что такое арифметические операции

Арифметика. Арифметические действия

Содержание

Арифметика. Арифметические действия

Обратные арифметические действия

Свойства арифметических действий

Порядок выполнения арифметических действий

Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000; и т.д.

Арифметика. Арифметические действия

Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число.

Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий.

Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Обратные арифметические действия

Вычитание – это арифметическое действие, обратное к сложению, деление – действие, обратное к умножению, извлечение корня – действие, обратное к возведению в степень.

Свойства арифметических действий

Порядок выполнения арифметических действий

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, возведение в степень и извлечение корня – действиями третьей ступени.

Действия одной ступени выполняются в том же порядке, в каком они записаны в формуле.

Если в формуле содержатся действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших ступеней, а затем низших ступеней.

Если формула содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, причем между ними нет никакой разницы.

Если скобки содержат другие скобки, то сначала выполняют действия во «внутренних» скобках.

Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д.

Действительно, например, число 3610 состоит из трёх тысяч, шести сотен и одного десятка, поэтому

Источник

Порядок действий в математике

Основные операции в математике

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Источник

Арифметическая операция

Смотреть что такое «Арифметическая операция» в других словарях:

арифметическая операция — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN arithmetical operation … Справочник технического переводчика

арифметическая операция — aritmetinė operacija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. arithmetic operation vok. arithmetische Operation, f; Rechenoperation, f rus. арифметическая операция, f pranc. opération arithmétique, f … Automatikos terminų žodynas

арифметическая операция — aritmetikos operacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. arithmetic operation vok. arithmetische Operation, f rus. арифметическая операция, f pranc. opération arithmétique, f … Fizikos terminų žodynas

арифметическая операция — Операция машины, включающая (в качестве основной) операцию, в которой операнды воспринимаются как числа и результат которой является также числом … Политехнический терминологический толковый словарь

Деление по модулю — Операция деления по модулю в различных языках программирования Язык Оператор Знак результата Делимое Ada mod Частное rem Делимое ASP Mod Не определено C (ISO 1990) % Не определено C (ISO 1999) … Википедия

Деление с остастком — Операция деления по модулю в различных языках программирования Язык Оператор Знак результата Делимое Ada mod Частное rem Делимое ASP Mod Не определено C (ISO 1990) % Не определено C (ISO 1999) … Википедия

Деление с остатком — Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.… … Википедия

СЛОЖЕНИЕ — СЛОЖЕНИЕ, арифметическая операция, обозначаемая знаком + (плюс). Ее называют ДВОИЧНОЙ ОПЕРАЦИЕЙ, поскольку для того, чтобы операция имела смысл, необходимы по меньшей мере два числа (или элемента) … Научно-технический энциклопедический словарь

Источник

Введение в модулярную арифметику

Для любой системы взаимно простых чисел p₁, … p_n, любое число X из диапазона [0; M), где M = p₁*p₂*…*p_n взаимооднозначно представимо в виде вектора (a₁, a₂, …, a_n), где a_i = X%p_i (здесь и далее «%» — операция взятия остатка от целочисленного деления X на p_i).
p₁, … p_n – модули системы
a₁, a₂, …, a_n – остатки (вычеты) числа по заданной системе модулей

Прямое преобразование

Прямое преобразование из позиционной системы счисления (обычно в двоичном виде) в систему счисления в остатках заключается в нахождении остатков от деления по каждому из модулей системы.

Пример: Пусть требуется найти представление числа X = 25 по системе модулей (3, 5, 7). X = (25%3, 25%5, 25%7) = (1, 0, 4).

Реализация нахождения вычета в микроэлектронике по заданному модулю строится на следующих свойствах вычетов:
(a+b) % p = (a%p + b%p)%p
(a*b) % p = (a%p * b%p)%p

Любое число X можно записать в виде X%p = (x_n-1*2 n-1 + x_n-2*2 n-2 + x₀*2 0 )%p = ((x_n-1)%p*2 n-1 %p) + ((x_n-2)%p*2 n-2 %p) + … + x₀%p)%p. Поскольку в данном случае x_n-1, … x₀ равны 0 или 1, то фактически нам требуется сложить вычеты вида (2 i %p).

