Область определения функции
Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.
| x | y = 2 x | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
| x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
| y = 2 ·
=
= 1 | ||||||
| x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
| x | y = 2x | ||
|---|---|---|---|
| −2 | −4 | ||
| 0 | 0 | ||
| 1 | ||
| 3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».
Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
№ 233 (2) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».
Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
Правило для определения области определения функции
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
№ 242 (3) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции « f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» есть дробь «
| 1 |
| x 2 − 9 |
», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.
Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9) |
| 2 · 1 |
x1;2 ≠
| −0 ± √ 0 − (−36) |
| 2 |
Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство.
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
». Запишем окончательный ответ.
Примеры определения области определения функции
№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.
Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.
В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
№ 242 (4) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
| √ x + 2 ≠ 0 |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.
| √ x + 2 ≠ 0 (1) |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.
Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 24 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 5 |
| 2 |
x1 ≠
| x2 ≠
|
x1 ≠
| x2 ≠
|
| x1 ≠ 6 | x2 ≠ 1 |
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
| x ≠ −2 |
| x ≠ 1 |
| x ≠ 6 |
В формуле функции
« f(x) =
| √ x − 4 |
| √ x + 2 |
+
| 4x − 3 |
| x 2 − 7x + 6 |
»
есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x ≥ 4 |
| x ≥ −2 |
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
Выпишем результат решения системы неравенств.
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.
Что такое «иксы» в криптовалюте и как их получить
Зачастую «иксы» показывают именно новые монеты, которые только выходят на крипторынок. Для инвестирования в токены на ранних этапах обычно используются ICO, IEO и IDO.
Бум первичных размещений токенов наблюдался в 2017 году. Тогда большое количество злоумышленников воспользовались отсутствием регулирования крипторынка, проводя мошеннические ICO. Согласно статистике, 94% альткоинов, запущенных через первичное размещение, подешевели относительно биткоина на 90% и больше. Только 10,8% стартапов показали положительные результаты, а у 11 ICO прибыль инвесторов превысила 1000%
В 2019 году на крипторынке появился новый популярный способ привлечь капитал для развития проекта — IEO (Initial Exchange Offering, первичное биржевое размещение). IEO отличается от ICO более высокой надежностью, поскольку не разработчики проектов ищут инвесторов, а криптовалютная биржа отбирает перспективные команды и продвигает их монеты среди своих пользователей.
Несмотря на то, что перспективные токены для IEO отбирают крупные криптовалютные биржи, инвесторы все также рискуют собственными средствами, поскольку никто не может гарантировать, что после токенсейла стоимость цифровой монеты будет расти.
В 2020 году на волне развития DeFi-индустрии начал обретать популярность еще один способ привлечения инвестиций — IDO (Initial DEX Offering). Его смысл заключается в том, что выпускаемые проектами токены уже обеспечены пулами ликвидности инвесторов на децентрализованных биржах. Зачастую токен IDO предоставляет его держателям право голосовать и управлять направлением развития базового протокола.
Принять участие в IDO можно с помощью различных агрегаторов, например, сервиса CoinList. Токенсейлы могут проходить на несколько площадках одновременно, а после IDO токены зачастую появляются на Uniswap, Binance Dex, Bancor или других биржах с существенной надбавкой к первоначальной цене.
«Иксы» можно наблюдать и на примере IDO, которые проходили на платформе Polkastarter. Цены некоторых цифровых монет существенно поднялись после их токенсейла: Shift — в 15 раз, Bridge Mutual — в 19 раз (Polkastarter), ExeedMe — в 37 раз. Токены самого Polkastarter за два месяца с декабря 2020 по январь 2021 года дорожали на 500%.
Больше новостей о криптовалютах вы найдете в нашем телеграм-канале РБК-Крипто.
Что такое Индекс Качества Сайта (ИКС) и на что он влияет
Индекс качества сайта (ИКС) — это показатель, введенный Яндексом для определения качества интернет-ресурсов. Грубо говоря, чем лучше и качественнее сайт, тем выше его ИКС. В этой статье я подробно расскажу, что такое Яндекс ИКС, как его проверить и повысить.
Что такое ИКС сайта простыми словами
Индекс качества сайта — это показатель, который определяет полезность ресурса для пользователей.
Он измеряется особым образом. Яндекс стремится выдавать пользователям наиболее релевантный контент, поэтому при расчете ИКС для конкретного ресурса прежде всего учитывается качество контента на нем.
Можно выделить еще несколько пунктов, которые обязательно учитываются на всех сайтах:
- Полезность материалов; Удобство навигации; Юзабилити; Дизайн; Читабельность текстов; И т. д.
Если сайт имеет хорошие показатели, то пользователи будут вовлечены в его изучение. То есть у ресурса будут хорошие поведенческие факторы. Сейчас, как известно, ПФ являются чуть ли не самым важным показателем при ранжировании.
