что значит дифференцировать в математике

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции. Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Пусть y = f (x) имеет производную

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Применяя свойства предела функции, получают равенство

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник

Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеРешение уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеМатематика

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

— главная линейная часть приращения функции.

1) Действительная функция y = f )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

(при условии, что точка х+Ах лежит в упомянутой окрестности) может быть представлено в виде

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

где что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикепри При что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеэтом А Ах обозначается через dy и наз. дифференциалом функции f(х)в точке х. Д. dy при фиксированном хпропорционален Ах, т. е. является линейной функцией от D х. Дополнительный член a при что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеявляется, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с D х (и по сравнению с dy, если что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике). Именно в этом смысле Д. и наз. главной частью приращения функции.

Для функции, дифференцируемой в точке х, что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикепри что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике, т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция f(x)дифференцируема в точке хв том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции.

Кроме обозначения dy используется обозначение df(x);тогда предыдущее равенство принимает вид

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Приращение аргумента Ах обозначается также через dx и наз. дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Отсюда f(x)=dyldx, т. е. производная равна отношению Д. dy и dx. Если А=0, то что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикепри Dx->0, т. е. Ау и dy при что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеявляются в случае А неравно 0 эквивалентными бесконечно малыми; этим, рав, но как и простой структурой Д. (линейностью по Ах), часто пользуются в приближенных вычислениях, полагая Dy=dy при малых D х. Если хотят, напр., вычислить f(x+Dx), зная f)(Dxмало), то полагают

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность.

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

При этом a= Dу-dy, т. е. значение |a| совпадает с длиной отрезка TS.

2) Определение дифференцируемости и Д. естественным образом обобщается на действительные функции от пдействительных переменных. Напр., в случ. п=2 действительная функция z=f(x, у)наз. дифференцируемой в точке ( х, у )по совокупности переменных хи у, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и ее полное приращение

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

может быть представлено в виде

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

где Аи В- некоторые числа, что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикепри что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеr=что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикепредполагается, что точка ( х+D х, у+Dy). принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2) При этом вводится обозначение что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеи dz наз. полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции f(x,у). в точке ( х, у )(иногда с добавлением: «по совокупности переменных хи у»). Для фиксированной точки ( х, у )Д. dz есть линейная функция от Ах и Ау;разность а= Az-dz есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р. В этом смысле dz есть главная линейная часть приращения Az.что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Если f(x, у )дифференцируема в точке ( х, у), то oн непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Приращения Ах и Ау независимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаются dx и По этой причине можно написать

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Существование конечных частных производных, во обще говоря, не влечет дифференцируемости функции (даже если предполагать заранее ее непрерывность) здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного.

Если функция f(x, у )имеет в точке ( х, у )частную производную по х, то произведение fx(x, y)dx наз. частным дифференциалом по х;аналогично, f’y(x, y)dy есть частный Д. по у. Если функция дифференцируема, то ее полный Д. равен сумме частных Д. Геометрически полный Д. df(x0, у 0 )есть приращение аппликаты касательной плоскости поверхности z-f(x, у )в точке ( х 0, у 0, z0), где z0=f(z0, у 0 )(см. рис. 3).

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Это показывает, в частности, что не всякое выражение что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикес непрерывными А и В (вобласти D)является в этой области полным Д. нек-рой функции двух переменных. В этом состоит еще одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение A(x)dx с непрерывной в нек-ром промежутке функцией (х). служит Д. для нек-рой функции.

Выражение Adx+Bdy является полным Д. нек-рой функции z=f(x, у), в односвязной открытой области D, если ( х, у )и В( х, у )непрерывны в этой области и удовлетворяют условию А’ =В’ Х и при этом а) А’y и В’ х непрерывны или б) ( х, у) и В( х, у) дифференцируемы по совокупности переменных хи увсюду в D(см. [7], [8]).

О Д. действительных функций одного или нескольких действительных переменных и о Д. высших порядков см. также Дифференциальное исчисление.

