что такое cd в химии и в чем измеряется

Концентрация растворов

Концентрация — величина, характеризующая количественный состав раствора.

Согласно правилам ИЮПАК, концентрацией растворённого вещества (не раствора) называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объёму раствора (моль/л, г/л), то есть это отношение неоднородных величин.

Те величины, которые являются отношением однотипных величин (отношение массы растворённого вещества к массе раствора, отношение объёма растворённого вещества к объёму раствора), правильно называть долями. Однако на практике для обоих видов выражения состава применяют термин концентрация и говорят о концентрации растворов.

Существует много способов выражения концентрации растворов.

Содержание

Массовая доля

Массовая доля — отношение массы растворённого вещества к массе раствора. Массовая доля измеряется в долях единицы или в процентах.

,

Массовое процентное содержание компонента, m%

В бинарных растворах часто существует однозначная (функциональная) зависимость между плотностью раствора и его концентрацией (при данной температуре). Это даёт возможность определять на практике концентрации важных растворов с помощью денсиметра (спиртометра, сахариметра, лактометра). Некоторые ареометры проградуированы не в значениях плотности, а непосредственно концентрации раствора (спирта, жира в молоке, сахара). Следует учитывать, что для некоторых веществ кривая плотности раствора имеет максимум, в этом случае проводят 2 измерения: непосредственное, и при небольшом разбавлении раствора.

Часто для выражения концентрации (например, серной кислоты в электролите аккумуляторных батарей) пользуются просто их плотностью. Распространены ареометры (денсиметры, плотномеры), предназначенные для определения концентрации растворов веществ.

Пример. Зависимость плотности растворов H₂SO₄ от её массовой доли в водном растворе при 25 °C [источник не указан 235 дней]

ω, %	5	10	15	20	30	40	50	60	70	80	90	95
ρ H2SO4, г/мл	1,032	1,066	1,102	1,139	1,219	1,303	1,395	1,498	1,611	1,727	1,814	1,834

Объёмная доля

Объёмная доля — отношение объёма растворённого вещества к объёму раствора. Объёмная доля измеряется в долях единицы или в процентах.

,

Как и было указано выше, существуют ареометры, предназначенные для определения концентрации растворов определённых веществ. Такие ареометры проградуированы не в значениях плотности, а непосредственно концентрации раствора. Для распространённых растворов этилового спирта, концентрация которых обычно выражается в объёмных процентах, такие ареометры получили название спиртомеров или андрометров.

Молярность (молярная объёмная концентрация)

Молярная концентрация — количество растворённого вещества (число молей) в единице объёма раствора. Молярная концентрация в системе СИ измеряется в моль/м³, однако на практике её гораздо чаще выражают в моль/л или ммоль/л. Также распространено выражение в «молярности». Возможно другое обозначение молярной концентрации , которое принято обозначать М. Так, раствор с концентрацией 0,5 моль/л называют 0,5-молярным. Примечание: единица «моль» не склоняется по падежам. После цифры пишут «моль», подобно тому, как после цифры пишут «см», «кг» и т. д.

,

Нормальная концентрация (мольная концентрация эквивалента, или просто «нормальность»)

Нормальная концентрация — количество эквивалентов данного вещества в 1 литре раствора. Нормальную концентрацию выражают в моль-экв/л или г-экв/л (имеется в виду моль эквивалентов). Для записи концентрации таких растворов используют сокращения «н» или «N». Например, раствор содержащий 0,1 моль-экв/л, называют децинормальным и записывают как 0,1 н.

,

Нормальная концентрация может отличаться в зависимости от реакции, в которой участвует вещество. Например, одномолярный раствор H₂SO₄ будет однонормальным, если он предназначается для реакции со щёлочью с образованием гидросульфата калия KHSO₄, и двухнормальным в реакции с образованием K₂SO₄.

Мольная (молярная) доля

Мольная доля — отношение количества молей данного компонента к общему количеству молей всех компонентов. Мольную долю выражают в долях единицы.

,

Моляльность (молярная весовая концентрация, моляльная концентрация)

Моляльность — количество растворённого вещества (число моль) в 1000 г растворителя. Измеряется в молях на кг, также распространено выражение в «моляльности». Так, раствор с концентрацией 0,5 моль/кг называют 0,5-мольным.

