что значит найти объединение в тригонометрии

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Практика приемных экзаменов в вузы показывает, что при решении тригонометрических уравнений абитуриенты нередко затрудняются как в выборе способа решения уравнения, так и при отборе его корней.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся корни решения или этого можно не делать?

С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой или правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.

В предлагаемой работе на конкретных примерах рассматриваются различные способы и приемы при выборе ответа. Надеемся, что данная работа поможет учителям старших классов и самим учащимся при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.

1. Отбор чисел на тригонометрическом круге

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием, на наш взгляд, более наглядный и убедительный.

Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.

2sin x sin 2x – 2sin 2 x = 0,

Из рис. 1 видно, что серия x₃(*) включает в себя один из корней серии x₁( · ).

Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.

Серия x₂(*) не удовлетворяет ОДЗ (рис. 2). Серия x₁( o ) входит в серию x₃( · ), поэтому ответ можно записать одной формулой:

Пример 3.

sin 2x (2cos 2x cos x + cos 7x) = 0,

sin 2x (cos 3x + cos x + cos 7x) = 0,

sin 2x (cos 3x + 2cos 4x cos 3x) = 0,

sin 2x cos 3x (1 + 2cos 4x) = 0,

Объединяя все три серии корней, ответ можно записать так:

Пример 4. sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x.

– (cos 2x + cos 4x) + 1 + cos 6x = 0,

– 2cos 3x cos x + 2cos2 3x = 0,

cos 3x (cos 3x – cos x) = 0,

cos 3x sin 2x sin x = 0,

Серия корней x₂ содержится в серии x₁ и x₃, в чем легко убедиться, изобразив их различными точками на круге, поэтому

ответ:

Пример 5. sin x + sin 7x – cos 5x + cos (3x – 2 p ) = 0.

2sin 4x cos 3x + 2sin 4x sin x = 0,

sin 4x (cos 3x + sin x) = 0,

Серия x₂ содержится в серии корней x₁, а на круге (рис. 4) изобразим точками серии x₁( · ) и x₃(О), которые не совпадают.

Пример 6. ctg 2x + 2ctg x – tg 2x = sin 5x.

ОДЗ

Учитывая ОДЗ, получим

Пример 7.

Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.
Нанесем на тригонометрический круг (рис. 6) все числа серии
и выбросим корни, удовлетворяющие условию

Оставшиеся решения из серии x₁ можно объединить в формулу

2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом

Пример 8. sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 5x = 2.

cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos 10x = 0,

2cos 5x cos x + 2cos 9x cos x = 0,

cos x cos 2x cos 7x = 0.

«Период» серий равен p. Рассмотрим те корни из серий x₁, x₂, x₃, которые попадают в промежуток [0; p ]. Это будут:

Способ алгебраический. Общим знаменателем в сериях x₁ и x₂ будет 4:

Если x₁ = x₂, то 2 + 4k = 1 + 2l, но слева – четное число, а справа – нечетное. Равенство невозможно, серии x₁ и x₂ не пересекаются. Аналогично получаем, что серии х₃ и х₂ тоже не пересекаются, а вот для серий x₁ и x₃ получаются формулы

Из равенства 7 + 14k = 1 + 2m получаем m = 7k + 3. Это означает, что для всякого k найдется целое m такое, что будет выполняться равенство 7 + 14k = 1 + 2m, т. е. всякий корень из серии x₁ встретится и в серии x₃, поэтому серия x₁ содержится в серии x₃, и в ответе писать ее не надо.

При решении некоторых тригонометрических уравнений их заменяют эквивалентной системой уравнений, а затем находят пересечение множеств решений. Эти пересечения часто найти легко. Но иногда для нахождения решений необходимо решать диафантово уравнение (ax + by = c).

Пример 9.

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдем такие целые k, при которых x = p + 2 p k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x № 3 p n, n О Z. Пусть p + 2 p k = 3 p n; 1 + 2k = 3n. Отсюда n = 2m + 1 Ю k = 3m + 1. Итак, посторонние корни в серии x = p + 2 p k будет при k = 3m + 1, m О Z.

Пример 10. cos 7x (sin 5x – 1) = 0.

Пересекаются ли эти серии? Из равенства

следует 5k = 14n + 1. Выразим ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине:

– целое число.

Ответ можно записать в виде

Пример 11.

Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

Решением уравнения является пересечение серий x₁ и x₂, т. е. нам надо решить уравнение

Из него получаем уравнение, имеющее решение k = 8t, n = 3t.

Пример 12.

Решением уравнения является пересечение серий x₁ и x₂;

где – целое число;

Пример 13.

sin 2x sin 4x = 2sin x sin 3x cos x,

sin 2x sin 4x = sin 2x sin 3x,

sin 2x (sin 4x – sin 3x) = 0,

Остается проверить, лежат ли они в области x О R,

Серию x₁ проверить легко: поскольку ,

а при n, кратных 8, n = 8l (l О Z), получается как раз x № 2 p l, вся серия x₁ исключается. Сложнее обстоит дело с серией x₂. Здесь надо выяснить, при каких целых k найдется такое n, что выполняется равенство ,

и исключить такие k. Последнее уравнение приводится к виду 8k + 4 = 7n, причем решать это уравнение надо в целых числах. Из него следует, что n = 4l, поскольку левая часть уравнения делится на 4. Подставляя n = 4l в уравнение, получаем 8k + 4 = 28l, откуда 2k + 1 = 7l. Далее, l должно быть нечетно, l = 2t + 1; поэтому 2k + 1 = 14t + 7, k = 7t + 3. Вот решение и получилось:

Ответ:

3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 14. Найти корни уравнения sin 2x = cos x | cos x |,

удовлетворяющие условию x О [0; 2 p ].