3) Пусть функция f(x)определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, х- предельная точка этого множества, что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикеDy=АDx+a, где

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математикепри что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике; тогда функция f(x)наз. дифференцируемой по множеству Ев точке х,a dy=AD х наз. ее дифференциалом» по множеству Еточке х. Это есть обобщение Д. действительной функции одного действительного переменного. Разновидностями этого обобщения являются Д. в концах промежутка, на котором определена функция, и аппроксимативный Д. (см. Аппроксимативная дифференцируемоетъ).

Подобным же образом вводится Д. по множеству для действительных функций многих действительных переменных.

4) Все эти определения дифференцируемости и Д. почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и Д. функции множества по отношению к нек-рой мере.

Источник

Что такое дифференциал функции?

что значит дифференцировать в математике. Смотреть фото что значит дифференцировать в математике. Смотреть картинку что значит дифференцировать в математике. Картинка про что значит дифференцировать в математике. Фото что значит дифференцировать в математике

Понятие дифференциала функции связано с такими важными математическими разделами как дифференциальное и интегральное исчисление и тесно связано с понятием производной функции. Наиболее часто дифференциал применяется для приближенных вычислений, а также для оценки погрешностей формул и измерений.

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Говоря о значении дифференциала функции, рассматривают конкретную точку функции и бесконечно малое изменение аргумента.

История открытия дифференциала

Чаще всего открытие дифференциально-интегрального исчисления принято связывать с именем Исаака Ньютона, однако, этот факт активно оспаривают учёные со всего света.

Действительно, открытие целого нового направления в науке, столь значимого для её развития, было бы ошибочно считать заслугой только одного учёного. Изначально интегрирование связывали с вычислением площадей и объёмов криволинейных фигур. Такие задачи, как известно, решались ещё во времена Архимеда, поэтому его имя также имеет отношение к открытию дифференциального исчисления.

Также дифференцирование имеет отношение к решению задач на проведение касательных к различным кривым. Данное направление активно развивали греческие математики. В те времена математики столкнулись с трудностью, которую не смогли решить в дальнейшем и представители Нового времени.

Дело в том, что для определения направления прямой требовалось знать координаты как минимум двух точек, а касательная имеет лишь одну точку соприкосновения с кривой. Этот факт натолкнул учёных на мысль о том, что в одной точке кривая может иметь несколько касательных. В то время ученые пришли к выводу, что прямая состоит не из точек, а из отрезков минимальной длины. Таким образом, они считали направление касательной в некоторой точке совпадающим с направлением атомарного отрезка в данной точке.

В дальнейшем учёные Нового времени опровергли данную теорию. В этот период огромный вклад в развитие науки внёс Исаак Ньютон. Ученый сформулировал определения и принципы решения производных, а также основы дифференциального исчисления, которых придерживаются учёные и в наши дни.

Дифференциальное исчисление широко применяется в математике и других науках для решения различных задач.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала заключается в следующем: дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к графику функции, которая проведена через некоторую точку с координатами (x,y) при изменении координаты x на величину Δх=dx.

Дифференциал является главной линейной частью функции относительно приращения аргумента. Чем меньше приращение функции, тем большая доля приращения приходится на эту линейную часть.

Таким образом, при бесконечно малом Δх, приращение функции можно считать равным ее дифференциалу. Это свойство дифференциала позволяет использовать его для приблизительных вычислений и оценки погрешностей измерений.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Поскольку дифференциал функции является частью ее приращения, то при бесконечно малом приращении аргумента он приблизительно равен приращению функции. При этом чем меньше приращение аргумента, тем точнее значение функции. Этот факт даёт возможность использования дифференциалов для приближённых вычислений.

С помощью таких вычислений можно решать различные виды задач. Приближённые вычисления практически всегда связаны с наличием погрешности.

Использование дифференциала для оценки погрешностей

Результаты измерений в большинстве случаев содержат ошибку, обусловленную неточностью измерительных приборов.

Число, несколько превышающее или равное этой неточности, называется «предельной абсолютной погрешностью».

Отношение предельной погрешности к значению измеряемой величины называют «предельной относительной погрешностью».

Для оценки величины погрешностей измерений используют дифференциальное исчисление.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *