Сложение и вычитание десятичных дробей
Понятие десятичной дроби
Прежде, чем перейдем к тому, как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это число в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:
В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Ее записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это когда количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства десятичных дробей
Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:
Основные свойства
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
Сложение десятичных дробей
Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей нужно отдельно сложить каждую часть.
Рассмотрим пример сложения 3,2 и 5,3. Для удобства используем метод столбика.
Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть под целой частью другой. В школе это называют «запятая под запятой». Вот так:
Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Запишем пятерку в дробной части ответа:
Теперь целые части: 3 + 5 = 8. Запишем восьмерку в целой части ответа:
Отделим запятой целую часть от дробной, чтобы запятая была под запятой:
Получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.
Вычитание десятичных дробей
Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2
Запишем в столбик выражение так, чтобы запятая была под запятой:
Вычислим дробную часть 5 − 2 = 3. Запишем тройку в десятой части ответа:
Вычислим целую часть 2 − 2 = 0. Запишем ноль в целой части ответа:
Отделим запятой целую часть от дробной:
Вот и ответ: 2,5 − 2,2 = 0,3.
Пример 2. Вычислить: 7,353 – 3,1
В этом выражении разное количество цифр после запятой: в 7,353 три цифры после запятой, а в 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце добавим два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.
Запишем в столбик и посчитаем:
Ответ: 7,353 – 3,1 = 4,253.
Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2
В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичную дробь. Запишем это выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была под числом 3. Вот так:
Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:
Теперь вычитаем десятые части: 0 − 2. От нуля невозможно вычесть число 2. Поэтому займем единицу у соседнего разряда. Таким образом 0 превращается в число 10. Вычисляем десятые части: 10 − 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:
Сейчас вычтем целые части. В самом начале было число 3, но мы заняли у него единицу, поэтому оно обратилось в двойку. Поэтому: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:
Отделим запятой целую часть от дробной:
Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Чтобы каждый ученик в 5 и 6 классе мог повторить эту последовательность, есть специальный алгоритм:
Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей
Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно записать их в столбик друг под другом, запятая под запятой. А потом сложить как обыкновенные числа и снести запятую.
Конечные и бесконечные десятичные дроби
Содержание
Десятичные дроби делятся на три следующих класса: конечные десятичные дроби, бесконечные периодические десятичные дроби и бесконечные непериодические десятичные дроби.
Конечные десятичные дроби
К десятичным дробям относят также и такие дроби, которые можно привести к дробям, имеющим знаменатель 10, 100, 1000, 10000 и т.д., с помощью основного свойства дробей.
Для десятичных дробей существует специальный способ записи, использующий запятую. Слева от запятой записывается целая часть дроби, а справа – числитель дробной части, перед которым дописывается такое количество нулей, чтобы число цифр после запятой было равно числу нулей в знаменателе десятичной дроби.
Заметим, что десятичная дробь не изменится, если приписать несколько нулей справа или слева от неё.
Цифры, стоящие перед запятой (слева от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, образуют число, которое называют целой частью десятичной дроби.
Цифры, стоящие после запятой (справа от запятой) в десятичной записи конечной десятичной дроби, называют десятичными знаками.
В конечной десятичной дроби конечное число десятичных знаков. Десятичные знаки формируют дробную часть десятичной дроби.
Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.
Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, 10000 и т.д., достаточно перенести запятую влево на 1, 2, 3, 4 и т.д. десятичных знаков соответственно.
Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь
Обращение конечной десятичной дроби в простую дробь осуществляется очень просто, например,
Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями
Данный материал мы посвятим такой важной теме, как десятичные дроби. Сначала определимся с основными определениями, приведем примеры и остановимся на правилах десятичной записи, а также на том, что из себя представляют разряды десятичных дробей. Далее выделим основные виды: конечные и бесконечные, периодические и непериодические дроби. В финальной части мы покажем, как точки, соответствующие дробным числам, расположены на оси координат.
Что такое десятичная запись дробных чисел
Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и для дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми есть запятая.
Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделять целую часть от дробной. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулем, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.
Определение десятичных дробей
Основываясь на указанном выше понятии десятичной записи, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:
Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.
О том, как правильно представить в десятичном виде обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе, будет рассказано в рамках отдельного материала.
Как правильно читать десятичные дроби
Что такое разряды в десятичных дробях
Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах. Названия тех, что расположены после, наглядно представлены в таблице:
Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.
Что такое конечные десятичные дроби
Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, является конечным. Выведем определение:
Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.
Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби
Мы указывали выше, что конечные дроби называются так потому, что после запятой у них стоит конечное число цифр. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби также будут называться бесконечными.
Бесконечными десятичными дробями называются такие, у которых после запятой стоит бесконечное количество цифр.
В «хвосте» такой дроби могут стоять не только случайные на первый взгляд последовательности цифр, но постоянное повторение одного и того же знака или группы знаков. Дроби с чередованием после десятичной запятой называются периодическими.
Периодическими десятичными дробями называются такие бесконечные десятичные дроби, у которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.
Во избежание ошибок введем однообразие обозначений. Условимся записывать только один период (максимально короткую последовательность цифр), который стоит ближе всего к десятичной запятой, и заключать его в круглые скобки.
Бесконечные десятичные периодические дроби относятся к рациональным числам. Иначе говоря, любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной, и наоборот.
Существуют и дроби, у которых после запятой бесконечно повторяющаяся последовательность отсутствует. В таком случае их называют непериодическими дробями.
К непериодическим десятичным дробям относятся те бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой не содержится периода, т.е. повторяющейся группы цифр.
Непериодические дроби относятся к иррациональным числам. В обыкновенные дроби их не переводят.
Основные действия с десятичными дробями
С десятичными дробями можно производить следующие действия: сравнение, вычитание, сложение, деление и умножение. Разберем каждое из них отдельно.
Сравнение десятичных дробей может быть сведено к сравнению обыкновенных дробей, которые соответствуют исходным десятичным. Но бесконечные непериодические дроби свести к такому виду нельзя, а перевод десятичных дробей в обыкновенные зачастую является трудоемкой задачей. Как же быстро произвести действие сравнения, если нам нужно сделать это по ходу решения задачи? Удобно сравнивать десятичные дроби по разрядам таким же образом, как мы сравниваем натуральные числа. Этому методу мы посвятим отдельную статью.
Чтобы складывать одни десятичные дроби с другими, удобно использовать метод сложения столбиком, как для натуральных чисел. Чтобы складывать периодические десятичные дроби, необходимо предварительно заменить их обыкновенными и считать по стандартной схеме. Если же по условиям задачи нам надо сложить бесконечные непериодические дроби, то нужно перед этим округлить их до некоторого разряда, а потом уже складывать. Чем меньше разряд, до которого мы округляем, тем выше будет точность вычисления. Для вычитания, умножения и деления бесконечных дробей предварительное округление также необходимо.
Нахождение разности десятичных дробей обратно действию сложения. По сути, с помощью вычитания мы можем найти такое число, сумма которого с вычитаемой дробью даст нам уменьшаемую. Подробнее об этом расскажем в рамках отдельного материала.
Умножение десятичных дробей производится так же, как и для натуральных чисел. Для этого тоже подходит метод вычисления столбиком. Это действие с периодическими дробями мы опять же сводим к умножению обыкновенных дробей по уже изученным правилам. Бесконечные дроби, как мы помним, надо округлить перед подсчетами.
Процесс деления десятичных дробей является обратным процессу умножения. При решении задач мы также пользуемся подсчетами в столбик.
Положение десятичных дробей на оси координат
Можно установить точное соответствие между конечной десятичной дробью и точкой на оси координат. Выясним, как отметить точку на оси, которая будет точно соответствовать необходимой десятичной дроби.
Если мы находим не точку на оси, а десятичную дробь, соответствующую ей, то это действие называется десятичным измерением отрезка. Посмотрим, как правильно это сделать.
Допустим, нам нужно попасть от нуля в заданную точку на оси координат (или максимально приблизиться в случае с бесконечной дробью). Для этого мы постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не попадем в нужную точку. После целых отрезков при необходимости отмеряем десятые, сотые и более мелкие доли, чтобы соответствие было максимально точным. В итоге мы получили десятичную дробь, которая соответствует заданной точке на оси координат.
Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, то значит, что ей соответствует бесконечная десятичная дробь.
Десятичные дроби — для чайников
Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.
Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.
Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.
Десятичные дроби — коротко о главном
1. Определение
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени.
2. Конечная и бесконечная десятичная дробь
Десятичная дробь может быть:
3. Свойства десятичных дробей
4. Сложение десятичных дробей
Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.
5. Вычитание десятичных дробей
Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:
6. Умножение десятичных дробей
Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.
Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.
7. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число
Деление десятичных дробей друг на друга
Десятичные дроби — подробнее
Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, \( \displaystyle \frac<1><3>,\ \frac<1><4>,\frac<5><112>\).
Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби \( \displaystyle \frac<8><10>,\ \frac<13><100>,\frac<49><1000>\) и т.д.
Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:
Данного вида дроби называются десятичными. Иными словами:
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).
Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:
Это огромное число читается по следующему алгоритму:
А теперь прочитаем все вместе – «\( 46\) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!
Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат \( 10\) на \( 10\) и закрась какую-нибудь его часть равную:
Справился? Проверяем, что у тебя получилось.
Во-первых, квадрат \( 10\) на \( 10\) состоит из \( 100\) клеточек. Соответственно, \( 0.05\) – \( 5\) клеточек из \( 100\); \( 0,4\) – \( 40\) клеточек из \( 100\) и так далее.
С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.
Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно
Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?
Попробуй свои силы на вот этих дробях:
Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.
Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:
Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:
Виды десятичных дробей
Десятичная дробь может быть:
Поговорим сначала о конечных дробях.
Конечная десятичная дробь
Само собой понятно, что дроби \( \displaystyle \frac<8><10>,\ \frac<13><100>,\frac<49><1000>\) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: \( \displaystyle \frac<1><4>\)? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:
То есть, чтобы определить, можно ли перевести дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, такое, чтобы знаменатель стал равен \( 10\), \( 100\), \( 1000\) и так далее.
Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Сравним наши ответы:
Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.
Бесконечная десятичная дробь
Итак, бери калькулятор и дели \( 1\) на \( 17\). Поделил? Ты получил \( 0,05882352941\) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?
Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является \( 10\) в какой-либо степени (первый пример – \( 10\) в первой степени, второй – \( 10\) во второй степени и т.д.).
Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к \( <<10>^
Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как \( \displaystyle \frac<1><17>\).
Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число \( \pi \) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что \( \pi =3,14\), но это далеко не так. Число \( \pi \) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа \( \pi \). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа \( \pi \) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:
Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.
Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь \( \displaystyle \frac<1><3>\). Что у тебя получилось?
Чтобы не повторять число \( 3\) много много раз, решили говорить «ноль целых и три в периоде», так как тройка будет повторяться после запятой бесконечное число раз. Из этого умозаключения следует определение:
Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.
Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:
\( \displaystyle \frac<1><3>=0,\underbrace<3>_<период>33333333….=0,\left( 3 \right)\)
\( \displaystyle \frac<1><7>=0,\underbrace<142857>_<<период>>\underbrace<142857>_<период>142…=0,\left( 142857 \right)\)
Важно, что период не может начинаться слева от запятой:
\( \displaystyle \frac<100><7>=\underbrace<14,2857>_<не период>1428571428571…=14,\left( 285714 \right)\).
Десятичная дробь. Часть 3. Конечная или бесконечная?
Итак, теперь мы должны научится производить с десятичными дробями такие же действия, как и с обыкновенными дробями: научимся их сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить. На первом этапе мы должны помнить, что все эти действия мы будем выполнять с конечными десятичными дробями.
Для этого нам надо понять, что же такое конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби.
Конечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит конечное число цифр.
Бесконечная десятичная дробь — это дробь, у которой после запятой стоит бесконечное число цифр.
О бесконечных дробях мы поговорим чуть позже. Но для начала нам нужно научится определять какая десятичная дробь получится из обыкновенной дроби — конечная или бесконечная?
Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь, если её знаменатель раскладывается только на множители 2 и 5 (которые могут повторяться).
Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь
Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.
Здесь простые множители содержат только числа 2 и 5 (двойка повторяется, но это разрешено правилом).
Мы можем также записать это:
или 
И тогда мы получаем:
или 
Этап 3. Переведем нашу обыкновенную дробь в десятичную
Как это сделать? Ведь знаменатель дроби — число 40, а мы знаем, что у десятичных дробей знаменателем должен равняться 10, 100, 1000 и так далее (то есть одной из степеней числа 10).
Подумаем, на что мы должны умножить число 40. Мы понимаем, что знаменатель 100 у нас не получится, значит, нужно умножить 40 на 25 и мы получим 1000.
Итак, мы получили дробь
Теперь нам нужно только записать её в виде десятичной дроби. Как это сделать мы рассмотрим в следующей части.
А сейчас рассмотрим пример, когда знаменатель дроби показывает нам, что конечной десятичной дроби у нас не получится.
Этап 1. Возьмем обыкновенную дробь
Этап 2. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители.