Условию cos x і 0 удовлетворяют

из серии

из серии

Наконец,

Пример 15. Найти все решения уравнения

удовлетворяющие условию

так как то

Пример 16. Найти все решения уравнения

принадлежащие отрезку .

Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге (рис. 9):

Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно .

Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:

1 + sin 2x = 2cos 2 3x Ю sin 2x = cos 6x,

Из серии при n = 2 имеем

Из серии при n = 5 имеем

Пример 17.

Ответ:

Пример 18. Найти все корни уравнения

которые удовлетворяют условию .

10sin 2 x = – cos 2x + 3 Ю 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3,

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из серии

При

при .

Аналогично выберем корни, удовлетворяющие условию задачи, из второй серии. Это будут .

Пример 19.

sin x и cos x должны быть одинакового знака, а, учитывая первое неравенство, только при sin x > 0 и cos x > 0 система совместна. Значит, x оканчивается в первой четверти. Имеем

1 + 2sin x cos x = 4sin x cos x Ю sin 2x = 1,

Ответ:

Пример 20.

Ответ:

Пример 21.

а)

Но ctg x 0. Решений нет.

б)

Ответ:

.

Примеры для самостоятельного решения

7. Найти все решения уравнения, принадлежащие указанным промежуткам:

Л. Максименко,
Р. Зинченко,
г. Ангарск

Источник

Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

Внимание! Еще одна часть видеоурока находится ниже!

Когда вы решаете квадратное уравнение относительно синуса или косинуса, то в ответе получается много отдельных множеств, работать с которыми крайне неудобно. Поэтому сегодня мы научимся объединять их, научимся искать симметрию в наборах корней и упрощать себе ответы, а, следовательно, и работу с множествами.

На самом деле существует два способа упростить решение квадратных тождеств. Назовем их условно геометрическим и алгебраическим. Алгебраический подход рассказывается в школе, но большинство учеников пропускают этот способ мимо ушей. Поэтому сегодняшний видео урок будет состоять из двух частей: второй — целиком посвященной геометрическому подходу, когда мы отмечаем корни на тригонометрическом круге, и первой части — в ней рассказывается о формулах понижения степеней. Итак, начнем.

Алгебраический подход

Сейчас мы будем использовать только алгебраический подход. Все, что нам потребуется для решения — это формула косинуса двойного угла:

Давайте немного преобразуем ее:

Но как мы знаем, формулу косинуса двойного угла можно переписать и по-другому, а именно:

Вот эти две конструкции сейчас мы и будем использовать.

Решаем реальные задачи

Задача №1

Воспользуемся основным свойством пропорции:

\[\left( 1+\cos 2x \right)\cdot 4=6\]

Решаем обычное тригонометрическое тождество:

Мы нашли корни тригонометрического уравнения.

Задача №2

Применяем нашу вторую конструкцию:

Снова получили пропорцию, перемножаем крест-накрест:

Мы снова получили корни уравнения.

Задача №3

Снова применяем наши выкладки:

Если вы сравните эти ответы с тем, что мы получили в предыдущей части этого урока, то обнаружите, что ответы абсолютно одинаковые. Мы получили один и тот же результат, используя разные подходы — геометрический с помощью тригонометрического круга и алгебраический с помощью формул понижения степеней.

Геометрический подход

Реальные задачи

Пример №1

Сначала избавляемся от квадрата. Как всегда, если функция в квадрате равна какому-либо числу, то сама функция равна либо корню из этого числа, либо «минус» корню из этого числа:

Решаем уравнение, чтобы найти корни тригонометрического выражения:

В контексте нашего сегодняшнего урока все числа принадлежат множеству целых чисел.

Вот мы и получили два множества. Давайте отметим эти числа на тригонометрической окружности и найдем корни:

Теперь разберемся со вторым набором. Тут все то же самое:\[-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >k\]. Таким образом, мы можем просто спереди поставить ±, и это будет наш окончательный ответ:

Вместо четырех множеств (или двух) мы получили всего одно множество. В этом и состоит смысл симметрии корней. В дальнейшем, когда нам нужно будет что-то сделать с этими корнями, мы уже будем работать не с 4 наборами, а всего лишь с двумя.

Пример №2

Опять же используем наши выкладки и избавляемся от квадрата:

И второе уравнение:

Отмечаем эти числа на тригонометрической окружности:

Пример №3

Снова считаем по нашим выкладкам:

Переходим ко второму выражению:

Вот мы и получили четыре набора корней. Давайте отметим их:

На первый взгляд эта конструкция, все эти вычисления могут показаться очень сложными. Геометрический подход, действительно, понимают не все ученики. Однако стоит немного потренироваться, и вы будете щелкать квадратные уравнения как орешки.

Ключевые моменты

Решая уравнения, квадратные относительно синуса или косинуса, вы постоянно будете натыкаться на громоздкие ответы, работать с которыми (например, для отбора корней) совершенно невозможно. Однако при желании можно значительно упростить эти конструкции. И сегодня мы поговорим о двух методах упрощения:

Вы можете использовать любой прием — ответ получится один и тот же. Кому-то (например, мне) удобнее отмечать точки на тригонометрическом круге, а кому-то проще раз и навсегда запомнить формулы понижения степени (которые, кстати, совсем несложные).

Симметрия корней на тригонометрическом круге

Тут все банально. Решаем равенство, отмечаем полученные корни на круге, а затем ищем какую-нибудь закономерность в их расположении. Например, корни могут отстоять друг от друга на половину исходного периода, либо располагаться симметрично относительно начала координат.

Формулы понижения степеней

Это уникальная фишка, которая работает только в тригонометрических уравнениях. Уравнения, квадратные относительно синуса или косинуса, легком сводятся к равносильным линейным. Все, что для этого потребуется — формулы косинуса двойного угла:

Источник