,

Следует обратить особое внимание, что несмотря на сходство названий, молярная концентрация и моляльность — величины различные. Прежде всего, в отличие от молярной концентрации, при выражении концентрации в моляльности расчёт ведут на массу растворителя, а не на объём раствора. Моляльность, в отличие от молярной концентрации, не зависит от температуры.

Титр раствора

Титр раствора — масса растворённого вещества в 1 мл раствора.

,

В аналитической химии обычно концентрацию титранта пересчитывают применительно к конкретной реакции титрования таким образом, чтобы объём использованного титранта непосредственного показывал массу определяемого вещества; то есть титр раствора показывает, какой массе определяемого вещества (в граммах) соответствует 1 мл титрованного раствора.

Весообъёмные проценты

Соответствуют отношению массы одной части вещества (например, 1 г) к 100 частям объёма раствора (например, к 100 мл). [1] Этот способ выражения используют, например, в спектрофотометрии, если неизвестна молярная масса вещества или если неизвестен состав смеси, а также по традиции в фармакопейном анализе. [2]

Другие способы выражения концентрации растворов

Существуют и другие, распространённые в определённых областях знаний или технологиях, методы выражения концентрации. Например, в фотометрии часто используют массовую концентрацию, равную массе растворённого вещества в 1 л раствора. При приготовлении растворов кислот часто указывают, сколько объёмных частей воды приходится на одну объёмную часть концентрированной кислоты (например, 1:3). Концентрация загрязнений в воздухе может выражаться в частях на миллион (ppm). Иногда используют также отношение масс (отношение массы растворённого вещества к массе растворителя) и отношение объёмов (аналогично, отношение объёма растворяемого вещества к объёму растворителя).

Применимость способов выражения концентрации растворов, их свойства

В связи с тем, что моляльность, массовая доля, мольная доля не включают в себя значения объёмов, концентрация таких растворов остаётся неизменной при изменении температуры. Молярность, объёмная доля, титр, нормальность изменяются при изменении температуры, так как при этом изменяется плотность растворов. Именно моляльность используется в формулах повышения температуры кипения и понижения температуры замерзания растворов.

Разные виды выражения концентрации растворов применяются в разных сферах деятельности, в соответствии с удобством применения и приготовления растворов заданных концентраций. Так, титр раствора удобен в аналитической химии для волюмометрии (титриметрического анализа) и т. п.

Формулы перехода от одних выражений концентраций растворов к другим

От массовой доли к молярности:

,

От молярности к нормальности:

,

От массовой доли к титру:

,

От молярности к титру:

,

От молярности к моляльности:

,

От моляльности к мольной доле:

,

Источник

Концентрации и доли. Как перевести одну концентрацию в другую.

При решении химических задач, при расчётах на работе, да и просто в жизни иногда приходится рассчитывать концентрации. Неважно, будет это школьная теоретическая задача, необходимость приготовить электролит для аккумулятора автомобиля, надобность узнать количество сахара для компота — все расчёты концентраций выполняются по известным формулам, которых не так много. Однако, с этим часто возникают трудности.

Прочитав эту статью, Вы научитесь легко рассчитывать концентрации веществ и при надобности играючи переводить одну концентрацию в другую. В статье приводятся примеры задач с решениями, а в конце приведём справочную табличку с формулами, которую можно распечатать и держать под рукой.

Массовая доля

Начнём с простого, но в то же время нужного способа выражения концентрации компонента в смеси — массовой доли.

Массовая доля есть отношение массы данного компонента к сумме масс всех компонентов. Обозначать её принято буквой w или ω (омега).

Рассчитывается массовая доля по формуле:

где \Large w_ — массовая доля компонента i в смеси,

\Large m_ — масса этого компонента,

m — масса всей смеси.

И сразу разберём на примере:

Задача:

Зимой дороги посыпают песком с солью. Известно, что куча имеет массу 50 кг, и в неё всыпали 1 кг соли и перемешали. Найти массовую долю соли.

Решение:

Масса соли есть \Large m_ по формуле выше. Масса всей смеси нам пока неизвестна, но найти её легко. Просуммируем массу песка и соли:

\Large m = m_<п>+m_<с>= 50 кг + 1 кг = 51 кг

А теперь находим и массовую долю:

\Large w_ <с>= \frac> = 1 кг / 51 кг = 0.0196,

или умножаем на 100% и получаем 1.96%.

Ответ: 0.0196, или 1.96%.

Теперь решим что-то посложнее, и ближе к ЕГЭ.

Задача:

Смешали 200 г раствора глюкозы с массовой концентрацией 25% и 300 г раствора глюкозы с массовой концентрацией 10%. Найти массовую концентрацию полученного раствора, ответ округлить до целых.

Решение:

Обозначим первый и второй растворы соответственно \Large m_ <1>и \Large m_ <2>. Массу полученного после смешения раствора обозначим \Large m и найдём:

\Large m = m_ <1>+ m_ <2>= 200 г + 300 г = 500 г

Массу самой глюкозы в первом и втором растворе обозначим \Large m_ <гл. 1>и \Large m_ <гл. 2>. По формуле (1) это будут наши массы компонентов. Массы растворов нам известны, их массовые концентрации тоже. Как найти массу компонента? Очень просто, находим неизвестное делимое умножением (и не забываем, что проценты — это сотые части):

\Large m_ <гл. 1>= w_<1>\cdot m_ <1>= 0.25 \cdot 200 г = 50 г

\Large m_ <гл. 2>= w_<2>\cdot m_ <2>= 0.1 \cdot 300 г = 30 г

Таким образом, общая масса глюкозы \Large m_ <гл>:

\Large m_ <гл>= m_ <гл. 1>+ m_ <гл. 2>= 50 г + 30 г = 80 г.

Ответ: 80 г.

Задачи на смешение раствором с разными концентрациями одного вещества можно решать с помощью «конверта Пирсона».

Объёмная доля

Часто, когда мы имеем дело с жидкостями и газами, удобно оперировать их объёмами, а не массой. Поэтому, чтобы выражать долю какого-либо компонента в таких смесях (но и в твёрдых тоже вполне можно), пользуются понятием объёмной доли.

Объёмная доля компонента — отношение объёма компонента к сумме объёмов компонентов до смешивания. Объёмная доля измеряется в долях единицы или в процентах. Обычно обозначается греческой буквой φ (фи).

Рассчитывается объёмная доля по формуле:

где \Large \phi_ — объёмная доля компонента B;

\Large V_ — объём компонента B;

\Large \sum> — сумма объёмов всех компонентов.

Здесь важно понимать, что в формулу по возможности подставляем именно сумму объёмов всех компонентов, а не объём смеси, так как при смешивании некоторых жидкостей суммарный объём уменьшается. Так, если смешать литр воды и литр спирта, два литра аквавита мы не получим — будет примерно 1800 мл. В школьных задачах, как правило, это не так важно, но в уме держим и помним.

Задача:

Смешали 6 объёмов воды и 1 объём серной кислоты. Найти объёмную долю кислоты в полученном растворе.

Решение:

Так как объёмная доля — безразмерная величина, объёмы компонентов в условии задачи могут даваться в любых единицах — литрах, стаканах, баррелях, штофах, сексталях — главное, чтобы в одинаковых. Если не так — переводим одни в другие, если одинаковые — решаем. В нашем условии описаны просто некоторые «объёмы», их и подставляем.

Ответ: 14.3 %.

С газами всё обстоит немного интереснее — при не очень больших давлениях и температурах объёмная доля какого-либо газа в газовой смеси равна его мольной доле. (Ведь мы знаем, что молярный объём газов почти равен 22.4 л/моль).

Задача:

Мольная доля кислорода в сухом воздухе составляет 0.21. Найдите объёмную долю азота, если объёмная доля аргона составляет 1%.

Решение:

Внимательный читатель заметил, что мы написали о том, что объёмная и мольная доля для газов в смеси равны. Поэтому, объёмная доля кислорода равна также 0.21, или 21%. Найдём объёмную долю азота:

Ответ: 78%.

Мольная доля

В тех случаях, когда нам известны количества веществ в смеси, мы можем выразить содержание того или иного компонента с помощью мольной доли.

Мольная доля — отношение количества молей данного компонента к общему количеству молей всех компонентов. Мольную долю выражают в долях единицы. ИЮПАК рекомендует обозначать мольную долю буквой x (а для газов — y).

Находят мольную долю по формуле:

где \Large x_ — мольная доля компонента B;

\Large n_ — количество компонента B, моль;

\Large \sum> — сумма количеств всех компонентов.

Разберём на примере.

Задача:

При неизвестных условиях смешали 3 кг азота, 1 кг кислорода и 0.5 кг гелия. Найти мольную долю каждого компонента полученной газовой смеси.

Решение:

Сначала находим количество каждого из газов (моль):

Затем считаем сумму количеств:

\Large \sum = 107.14 \: моль + 31.25 \: моль + 125 \: моль = 263.39 \: моль

И находим мольную долю каждого компонента:

\Large 40.68 \% + 11.86 \% + 47.46 \% = 100\%.

И радуемся правильному решению.

Молярность (молярная объёмная концентрация)

А сейчас рассмотрим, вероятно, самый часто встречающийся способ выражения концентрации — молярную концентрацию.

Молярная концентрация (молярность, мольность) — количество вещества (число молей) компонента в единице объёма смеси. Молярная концентрация в системе СИ измеряется в моль/м³, однако на практике её гораздо чаще выражают в моль/л или ммоль/л.

Также иногда говорят просто «молярность», и обозначают буквой М. Это значит, что, например, обозначение «0.5 М раствор соляной кислоты» следует понимать как «полумолярный раствор соляной кислоты», или 0.5 моль/л.

Обозначают молярную концентрацию буквой c (латинская «цэ»), или заключают в квадратные скобки вещество, концентрация которого указывается. Например, [Na + ] — концентрация катионов натрия в моль/л. Кстати, слово «моль» в обозначениях не склоняют — 5 моль/л, 3 моль/л.

Рассчитывается молярная концентрация по формуле:

где \Large n_ — количество вещества компонента B, моль;

\Large V — общий объём смеси, л.

Разберём на примере.

Задача:

В пивную кружку зачем-то насыпали 24 г сахара и до краёв заполнили кипятком. А нам зачем-то нужно найти молярную концентрацию сахарозы в полученном сиропе. И кстати, дело происходило в Британии.

Решение:

Молекулярная масса сахарозы равна 342 (посчитайте, может мы ошиблись — C₁₂H₂₂O₁₁). Найдём количество вещества:

Британская пинта (мера объёма такая) равна 0.568 л. Поэтому молярная концентрация находится так:

Ответ: 0.1236 моль/л.

Нормальная концентрация (молярная концентрация эквивалента, «нормальность»)

Нормальная концентрация — количество эквивалентов данного вещества в 1 литре смеси. Нормальную концентрацию выражают в моль-экв/л или г-экв/л (имеется в виду моль эквивалентов).

Обозначается нормальная концентрация как с_н, с_N, или даже c(f_eq B). Рассчитывается нормальная концентрация по формуле:

\Large c_ = z \cdot c_ = z \cdot \frac>= \frac<1>> \cdot \frac > \; \;\;\;\; (5)

где \Large n_ — количество вещества компонента В, моль;

V — общий объём смеси, л;

z — число эквивалентности (фактор эквивалентности \Large f_ = 1/z ).

Значение нормальной концентрации для растворов записывают как «н» или «N», а говорят «нормальность» или «нормальный». Например, раствор с концентрацией 0.25 н — четвертьнормальный раствор.

Разберём на примере.

Задача:

Рассчитать нормальность раствора объёмом 1 л, если в нём содержится 40 г перманганата калия. Раствор приготовили для последующего проведения реакции в нейтральной среде.

Решение:

В нейтральной среде перманганат калия восстанавливается до оксида марганца (IV). При этом в окислительно-восстановительной реакции 1 атом марганца принимает 3 электрона (проверьте на любой окислительно-восстановительной реакции перманганата калия с образованием оксида, расставив степени окисления), что означает, что число эквивалентности будет равно 3. Для расчёта концентрации по формуле (5) выше нам ещё не хватает количества вещества KMnO4. найдём его:

Теперь считаем нормальную концентрацию:

Ответ: 0.759 моль-экв/л.

Таким образом, заметим важное на практике свойство — нормальная концентрация больше молярной в z раз.

