что значит двойной факториал

Двойной факториал

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Содержание

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества <A,B,C,D> можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial ) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0 ) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0 ) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

где для n > 0 и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Двойной факториал» в других словарях:

Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия

Двойной крестик — Одинарный и двойной крестики разными шрифтами Типографский крестик (†, в Юникоде U+2020, в dagger;), иногда его называют «кинжалом», «обелиском», «даггером», типографический знак. Двойной крестик (‡, в Юникоде U+2021, в Dagger;) вариант «кинжала… … Википедия

Список интегралов от экспоненциальных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования. для … Википедия

Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия

Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл это некоторая… … Википедия

Tcl — Запрос «TCL» перенаправляется сюда; о минидистрибутиве Linux см. Tiny Core Linux. Tcl Семантика: императивный … Википедия

TCL — Семантика: императивный, скриптовый Тип исполнения: интерпретатор Появился в: 1988 г. Автор(ы): Джон Остераут Последняя версия: 8.5.7 / 15 апреля 2009 … Википедия

Источник

Для четного n двойной факториал равен

а для нечетных n это

Термин нечетный факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа.

СОДЕРЖАНИЕ

История и использование

В статье 1902 года физик Артур Шустер писал:

Отношение к факториалу

Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов:

где знаменатель отменяет нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется при n = 0. )

Для четного неотрицательного целого числа n = 2 k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как

Приложения в перечислительной комбинаторике

Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других условиях. Например, n ‼ для нечетных значений n отсчетов

Четные двойные факториалы дают номера элементов гипероктаэдрических групп (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )

Расширения

Отрицательные аргументы

Сложные аргументы

Отсюда можно вывести альтернативное определение z ‼ для неотрицательных четных целых значений z :

со значением 0‼ в этом случае

Дополнительные удостоверения

Используя вместо этого расширение двойного факториала нечетных чисел до комплексных чисел, формула

Двойные факториалы также могут использоваться для вычисления интегралов от более сложных тригонометрических полиномов.

Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:

Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел:

Приближение для отношения двойного факториала двух последовательных целых чисел:

Обобщения

Определения

Альтернативное расширение многофакторной

Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции

Класс обобщенных чисел Стирлинга первого рода определяется при α > 0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:

Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций

и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций в двойную сумму, заданные формулой

Источник

и для нечетных п это

В последовательность двойных факториалов для четных п = 0, 2, 4, 6, 8. начинается как

Последовательность двойных факториалов для нечетных п = 1, 3, 5, 7, 9. начинается как

Период, термин нечетный факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа. [5] [6]

Содержание

История и использование

Отношение к факториалу

Факториал ненулевого п может быть записано как произведение двух двойных факториалов: [3]

Приложения в перечислительной комбинаторике

Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительная комбинаторика и другие настройки. Например, п‼ для нечетных значений п считает

Четные двойные факториалы дают номера элементов гипероктаэдрические группы (знаковые перестановки или симметрии гиперкуб)

Расширения

Отрицательные аргументы

Обычный факториал, расширенный до гамма-функция, имеет столб для каждого отрицательного целого числа, предотвращая определение факториала для этих чисел. Однако двойной факториал нечетных чисел может быть расширен до любого отрицательного нечетного целочисленного аргумента, инвертируя его отношение повторения

Используя эту обратную рекуррентность, (−1)‼ = 1, (−3)‼ = −1 и (−5)‼ = 1 / 3 ; отрицательные нечетные числа с большей величиной имеют дробные двойные факториалы. [2] В частности, это дает, когда п нечетное число,

Сложные аргументы

Отсюда можно вывести альтернативное определение z‼ для неотрицательных четных целых значений z :

со значением 0‼ в этом случае

Дополнительные удостоверения

Используя вместо этого расширение двойного факториала нечетных чисел до комплексных чисел, формула

Двойные факториалы также могут использоваться для вычисления интегралов от более сложных тригонометрических полиномов. [7] [19]

Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функция по личности:

Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел: [2]

Приближение для отношения двойного факториала двух последовательных целых чисел:

Это приближение становится более точным, поскольку п увеличивается.

Обобщения

Определения

Альтернативное расширение многофакторной

В качестве альтернативы многофакторный п!_(α) может быть расширен до большинства действительных и комплексных чисел п отмечая, что когда п на единицу больше, чем положительное кратное α тогда

Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции

Класс обобщенных Числа Стирлинга первого рода определяется для α > 0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:

Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций

и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций в двойную сумму, заданные формулой

Первые две суммы выше по форме похожи на известные некруглый комбинаторное тождество для двойной факториальной функции, когда α := 2 данный Каллан (2009).

Источник

Двойной факториал

Для четных n двойной факториал равен

а для нечетных n это

Термин нечетный факториал иногда используется для двойного факториала нечетного числа. [5] [6]

СОДЕРЖАНИЕ

История и использование [ править ]

Отношение к факториалу [ править ]

Факториал ненулевого n может быть записан как произведение двух двойных факториалов: [3]

где знаменатель отменяет нежелательные множители в числителе. (Последняя форма также применяется при n = 0. )

Для четного неотрицательного целого числа n = 2 k с k ≥ 0 двойной факториал может быть выражен как

Приложения в перечислительной комбинаторике [ править ]

Двойные факториалы мотивированы тем фактом, что они часто встречаются в перечислительной комбинаторике и других условиях. Например, n ‼ для нечетных значений n отсчетов

Четные двойные факториалы дают номера элементов гипероктаэдрических групп (перестановки со знаком или симметрии гиперкуба )

Расширения [ править ]

Отрицательные аргументы [ править ]

Сложные аргументы [ править ]

Отсюда можно вывести альтернативное определение z ‼ для неотрицательных четных целых значений z :

со значением 0‼ в этом случае

Дополнительные удостоверения [ править ]

Используя вместо этого расширение двойного факториала нечетных чисел до комплексных чисел, формула

Двойные факториалы также можно использовать для вычисления интегралов от более сложных тригонометрических полиномов. [7] [19]

Двойные факториалы нечетных чисел связаны с гамма-функцией тождеством:

Некоторые дополнительные тождества, включающие двойные факториалы нечетных чисел: [2]

Приближение для отношения двойного факториала двух последовательных целых чисел:

Обобщения [ править ]

Определения [ править ]

Альтернативное расширение многофакторности [ править ]

Обобщенные числа Стирлинга, расширяющие многофакторные функции [ править ]

Класс обобщенных чисел Стирлинга первого рода определяется при α > 0 следующим треугольным рекуррентным соотношением:

Точные конечные суммы с участием нескольких факториальных функций [ править ]

и, кроме того, у нас аналогично есть разложения этих функций в двойную сумму, заданные формулой

Источник

Факториал

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Содержание

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества <A,B,C,D> из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Другие свойства

Обобщения

Двойной факториал

По определению полагают 0!! = 1.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

Кратный факториал

Пусть число n представимо в виде где Тогда [1]

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением [2] :

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial ) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

где для 0″ border=»0″ /> и

Субфакториал

Ссылки

См. также

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Факториал» в других словарях:

ФАКТОРИАЛ — [англ. factorial Словарь иностранных слов русского языка

ФАКТОРИАЛ — (обозначение «!»), число, получаемое в результате умножения данного числа на все целые числа меньше него. Например, факториал числа 6 равен 6!=6.5.4.3.2.1=720. Факториалом нуля считают 0!=1 … Научно-технический энциклопедический словарь

ФАКТОРИАЛ — (от латинского factor деятель, создатель, множитель), произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т.е. 1?2. n; обозначается n! … Современная энциклопедия

факториал — сущ., кол во синонимов: 1 • термин (18) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Факториал — (от латинского factor деятель, создатель, множитель), произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, т.е. 1´2´. ´n; обозначается n!. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ФАКТОРИАЛ — произведение всех натуральных чисел от 1 до данного натурального числа n; обозначается n! = 1·2·3·. ·n; по определению, 0! = 1 … Большая политехническая энциклопедия

факториал — произведение натуральных чисел от единицы до какого либо данного натурального числа n, то есть 1·2·3·. ·n; обозначается: n!. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. * * * ФАКТОРИАЛ ФАКТОРИАЛ, произведение натуральных чисел от единицы до какого либо… … Энциклопедический словарь

факториал — faktorialas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. factorial vok. Faktorielle, f; Fakultät, f rus. факториал, m pranc. factorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Источник