что значит диагонализировать матрицу
СОДЕРЖАНИЕ
Определение
Характеристика
Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается следующим образом:
Следующее достаточное (но не необходимое) условие часто бывает полезным.
Разложение Жордана-Шевалье выражает оператор в виде суммы его полупростого (т.е. диагонализуемой) части и ее нильпотентном части. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализуема, если каждый блок в ее жордановой форме не имеет нильпотентной части; т.е. каждый «блок» представляет собой матрицу, состоящую из одной за другой.
Диагонализация
приведенное выше уравнение можно переписать как
Одновременная диагонализация
диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, потому что они не коммутируют.
Примеры
Диагонализируемые матрицы
Матрицы, не диагонализуемые
Некоторые вещественные матрицы нельзя диагонализовать над вещественными числами. Рассмотрим, например, матрицу
Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.
Как диагонализовать матрицу
Приложение к матричным функциям
Особое применение
Например, рассмотрим следующую матрицу:
Прямые расчеты показывают, что
Возвращаясь к стандартной основе, имеем
Предыдущие соотношения, выраженные в матричной форме, таковы:
тем самым объясняя вышеупомянутый феномен.
Квантовая механика
Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.
Диагонализируемая матрица
Содержание
Определение [ править ]
Характеристика [ править ]
Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается следующим образом:
Следующее достаточное (но не необходимое) условие часто бывает полезным.
Разложение Жордана-Шевалье выражает оператор в виде суммы его полупростого (т.е. диагонализуемой) части и ее нильпотентном части. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализуема, если каждый блок в ее жордановой форме не имеет нильпотентной части; т.е. каждый «блок» представляет собой матрицу «одна за другой».
Диагонализация [ править ]
приведенное выше уравнение можно переписать как
Одновременная диагонализация [ править ]
[ 1 0 0 0 ] and [ 1 1 0 0 ] <\displaystyle <\begin
диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, потому что они не коммутируют.
Примеры [ править ]
Диагонализируемые матрицы [ править ]
Матрицы, которые нельзя диагонализовать [ править ]
Некоторые вещественные матрицы не диагонализируются над вещественными числами. Рассмотрим, например, матрицу
Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.
Как диагонализировать матрицу [ править ]
Приложение к матричным функциям [ править ]
Диагонализацию можно использовать для эффективного вычисления степеней матрицы : A = P D P − 1 <\displaystyle A=PDP^<-1>>
Особое приложение [ править ]
Например, рассмотрим следующую матрицу:
Прямые вычисления показывают, что
Возвращаясь к стандартной основе, имеем
Предыдущие соотношения, выраженные в матричной форме, таковы:
тем самым объясняя вышеуказанное явление.
Квантовая механика [ править ]
Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.
СОДЕРЖАНИЕ
Определение
Характеристика
Фундаментальный факт о диагонализуемых отображениях и матрицах выражается следующим образом:
Следующее достаточное (но не необходимое) условие часто бывает полезным.
Разложение Жордана-Шевалье выражает оператор в виде суммы его полупростого (т.е. диагонализуемой) части и ее нильпотентном части. Следовательно, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда ее нильпотентная часть равна нулю. Другими словами, матрица диагонализуема, если каждый блок в ее жордановой форме не имеет нильпотентной части; т.е. каждый «блок» представляет собой матрицу, состоящую из одной за другой.
Диагонализация
приведенное выше уравнение можно переписать как
Одновременная диагонализация
диагонализуемы, но не одновременно диагонализуемы, потому что они не коммутируют.
Примеры
Диагонализируемые матрицы
Матрицы, не диагонализуемые
Некоторые вещественные матрицы нельзя диагонализовать над вещественными числами. Рассмотрим, например, матрицу
Обратите внимание, что приведенные выше примеры показывают, что сумма диагонализуемых матриц не обязательно должна быть диагонализуемой.
Как диагонализовать матрицу
Приложение к матричным функциям
Особое применение
Например, рассмотрим следующую матрицу:
Прямые расчеты показывают, что
Возвращаясь к стандартной основе, имеем
Предыдущие соотношения, выраженные в матричной форме, таковы:
тем самым объясняя вышеупомянутый феномен.
Квантовая механика
Теория возмущений первого порядка также приводит к матричной проблеме собственных значений для вырожденных состояний.
Диагонализация матриц и функции от матриц
Операции с диагональными матрицами выполняются гораздо проще, чем операции с произвольными матрицами, поэтому приведение к диагональной форме всегда желательно. Диагональные матрицы при умножении коммутируют между собой, произведение диагональных матриц всегда приводит к диагональной матрице, уравнения разделяются по переменным и разрешаются непосредственно. Однако приведение матрицы к диагональному виду выполнить совсем не просто, так как неизвестно, каким образом выбрать преобразующую матрицу S в преобразовании подобия.
Пусть все собственные числа 
матрицы А различны и им соответствует n линейно независимых собственных векторов 
. Если принять их за новый базис пространства, то получим диагональную матрицу, подобную исходной.
Таким образом, базис из собственных, векторов замечателен тем, что преобразование подобия в нем имеет диагональную форму.