Пример: пусть задано число 25 или в двоичной системе счисления 11001 и требуется найти остаток по модулю 7.
25%7 = (1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0* 1 + 1*2 0 )%7 = (2 4 %7 + 2 3 %7 + 1%7)%7 = (2 + 1 + 1)%7 = 4

Арифметические операции

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), то есть мы можем выполнять операции, результат которых не превышает 3*5*7 = 105. Умножим два числа 8 и 10.
8 = (8%3, 8%5, 8%7) = (2, 3, 1)
10 = (10%3, 10%5, 10%7) = (1, 0, 3)
8*10 = ((2*1)%3, (3*0)%5, (1*3)%7) = (2, 0, 3)
Проверяем
80 = (80%3, 80%5, 80%7) = (2, 0, 3)

Обратное преобразование

Способ, основанный на Китайской теореме об остатках, базируется на следующей идее:
X = (x₁, x₂, … x_n) = (x₁, 0, …, 0) + (0, x₂, …, 0) + … + (0, 0, …., x_n) = x₁*(1, 0, …, 0) + x₂*(0, 1, …, 0) + … + x_n*(0, 0, …, 1).
То есть для обратного преобразования требуется найти систему ортогональных базисов B1 = (1, 0, …, 0), B2 = (0, 1, …, 0), …, BN = (0, 0, …, 1). Эти вектора находятся один раз для заданного базиса, а для их поиска требуется решить уравнение вида: (M_i*b_i)%p_i = 1, где M_i = M/p_i, а b_i – искомое число. В этом случае позиционное представление B_i = M_i*b_i и
X = (x₁*(M₁*b₁) + x₂*(M₂*b₂) + … + x_n*(M_n*b_n))%M

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), найдем значения M_i и b_i (0 b₁ = 2
(21*b₂)%5 = 1 => b₂ = 1
(15*b₃)%7 = 1 => b₃ = 1
Теперь преобразуем какое-нибудь число в системе остаточных классов. Положим
X = (2, 3, 1) = (2*35*2 + 3*21*1 + 1*15*1)%105 = (140 + 63 + 15)%105 = 218%105 = 8

Минус этого метода заключается в том, что для обратного преобразования требуется умножение и сложение больших чисел (M₁, …, M_n), а так же операция взятия остатка по модулю большого числа M.

Источник

Основные арифметические действия: определения, примеры

В данной публикации мы рассмотрим определения, общие формулы и примеры 4 основных арифметических (математических) действий с числами: сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение

Сложение – это математическое действие, в результате которого находится сумма.

Обозначается сложение специальным знаком “+“ (плюс), а сумма – “Σ“.

Пример: найдем сумму чисел.
1) 3, 5 и 23.
2) 12, 25, 30, 44.

Ответы:
1) 3 + 5 + 23 = 31
2) 12 + 25 + 30 + 44 = 111.

Вычитание

Вычитание чисел – это обратное сложению математическое действие, в результате коротого находится разность ( c ). Например:

Обозначается вычитание специальным знаком “–“ (минус).

Пример: найдем разность чисел.
1) 62 минус 32 и 14.
2) 100 минус 49, 21 и 6.

Ответы:
1) 62 – 32 – 14 = 16.
2) 100 – 49 – 21 – 6 = 24.

Умножение

Умножение – это арифметическое действие, в результате которого вычисляется произведение.

Обозначается умножение специальными знаками “·“ или “x“.

Пример: найдем произведение чисел.
1) 3, 10 и 12.
2) 7, 1, 9 и 15.

Ответы:
1) 3 · 10 · 12 = 360.
2) 7 · 1 · 9 · 15 = 945.

Деление

Деление чисел – это обратное умножению действие, в результате коротого вычисляется частное ( d ). Например:

Обозначается деление специальными знаками “:“ или “/“.

Пример: найдем частное чисел.
1) 56 разделим на 8.
2) 100 разделим на 5, затем на 2.

Ответы:
1) 56 : 8 = 7.
2) 100 : 5 : 2 = 10 (, ).

Источник