Мы не будем рассматривать в данной статье особо экзотические способы выражения концентраций, о них вы можете почитать в литературе или интернете. Поэтому расскажем ещё об одном способе, и на нём остановимся — массовая концентрация.

Моляльная концентрация

Моляльная концентрация (моляльность, молярная весовая концентрация) — количество растворённого вещества (число моль) в 1000 г растворителя.

Измеряется моляльная концентрация в молях на кг. Как и с молярной концентрацией, иногда говорят «моляльность», то есть раствор с концентрацией 0.25 моль/кг можно назвать четвертьмоляльным.

Находится моляльная концентрация по формуле:

где \Large n_ — количество вещества компонента B, моль;

Казалось бы, зачем нужна такая единица измерения для выражения концентрации? Так вот, у моляльной концентрации есть одно важное свойство — она не зависит от температуры, в отличие, например, от молярной. Подумайте, почему?

Массовая концентрация

Массовая концентрация — отношение массы растворённого вещества к объёму раствора. По рекомендации ИЮПАК, обозначается символом γ или ρ.

Находится массовая концентрация по формуле:

где \Large m_ — масса растворенного вещества, г;

\Large V — общий объём смеси, л.

Разберём на примере.

Задача:

Рассчитать массовую концентрацию перманганата калия по условиям предыдущей задачи.

Решение:

Решение будет совсем простым. Считаем:

Ответ: 40 г/л.

Также в аналитической химии пользуются понятием титра по растворенному веществу. Титр по растворенному веществу находится так же, как и массовая концентрация, но выражается в г/мл. Легко догадаться, что в задаче выше титр будет равен 0.04 г/мл (для этого надо умножить наш ответ на 0.001 мл/л, проверьте). Кстати, обозначается титр буквой Т.

А теперь, как обещали, табличка с формулами перевода одной концентрации в другую.

Таблица перевода одной концентрации в другую.

В таблице слева — ВО ЧТО переводим, сверху — ЧТО. Если стоит знак «=», то, естественно, эти величины равны.

Источник

Обозначение некоторых величин, применяемых в аналитической химии, и единицы их измерения

ОБОЗНАЧЕНИе НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИН, ПРИМЕНЯЕМЫХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ, И ЕДИНИЦЫ ИХ ИЗМЕРЕНИЯ

В обозначении физических величин следует руководствоваться требованиями Международной системы единиц (СИ).

Ниже приведены наиболее часто применяемые в аналитической химии основные и производные единицы СИ, а также некоторые внесистемные единицы, применение которых допускается наравне с единицами СИ.

Единицей измерения количества вещества является моль.

Реальными частицами могут быть атомы, молекулы, ионы, радикалы, электроны и т. д. Условными частицами могут быть доли атомов, молекул, ионов, например, H3PO4, H3PO4, Fe и т. д.

Количество вещества X обозначается как n(Х) и имеет размерность моль. Один моль вещества Х содержит число Авогадро частиц X (NA = 6,022045·1023 частиц·моль-1).

Единицей измерения массы является килограмм (кг).

1 кг = 103 г, 1 г = 103 мг, 1 г = 106 мкг.

Масса вещества X обозначается как m(Х).

Молярная масса вещества X обозначается как М(Х), вычисляется по формуле М(Х) = и имеет размерность кг/моль или г/моль.

Например, молярная масса атомарного кислорода М(О) = 15,9994 г/моль, молярная масса молекулярного кислорода М(О2) = 31,999 г/моль, а молярная масса эквивалента кислорода О (условных частиц) – М(О) = 8,000 г/моль.

1 м3 = 103 дм3 = 106 см3

1м3 = 103 л; 1 л = 103 мл = 103 см3

Объем жидкого или газообразного вещества X обозначается как V(Х), а раствора вещества X – как V(ppa) и в аналитической химии обычно измеряется в литрах и миллилитрах.

Для характеристики состава многокомпонентных систем (растворов) используются доли компонентов (мольная доля, объемная доля, массовая доля), моляльность и концентрация. Системой СИ разрешены к использованию молярная и массовая концентрация.

Молярная концентрация реальных или условных частиц X – это отношение количества вещества X к объему раствора, его содержащего.

Молярная концентрация вещества X обозначается как С(Х), вычисляется по формуле:

и имеет размерность моль/м3, моль/дм3 или моль/л.