Исходя из этого можно прийти к выводу, что на ИКС влияют поведенческие факторы. Чем они лучше, тем качественнее сайт с точки зрения Яндекса.
Но это не все. Помимо поведенческих факторов, при расчете ИКС учитывается объем трафика. Чем он выше, тем выше может быть индекс качества сайта.
Трафик — не абсолютное правило. Если у сайта хороший трафик, то это еще не значит, что у него высокий ИКС. Но чаще всего именно крупные сайты с посещаемостью в 15-20к/сутки имеют ИКС 1000 и больше.
Точная формула расчета ИКС известна только сотрудникам Яндекса. В Яндекс.Вебмастере регулярно появляется сообщение о том, что эта формула была изменена.
То есть формулу расчета постоянно совершенствуют, чтобы качественные сайты имели высокие показатели, а некачественные наоборот низкие.
Таким образом Яндекс хочет добиться, чтобы на высокий позициях в поисковой выдаче оставались только качественные ресурсы с релевантным контентом. И ИКС им в этом поможет.
Как узнать ИКС своего сайта
Самый простой способ узнать ИКС своего сайта — добавить его в Яндекс.Вебмастер. После этого данные об индексе качества сайта и его изменениях будут доступны в сводке. Окно будет выглядеть так, как на скриншоте выше.
Еще ИКС всех сайтов, добавленных на ваш аккаунт в вебмастере, можно увидеть на странице «Мои сайты».
В вебмастере будет доступная самая актуальная и свежая информация об ИКС вашего ресурса.
Как узнать ИКС чужого сайта
Чужой сайт в Яндекс.Вебмастер не добавишь. А это и не нужно, ведь для того, чтобы узнать этот показатель для любого домена, вам достаточно перейти на специальную страницу от Яндекса и ввести его в поле.
В это поле можно вводить абсолютно любые домены. Хоть свои, хоть чужие. Инструмент быстро определит индекс качества сайта и покажет вам соответствующее значение.
Можно сразу получить значение для интересующего домена, если вставить его прямо в ссылку: https://webmaster.yandex.ru/sqi/?host=awayne.biz. Просто меняем awayne.biz на любой другой домен и копируем ссылку в адресную строку браузера. После перехода сразу откроется страница со значением ИКС.
Массовая проверка ИКС
Если вам необходимо проверить сразу несколько десятков доменов, то нет смысла делать это с помощью описанных выше способов. Проще воспользоваться специальными сервисами, которые позволяют делать массовую проверку доменов. Они работают с API Яндекс.Вебмастера, поэтому данные там такие же свежие и точные.
Самый популярный бесплатный инструмент для массовой проверки ИКС — Be1.ru. Он позволяет получить ИКС до 500 доменов за раз.
Результаты можно сохранить в виде ссылки, либо же выгрузить в csv (excel) таблицу. Естественно с его помощью можно проверять и по одному домену, никто вам этого не запретит.
Другие сервисы массовой проверки ИКС:
- PR-CY — известный бесплатный инструмент для массовой проверки индекса качества сайтов. Есть ограничение — не более 5 проверок в сутки. Также доступен счетчик ИКС, который можно создать и поставить в любую часть своего сайта. Он будет показывать вашим посетителям актуальные данные. Coolakov — простенький сайт для массовой проверки ИКС. Можно проверить не более 100 доменов. Raskruty — еще один инструмент для проверки индекса качества сайта. Одновременно можно проверить до 1000 доменов. Arsenkin — сайт, на котором можно проверить индекс качества до 100 доменов за один раз.
Есть и другие сервисы для массовой проверки Яндекс ИКС. Они менее популярные, поэтому я не стал включать их в подборку. Тем более, я уверен, что вам с лихвой хватит этих.
Как повысить ИКС
Банально, но для повышения ИКС вы должны работать над качеством сайта. Это значит, что необходимо улучшить тексты, дизайн, юзабилити, скорость загрузки и т. д.
То есть сайт должен стать качественнее. Пользователи, приходящие на ресурс, должны быть заинтересованы в контенте. Тогда он начнет выше ранжироваться и получит более высокий показатель ИКС.
Есть информационный сайт, на котором почти 200 посетителей. Почти все читатели приходят на одну статью, а после прочтения они ее закрывают. Или закрывают, даже не проведя на страницах сайта и 15 секунд (что считается отказом).
ИКС такого проекта равен 10. Это крайне низкий показатель, который выдается почти всем новым проектам.
В то же время есть еще один сайт, на котором также 200 уников в сутки. Только распределение более адекватное. 70 приходят на одну статью, еще 30 на другую и т. д. ИКС такого сайта равен 90 — что для проекта с такой посещаемостью считается нормальным.
