Линейная функция (ЕГЭ 2022)
Зависимость одной величины от другой математики называют функций одной величины от другой.
Количество денег — это функция вашей зарплаты (иногда говорят «от зарплаты»).
Вес — это функция от съеденных круассанов. Чем меньше съел, тем меньше весишь.
Расстояние — это функция времени. Чем дольше ты будешь идти, тем больше пройдешь.
Ну а теперь перейдем к одному из видов функций – линейной функции.
Линейная функция — коротко о главном
Линейная функция –это функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) – любые числа (коэффициенты).
Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:
Общие варианты представлены на рисунке:
Линейная функция
Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»?
Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.
Например, для функции \( y=\sqrt
Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.
Линейной называется функция вида \( y=kx+b\), где \( k\) и \( b\) – любые числа (они называются коэффициентами).
Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.
Как думаешь, почему она называется линейной?
Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений \( E\left( y \right)\).
Область определения линейной функции
Какими могут быть значения аргумента линейной функции \( y=kx+b\)? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:
\( D\left( y \right)=\mathbb
А множество значений?
Область значений линейной функции
Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент \( x\), тем больше значение функции \( y\).
Значит, \( y\) так же как и \( x\) может принимать все возможные значения, то есть \( E\left( y \right)=\mathbb
Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?
Вспомним формулу: \( y=kx+b\). Какие нужно выбрать коэффициенты \( k\) и \( b\), чтобы значение функции y не зависело от аргумента \( x\)?
А вот какие: \( b\) – любое, но \( k=0\). И правда, каким бы ни был аргумент \( x\), при умножении на \( k=0\) получится \( 0\)!
Тогда функция станет равна \( y=0\cdot x+b=b\), то есть она принимает одно и то же значение при всех \( x\):
\( y = kx + b:<\rm< >>\left[ \begin
Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.
Три задачи на линейную функцию
Решение задачи №1
Пусть начальное значение аргумента равно некому числу \( <
Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Решение задачи №2
Аналогично предыдущей задаче:
Начальное значение аргумента равно \( <
Начальное значение функции: \( <
В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Определение прямой пропорциональной зависимости
Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу.
При изменении аргумента линейной функции на \( \Delta x\) функция изменяется на \( k\cdot \Delta x\). То есть изменение функции всегда ровно в \( \mathbf
\) раз больше изменения аргумента.
По сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.
Решение задачи №3
Подставим известные значения аргумента и функции в формулу \( y=kx+b\):
Получили два уравнения относительно \( k\) и \( b\). Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
График линейной функции
Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).
Предположим, у нас есть функция линейная функция \( y=2x+1\). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.
То есть нужно взять любые два значения аргумента \( x\) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары \( \left( x;y \right)\) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию, если аргумент \( x=0:y\left( 0 \right)=2\cdot 0+1=1\).
Итак, первая точка имеет координаты \( \left( 0;1 \right)\).
Теперь возьмем любое другое число в качестве \( x\), например, \( x=1:y\left( 1 \right)=2\cdot 1+1=3\).
Вторая точка имеет координаты \( \left( 1;3 \right)\).
Ставим эти две точки на координатной плоскости:
Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:
Вот и все, график построен!
Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: \( y=
Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений \( x\), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.
Должно получиться так:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\).
Давай разберемся, на что они влияют.
Коэффициенты линейной функции
Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).
Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.
Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?
Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.
Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf
И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?
В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).
Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):
\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)
Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.
Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.
Чем больше \( \displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \( \displaystyle Ox\)) расположена прямая.
Если \( \displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \( \displaystyle k
Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.
Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).
Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).
Получается, что \( BC = k \cdot AC<\rm< >> \Rightarrow <\rm< >>k = \frac<
Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.
Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.
В случае, когда \( k
Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( <\mathop<\rm tg>\nolimits> \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.
Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.
Разбор еще трех задач на линейную функцию
1. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.
2. Найдите коэффициенты \( \displaystyle k\) и \( \displaystyle b\) линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.
3. График какой из функций изображен на рисунке?
Решение задачи №1
Коэффициент \( b\) найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью \( \displaystyle Oy\):
Угловой коэффициент \( \displaystyle k\) – это тангенс угла наклона прямой.
Для его нахождения выберем две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\) на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( \displaystyle AB\):
Линейная функция, ее свойства и график
теория по математике 📈 функции
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
Вписываем в таблицу значения у:
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
График данной функции зависит от k и b.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
График линейной функции, его свойства и формулы
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Линейная функция
Линейная функция — функция вида
(для функций одной переменной).
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.
График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.
Содержание
Свойства
Линейная функция нескольких переменных
Линейная функция 
переменных 
— функция вида
где 
— некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё -мерное пространство переменных 
вещественных или комплексных. При 
линейная функция называется однородной, или линейной формой.
Если все переменные и коэффициенты — вещественные числа, то графиком линейной функции в 
-мерном пространстве переменных 
является -мерная гиперплоскость
в частности при 
— прямая линия на плоскости.
Абстрактная алгебра
Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства 
над некоторым полем 
в это поле, то есть для такого отображения 
, что для любых элементов 
и любых 
справедливо равенство
причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.
Алгебра логики
Булева функция 
называется линейной, если существуют такие , где 
, что для любых имеет место равенство:
.
Нелинейные функции
Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.
То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.
В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям 
, где 
, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае 
и 
. Например, нелинейной зависимостью считают 
для материала с упрочнением (см. теория пластичности).
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Линейная функция» в других словарях:
Линейная функция — функция вида у = kx + b. Основное свойство Л. ф.: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Графически Л. ф. изображается прямой линией. При равных масштабах на осях коэффициент k; (угловой коэффициент) равен тангенсу угла … Большая советская энциклопедия
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — (linear function) Функция вида у = а+b, где а и b являются константами. Линейная функция называется так потому, что ее график всегда является прямой линией. Уравнение y=0 всегда может быть решено линейной функцией при b≠0 с использованием формулы … Экономический словарь
Линейная функция — Линейная функция. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, функция вида y = kx+b. График линейной функции прямая, наклоненная к оси абсцисс (x) под углом a, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат (y) отрезок b, а на оси абсцисс отрезок b/k. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая функция МНОГОЧЛЕНА, не включающая в себя производных переменных выше, чем единица. Например, f(x)=7x+3. Графически линейная функция в двухмерной системе представляется прямой линией … Научно-технический энциклопедический словарь
Линейная функция — [linear function] функция вида ax + b = y. Основное ее свойство: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Л.ф. изображается на графике прямой линией Коэффициент а. характеризует ее наклон. Если b = 0, функция называется… … Экономико-математический словарь
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — ЛИНЕЙНАЯ функция, функция вида y = kx+b. График линейной функции прямая, наклоненная к оси абсцисс (x) под углом a, тангенс которого равен k, и отсекающая на оси ординат (y) отрезок b, а на оси абсцисс отрезок b/k … Современная энциклопедия
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — числовая функция 1 й степени относительно всех её переменных (аргументов), изображаемая на графике прямой линией; выражается формулой у = kx + b, где число k называется угловым коэффициентом (k равен тангенсу угла наклона, tga = k), b есть… … Большая политехническая энциклопедия