Моляльность — это отношение количества вещества X к массе растворителя Y, его содержащего.

Моляльность вещества X обозначается mX, вычисляется по формуле:

и имеет размерность моль/кг.

В аналитической химии моляльность не используется.

Массовая концентрация вещества X обозначается как ρ(Х), вычисляется по формуле:

и измеряется в кг/м3, кг/дм3, г/л, г/см3 или г/мл.

Массовая концентрация вещества X, выраженная в г/мл или г/см3, в аналитической химии часто называется титром и обозначается как Т(Х).

Массовая доля вещества X обозначается как ω(Х), вычисляется по формуле:

и является величиной безразмерной.

Массовая доля может быть выражена в процентах (%):

100%

и в этом случае ω(Х) называется часто процентной концентрацией X или процентным содержанием X.

Плотность измеряется в кг/м3, кг /дм3, кг/л, г/см3 или г/мл. В химии наиболее приемлемыми единицами измерения плотности являются г/см3 или г/мл.

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ. ПРАВИЛА

Результат любого измерения всегда отличается от действительного значения измеряемой величины вследствие погрешностей измерения.

Результат измерения, представленный в виде числа, должен содержать столько цифр, чтобы только крайняя справа цифра была недостоверной. Если погрешность измерения не указана, то подразумевается, что последняя цифра справа имеет погрешность ±1.

Например, если пятнадцать миллилитров раствора измерено цилиндром с погрешностью ±1 мл, то результат измерения запишется как V = 15 мл.

Если же пятнадцать миллилитров раствора отмерены бюреткой с погрешностью ±0,01 мл, то результат измерения следует записать как V = 15,00 мл.

Так как в аналитической химии постоянно приходится иметь дело с численным выражением результатов непосредственных измерений (массы, объема, рН, оптической плотности и т. д.) и результатов математических расчетов на основе этих чисел (молярной концентрации, массовой доли и т. д.), то при этом следует помнить, что числа, выражающие измеряемые величины, а также производные от них, должны содержать только значащие цифры, то есть все достоверные и первую из недостоверных.

При определении количества значащих цифр в числе, выражающем результат измерения или вычисления, необходимо учитывать следующее:

1. Значащими цифрами являются все цифры числа, за исключением нулей, стоящих слева.

2. Нули в конце целого числа могут быть значащими цифрами, а могут и не быть.

Например, число 1000 содержит четыре значащие цифры, если это результат точного счета (одна тысяча человек или по определению один литр содержит одну тысячу миллилитров) или результат экспериментального определения с недостоверностью ±1.

Если же число 1000 есть результат округления чисел 990 или 1010, то есть дано с недостоверностью ±10, то оно содержит три значащие цифры.

Во избежание недоразумений целые числа с нулями рекомендуется представлять в виде степенной записи.

Например, если число 1000 содержит четыре значащие цифры, то оно запишется как 1,000·103; если три – то как 1,00·103; если две – то как 1,0·103 и, наконец, если одну – то как 1·103.

При проведении вычислений результат округляется, то есть заменяется другим числом с меньшим количеством значащих цифр. Промежуточные результаты вычислений не округляются, или должны содержать на несколько цифр больше, чем требуется по правилам представления конечного результата вычислений. Округление чисел проводится по следующим правилам:

1. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Например, число 10,3428, округленное до четырех значащих цифр, запишется как 10,34.

2. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти, или пять с последующей цифрой неравной нулю, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, числа 10,3468 и 10,3451, округленные до четырех значащих цифр, запишутся как 10,35.

3. Если отбрасываемой цифрой является только цифра пять, или, если первой отбрасываемой цифрой является цифра пять, а за ней следуют нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и не меняется, если она четная.

Например, числа 10,345; 10,3450; 10,335 и 10,3350, округленные до четырех значащих цифр, запишутся как 10,34.

При определении количества значащих цифр в числе, полученном в результате арифметических действий с числами, выражающими измеренные величины, необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. При сложении и вычитании чисел с неодинаковым количеством десятичных знаков, конечный результат должен содержать столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков.

например, при сложении чисел 10,00; 10,5300 и 0,320 конечный результат должен содержать два десятичных знака:

10,00 + 10,5300 + 0,320 = 20,85.