Построим матрицу, столбцы которой состоят из элементов собственных векторов, умноженных на произвольное, не равное нулю число 
:
. (4.21)
Матрица вида (4.21) называется модальной. Преобразование подобия с помощью модальной матрицы М
,
Использование модальной матрицы в качестве преобразующей связано с вычислением всех собственных чисел и принадлежащих этим собственным числам собственных векторов. В вычислительной математике эта проблема известна под названием полной проблемы собственных значений. Эта проблема является достаточно сложной при больших порядках матрицы.
Если имеется какой-либо способ грубого определения собственных векторов, то операция преобразования подобия выделит по абсолютной величине диагональные элементы над остальными, т. е. сделает их доминирующими. Такая псевдодиагонализация является полезной в том отношении, что позволяет ускорить сходимость многих вычислительных процессов при решении задач на цифровых вычислительных машинах.
При различных собственных числах столбцы модальной матрицы могут выбираться равными или пропорциональными произвольному ненулевому столбцу 
. Здесь под понимается транспонированная матрица алгебраических дополнений, называемая иногда присоединенной или союзной.
Так как столбцы линейно зависимы для данного 
, то каждое , определяет лишь один столбец модальной матрицы.
Особого рассмотрения заслуживает случай кратных собственных чисел. Это имеет важное значение в машинных вычислениях, когда элементы матриц задаются неточно и резкая грань между простыми и кратными собственными числами стирается. При малых деформациях элементов матрицы возможен переход от матрицы с кратными собственными числами к матрице с простыми собственными числами, и наоборот. Поэтому исследование случая кратных собственных чисел имеет важное значение.
Если матрица имеет кратные собственные числа, то она может быть приведена к канонической форме Жордана. Каноническая форма Жордана является клеточно-диагональной матрицей, в которой на главной диагонали расположены канонические ящики, или клетки Жордана. Канонический ящик имеет вид
.
На главной диагонали расположено собственное число, повторяющееся столько раз, какова его кратность, над диагональю расположены элементы, равные единице, а все остальные элементы равны нулю. Канонический ящик не может быть упрощен за счет преобразования подобия. Типичная Жорданова форма матрицы имеет вид
.
Канонический ящик имеет только один собственный вектор. Минимальный полином ящика совпадает с характеристическим; он равен 
, где 
— порядок ящика.
Пример 4.8 Привести матрицу
,
к диагональной форме. В качестве преобразующей матрицы в преобразовании подобия выбрать модальную матрицу.
Корни характеристического уравнения 
равны
, 
, 
.
Собственные векторы, соответствующие
, 
.
, 
.
.
Русские Блоги
Линейная алгебра Примечание 23-Диагонализация и степень матриц
Матрица собственных значений
Наконец, получается произведение S и диагональной матрицы с собственными значениями в качестве диагоналей.Эта диагональная матрица является матрицей собственных значений, выраженной через Λ:
Никто не заботится о линейно связанных векторах признаков.Определение вышеприведенной формулы состоит в том, что S состоит из n линейно независимых векторов признаков, что означает, что S обратимо, и обе стороны уравнения можно умножить на S-1.
Диагонализация матрицы имеет другое выражение:
Мы уже знаем LU-разложение матрицы, A = LU, ортогонализация Грамма-Шмидта, A = QR, теперь есть диагональное разложение, A = SΛS-1
Мощность матрицы
Если A имеет собственные значения и собственные векторы, то есть Ax = λx, то каковы собственные значения и собственные векторы A2?
Это появилось в примере в предыдущей главе. Собственный вектор A можно выразить, умножив обе части уравнения Ax = λx на A одновременно:
Поскольку λ является скаляром, λ можно предложить отдельно:
Теперь можно сделать вывод, что собственный вектор A2 остается неизменным, а собственное значение становится λ2
Вы можете посмотреть на диагонализацию A2 таким же образом:
Согласно этой идее, мы можем продолжить вычисление диагонализации Ak, собственный вектор Ak неизменен, а матрица собственных значений Ak является k-й степенью матрицы собственных значений A:
Согласно приведенной выше формуле, если k → ∞, когда все собственные значения | λi |
Эта статья в основном для изучения, исследования и обмена. Если вам нужно перепечатать, пожалуйста, свяжитесь со мной, указав автора и источник, для некоммерческого использования!
Отсканируйте QR-код, чтобы следовать общедоступной учетной записи «Я 8-битный»
Интеллектуальная рекомендация
Запись шага операции Git
Возьмите любое число из массива и суммируйте до решения указанного значения (JavaScript)
По заданному массиву [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] найдите любую комбинацию массивов, сумма которых равна 10. Обратите внимание, что одно число в каждой комбинации может появляться только один раз. Массив им.
Реализация основного боевого проекта Vue-cli 8 main layout
Каталог статей Предыдущая глава Реализация основного макета Базовая реализация Слева прокрутите Украсьте полосу прокрутки Полный код Следующая глава Предыдущая глава Vue-cli Actual Combat Project 7 от.
Предварительная обработка данных: переменная проверка и преобразование
Переменная проверка и преобразование Мы столкнемся с проблемой фильтрации переменных при обработке данных. Здесь мы либо PCA (анализ основных компонентов), либо простая фильтрация искусственных переме.