XIX века вплоть до построения неевклидовых геометрий.
После появления работ Лобачевского и Бояи, показавших, что в основание геометрии могут быть положены разные системы аксиом, появилось новое понимание аксиомы. Аксиомы стали трактоваться как такие положения теории, которые при данном ее построении как дедуктивной теории принимаются за исходные независимо от того, насколько они просты и интуитивно очевидны. При таком подходе аксиомы перестают носить характер абсолютных истин, а становятся зависимыми от того, какая теория строится на их основе.
Третий этап, идущий с конца XIX — начала XX века, связан с программой формалистического обоснованя математики, появившейся в работах Д. Гильберта и его последователей, которые стали придавать аксиомам строго формальный характер. Аксиомами становятся даже не предложения содержательной теории, а наборы формул, из которых по формально определенным правилам вывода, выводятся другие формулы теории, которая становится, таким образом, исчислением формул.
С учетом перечисленных этапов понимания аксиомы, выделяют три периода становления аксиоматического метода:
Эти три этапа соответствуют кризисам в математике, связанных с пересмотром ее парадигмы. Иногда первые два этапа рассматриваются как один (так предлагал, например, С. П. Новиков в книге «Элементы математической логики»).
[править] Аксиоматизация как завершение математизации
Существуют прогнозы, что в ходе дальнейшей математизации науки роль аксиоматического метода будет возрастать, а объем аксиоматизированных знаний — увеличиваться.
По В. Я. Перминову, полная математизация теории — это момент ее развития, когда она может быть полностью аксиоматически построена. Полностью математизированная теория консервируется в своих исходных принципах и ее дальнейшее развитие за счет увеличения области приложения и развития математических средств. Консервация теории говорит об ограничении аспекта исследования через саму форму теории и делает необходимым появления более общих теорий, расширяющих предмет исследования.
Полная математизация некоторых теорий, по-видимому, достигнута лишь в физике. В. Я. Перминов делает вывод, что полная математизация всего знания невозможна, что не противоречит тому, что отдельные области научного знания приобретут законченную математическую форму.
Пример попытки аксиоматизации гуманитарного знания: Аксиоматическая теория потребностей.