Думаю, вы уже догадались в чем тут дело. Казалось бы, одна и та же посещаемость, но такая разница в показателе. В первом случае пользователи не очень охотно изучают контент, поэтому и индекс качества низкий. Второй же ресурс обладает более лояльной аудиторий, потому и ИКС у него выше.
Исходя из примера выше, можно прийти к выводу, что для повышения показателя нужно улучшать лояльность аудитории. То есть делать так, чтобы пользователи дольше находились на сайте, изучали другие материалы, комментировали их.
Есть специалисты, которые обещают просто накрутить ИКС. Не стоит обращать на таких внимание, потому что любые накрутки и прочие манипуляции могут привести к полному обнулению показателя. А может ваш сайт вообще забанят и выкинут из поисковой выдачи.
Лучше планомерно работать над полезностью ресурса, продвигать его с помощью поисковых систем, социальных сетей, каких-то альтернативных источников и добиваться хороших поведенческих факторов. Это поможет вам получить более высокий индекс качества сайта без всяких накруток и обмана.
Но стоит помнить, что одной из важнейших переменных формулы расчета ИКС является посещаемость. Поэтому сайты с большой посещаемостью всегда будут иметь более высокий индекс качества, нежели новые проекты. В этом нет ничего страшного, просто воспринимайте как данность.
Пошаговая инструкция
Я подготовил небольшой чек-лист, который поможет вам заметить и решить наиболее популярные проблемы, которые ухудшают лояльность аудитории.
Итак, для повышения ИКС нужно:
- Создавать качественный контент. Статьи должны быть интересными, картинки — красивыми, сервисы — юзабельными. В общем, пользователь должен комфортно чувствовать себя на страницах вашего ресурса. Сделать понятную структуру. Она крайне важна, как для интернет-магазина, так и для простого информационного проекта. Если посетитель не сможет ориентироваться на сайте, он просто уйдет. Да и сами поисковики лояльнее относятся к проектам с понятной структурой. Не забывать про перелинковку. Чтобы не было проблем, как у сайта из примера выше. Вы должны предлагать пользователям релевантный контент. Они будут проводить больше времени на страницах ресурса. Помнить, что дизайн важен. Некоторые вебмастера ошибочно полагают, что важен только контент и юзабилити. Нет. Дизайн играет очень большую роль, даже на контентных проектах. Шрифты должны быть читабельные, в статье необходимы блоки внимания и т. д. Помнить, что юзабилити тоже важно. Дизайн важен, да. Но если сайтом будет неудобно взаимодействовать, он никогда не получит высокий ИКС и позиции в выдаче. Работайте над юзабилити, проводите тесты и убирайте ошибки.
Это лишь базовый список. Он может расширяться в зависимости от типа сайта и задач, для которых он был создан.
Какой ИКС считается хорошим
Всем новым проектам присваивается ИКС 10. Практически все проекты, которые я создавал стартовали с такого значения. Далее, если я продолжал работу над ресурсов, показатель повышался. Если нет — его вообще обнуляли.
То есть, для новых проектов, которые только были созданы и над которыми активно работают ИКС 10 — это нормально. Если время идет, вы продолжаете работать над сайтом, а индекс качества не повышается, то возможно вы что-то делаете не так.
Еще раз пересмотрите свой взгляд на работу и попытайтесь понять ошибки. Если проект начинает ранжироваться и получает первый трафик — ему без проблем должны повысить индекс качества до 20-30.
Далее, с развитием проекта, ИКС должен постепенно повышаться. Примерно раз в несколько месяцев. Лично у меня этот показатель растет пропорционально трафику.
Теперь я представлю свое субъективное мнение по этому поводу. Сделаю список, какой ИКС считается низким, средним и хорошим. Оно основывается на показателях различных проектов, с которыми мне доводилось сталкиваться.
Сразу скажу, что рассматривается ИКС для проектов, которые существуют год и более. Новых ресурсов это не касается.
Еще раз скажу, что это моя субъективная оценка. Если у вас другое мнение — пишите в комментарии.
Заключение
Яндекс ИКС — это важный показатель, который определяется большим количеством разных факторов. Это посещаемость, лояльность аудитории, процент отказов, длительность сеанса и т. д.
Как говорят сами сотрудники Яндекса, ИКС — это число, которое отражает различные параметры ранжирования. Поэтому не трудно догадаться, что чем он выше, тем выше сайт будет в выдаче Яндекса и наоборот.
Я надеюсь, что эта статья помогла вам понять, что такое ИКС, как он рассчитывается, как его проверить и повысить легальными способами. Пишите свои мысли в комментарии по поводу индекса качества и делитесь результатами, если у вас есть свой блог или сайт.