Чтобы определить количество значащих цифр в сумме чисел, содержащих степени разного порядка, необходимо вначале привести показатели степеней к наибольшему. Значимость числа с наименьшим числом десятичных знаков и будет определять значимость суммы.

Например, при сложении чисел 0,0432; 2,00·10-3; 1,152·10-2 и 5,00·10-5 представим их как 4,32·10-2; 0,200·10-2; 1,152·10-2 и 0,005·10-2. Так как наименьшее число десятичных знаков в числе 4,32·10-2, то конечный результат будет содержать два десятичных знака:

4,32·10-2 + 0,200·10-2 + 1,152·10-2 + 0,005·10-2 = 5,68·10-2 или 0,0568.

2. В большинстве случаев результат деления и умножения содержит столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр.

Например, результат следующего вычисления:

содержит только две значащие цифры, то есть столько же, сколько их имеет число 5,5.

Однако такой критерий определения числа значащих цифр является упрощенным и не всегда корректным.

Более строгий подход основан на том, что относительная погрешность (недостоверность) произведения или частного равна сумме относительных погрешностей (недостоверностей) сомножителей или делимого и делителя.

Используем более строгий критерий для определения числа значащих цифр частного 2,75·104 в предыдущем примере. Для этого определим вначале относительные недостоверности сомножителей (1,00·104 и 5,5) и делителя (2,000):

; и ,

а затем сумму их относительных недостоверностей:

= 0,03.

Абсолютная недостоверность числа 2,75·104 составит:

Ea = Er·2,75·104 = 0,03·2,75·104 = 0,0825·104 = 0,08·104.

Так как недостоверность числа 2,75·104 составляет 8 единиц во втором знаке после запятой, то оно должно быть округлено до 2,8·104.

Однако применение менее строгого и более строгого критериев для определения числа значащих цифр не всегда дает совпадающий результат.

Пример. Вычислите массовую долю вещества Х в растворе, если m(X) = 150 г, m(рра) = 230 г. Определите число значащих цифр в результате.

Так как ,

то при вычислении на калькуляторе получаем число 0,6522.

Для определения количества значащих цифр в частном от деления числа 150 на 230 вычислим его относительную и абсолютную недостоверность:

Таким образом, недостоверность числа 0,6522 составляет ±0,007, а поэтому конечный результат необходимо представить как 0,65.

Иногда количество значащих цифр в частном может быть большим, чем в делимом и делителе.

пример. При определении вместимости мерной колбы, взвешивания проводили на технохимических весах и оказалось, что масса воды в колбе составляет 99,9 г. Плотность воды при 20ºС равна 0,99843 г/см3. Определите объем мерной колбы.

Так как объем колбы равен объему заполнившей её воды, то V(колбы)мл = 100,1 мл.

Результат вычисления представлен четырьмя значащими цифрами, так как недостоверность частного равна 0,1 мл:

3. При возведении числа в степень количество значащих цифр, как правило, уменьшается на одну, так как относительная недостоверность результата xn в n раз больше относительной недостоверности числа x.

Например, (2,00)2 = 4,00 ± 0,04 = 4,00,

так как , а .

так как , а .

так как , а .

так как , а .

Так как в последнем примере недостоверность числа 32 составляет восемь целых, то его лучше представить как 3·10, а не 30 или 32.

4. При извлечении корня количество значащих цифр, как правило, увеличивается, так как относительная недостоверность результата в n раз меньше относительной недостоверности подкоренного числа х.

пример. = 1,414 ± 0,4 = 1,4,

так как , а .

= 2,000 ± 0,002 = 2,000,

так как , а .

= 2,00 ± 0,01 = 2,00,

так как , а .

5. При логарифмировании числа результат должен содержать столько десятичных знаков, сколько значащих цифр содержит логарифмируемое число. Значащими цифрами логарифма являются только цифры мантиссы. Характеристика не является значащей цифрой, так как она указывает лишь на порядок логарифмируемого числа.

Абсолютная недостоверность результата логарифмирования в 0,434 раз больше (в 2,303 раз меньше) относительной недостоверности логарифмируемого числа.

пример. lg 1,1·103 = 3,0414 ± 0,04 = 3,04,

так как , а .

lg 4,0 = 0,6021 ± 0,01 = 0,60,

так как , а .

Источник