что значит окружности касаются в данной точке
Что значит окружности касаются в данной точке
Вопрос 1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Ответ. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
Вопрос 2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Ответ. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда проходящая через центр, называется диаметром.
Вопрос 3. Какая окружность называется описанной около треугольника?
Ответ. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Вопрос 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Ответ. Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник AOC равнобедренный: у него стороны OA и OC равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через её середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.
Вопрос 5. Какая прямая называется касательной к окружности?
Ответ. Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.
Вопрос 6. Что значит: окружности касаются в данной точке?
Ответ. Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97).
Вопрос 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?
Ответ. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).
Вопрос 8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Ответ. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Вопрос 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Ответ. Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза AO общая, а катеты OD и OE равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и OAE. А это значит, что точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведённой из вершины A. Точно так же доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
Вопрос 10. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.
Ответ. Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку B (рис. 99, б). Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром B и радиусом a. Пусть C – точка её пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным c, описываем окружность из центра B, а раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра C. Пусть A – точка пересечения этих окружностей. Проведём отрезки AB и AC. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c. Что и требовалось оъяснить.
Что значит: окружности касаются в данной точке?
Другие вопросы из категории
P.S. задача правильная!
а) площадь треугольника ACD
б) площадь трапеции ABCD
Найти: Периметр паралелограмма
Доказать:что угол DAB острый
Читайте также
уравнение прямой проходящей через точки А и В
а)Найдите координаты центра окружности.
б)найдите радиус окружности
с) запишите уравнение окружности.
3)Даны точки А(0;1) В(2;5) С(4;1) Д (2;-3)
Докажите, что АВСД ромб.
4)Даны точки А(4;8) и В(2;-2)
а) Найдите ккординатысеридины отрезка АВ.
б) Найдите расстояние между точками А и В,
с) Составить уравнение прямой проходящей через точки А и В
а)Найдите координаты центра окружности.
б)найдите радиус окружности
с) запишите уравнение окружности.
6)Даны точки А(1;5) В(-2;2) С(0;0) Д (3;3)
Докажите, что АВСД прямоугольник.
СДЕЛАЙТЕ ВСЕ! КТО СДЕЛАЕТ ВСЕ ПОБЛАГОДАРЮ И ВЫБЕРУ ЛУЧШИМ!
Кто сделает не все отмечу как нарушение.
данным векторам. 3)Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. 4)Объясните, как вводится прямоугольная системы координат. 5)Что такое координатные векторы? 6)Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам. 7)Что такое координаты вектора? 8)Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.9)Что такое радиус-вектора точки?Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам векторов. 10)Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца. 11)Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его концов. 12) Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам. 13)Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам. 14)Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат. 15)Какое уравнение называется уравнением данной линии?Приведите пример. 16)Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке. 17)Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат. 18)Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат. 19)Напишите уравнение прямых, проходящих через данную точку M0 (X0 : Y0) и параллельных осям координат. 20)Напишите уравнение осей координат. 21)Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.
окружности с центром в точке О1 равна длине этой дуги. Найдите отношения радиусов окружностей.
Касательные к окружности
В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».
И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.
В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».
Касательные к окружности. Коротко о главном
Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.
Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: \( \displaystyle \angle CAB=\frac<1><2>\angle AOB\), где:
Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:
Внешнее касание
Внутреннее касание
Для двух окружностей с центрами \( \displaystyle <
Касательные к окружности. Определения и основная теорема
Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.
Такая прямая называется касательной к данной окружности.
Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.
Ну вот, и точно так же:
Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.
Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?
Самая важная теорема гласит, что:
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.
Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.
То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!
Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
Смотри, хорда \( \displaystyle AB\) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла \( \displaystyle BAC\), а другая дуга – внутри угла \( \displaystyle BAD\).
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что \( \displaystyle \angle CAB\) равен ПОЛОВИНЕ угла \( \displaystyle AOB\), \( \displaystyle \angle DAB\) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла \( \displaystyle AOB\).
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. \( \displaystyle OA\) – радиус, \( \displaystyle AC\) – касательная.
Значит, \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника \( \displaystyle AOB\) равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).
Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, \( \displaystyle AB=AC\).
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Проведём радиусы \( \displaystyle OB\) и \( \displaystyle OC\) и соединим \( \displaystyle O\) и \( \displaystyle A\).
\( \displaystyle OB\) – радиус.
\( \displaystyle AB\) – касательная, значит, \( \displaystyle OB\bot AB\).
Ну, и так же \( \displaystyle OC\bot AC\).
Получилось два прямоугольных треугольника \( \displaystyle AOB\) и \( \displaystyle AOC\), у которых:
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).
Но раз \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,\) то\( \displaystyle AB=AC\). УРА!
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой \( \displaystyle AD\), пересекающей окружность,\( \displaystyle AD\cdot AC=A<^<2>>\), где \( \displaystyle AB\) – отрезок касательной.
Хитроумными словами об этом говорят так:
«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
Общая касательная к двум окружностям
Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.
Общие касательные бывают внешние и внутренние. Смотри на картинки.
Две внутренние общие касательные:
Две внешние общие касательные:
А всего – четыре! Не больше, но может быть меньше.
Есть только две внешние общие касательные.
Или так: одна внутренняя и две внешних.
А может быть вообще так:
Только одна общая касательная.
И снова факты:
Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.
НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)
Касающиеся окружности
Касание окружностей бывает внешним и внутренним.
Вот такая картинка называется «окружности касаются внешним образом»:
А вот такая картинка называется «окружности касаются внутренним образом»:
Что же самое главное нужно знать?
Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.
Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:
Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай! 🙂