Проекция (в геометрии)
В черчении широко применяется частный вид параллельного проектирования, когда плоскость П. расположена перпендикулярно (ортогонально) к направлению проектирования. П. в этом случае называется прямоугольной или ортогональной.
Полезное
Смотреть что такое «Проекция (в геометрии)» в других словарях:
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio букв. бросание вперед), изображение пространственных фигур на плоскости (или на какой либо другой поверхности). Центральная проекция: из определенной точки О (центра проекции) через все точки данной фигуры проводятся лучи до… … Большой Энциклопедический словарь
ПРОЕКЦИЯ — ПРОЕКЦИЯ, и, жен. (спец.). 1. Изображение пространственных фигур на плоскости. 2. Передача на экран изображений. | прил. проективный, ая, ое (к 1 знач.) и проекционный, ая, ое (ко 2 знач.). Проективная геометрия (раздел геометрии). Проекционный… … Толковый словарь Ожегова
проекция — и; ж. [от лат. projectio бросание вперёд, вдаль] 1. Матем. Изображение пространственных фигур на плоскости. Картографические проекции. Горизонтальная, вертикальная п. П. пирамиды. Вычертить детали по трём проекциям. 2. Спец. Изображение на экране … Энциклопедический словарь
Проекция (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекции Параллельная Прямоугольная (ортогональная) Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая Триметрическая Косоугольная Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая… … Википедия
Проекция — I Проекция (от лат. projectio бросание вперёд, выбрасывание) геометрический термин, связанный с операцией проектирования (проецирования), которую можно определить следующим образом (см. рис. 1): выбирают произвольную точку S пространства… … Большая советская энциклопедия
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio, букв. выбрасывание вперёд), изображение пространственных фигур на плоскости (или на к. л. другой поверхности). Центральная П.: из определ. точки О (центра П.) через все точки данной фигуры проводятся лучи до пересечения с… … Естествознание. Энциклопедический словарь
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы S0 (на рис. эта плоскость экваториальная,… … Математическая энциклопедия
Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.… … Большая советская энциклопедия
Начертательная геометрия — Начертательная геометрия инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов для исследования свойств геометрических объектов. Практически, начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов … Википедия
Проекция (геометрия)
Проекция (лат. projectio — выбрасывание вперёд)
Содержание
Общее определение
Отображение 
из пространства в себя называется проекцией если 
Проекция из трёхмерного пространства на плоскость
Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.
Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной проекции.
Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это аксонометрическая проекция.
Проекция из произвольного пространства на его подпространство
Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) — широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также — очень широко — при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).
Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).
Ортогональная проекция на прямую и на направление
Чаще всего используется ортогональная проекция.
Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операция проектирования, и в отношении её результата (при операции проектирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).
Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.
Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроектировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.
Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.
Неортогональная проекция на прямую и на направление
Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.
Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае — вместо плоскости другую прямую, в случае n-мерного пространства — гиперплоскость размерности (n-1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.
В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.
Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.
Тем не менее понятие неортогонального проектирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).
Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость
В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.
Проецирование, виды проецирования
Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.
Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.
Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.
Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.
Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное.
Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.
Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.
Проекция точки на плоскость
Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.
Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.
Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.
Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры
Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.
Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:
— получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;
Рассмотрим теорию на практических примерах.
Решение
Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.
Составим систему уравнений:
И решим ее, используя метод Крамера:
Решение
В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
Далее рассмотрим еще один вариант решения, отличный от того, что мы использовали в первом примере.
Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:
Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой
Для этого в уравнение плоскости подставим:
Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.
Продемонстрируем, как был получен этот результат.
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Решение
Значение слова «проекция»
1. Мат. Изображение пространственных фигур на плоскости.
2. Спец. Изображение на экране неподвижных объектов, полученное оптическим способом.
[От лат. projectio — бросание вперед, вдаль]
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Проекция (геометрия) — изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.
Картографическая проекция — математически определённый способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости.
Проекция, проецирование — получение изображения из оптического прибора на удалённом от него экране.
Проекция (реляционная алгебра) — одна из операций над отношениями в реляционных базах данных.
Проекция (теория множеств) — операция, выбирающая одну или несколько компонент их каждого элемента множества кортежей.
Проекция (психология) — механизм психологической защиты индивида.
ПРОЕ’КЦИЯ, и, ж. [латин. projectio — бросание вперед, вдаль]. 1. Геометрическое изображение на плоскости, получаемое при проведении перпендикуляров из всех точек данного тела на эту плоскость (мат.). Параллельные проекции. Прямоугольные проекции. Картографические проекции. 2. Передача на экран рисунков, кино-кадров (спец.). 3. В идеалистической философии — отнесение получаемых человеком ощущений к вызывающим их предметам и явлениям материального мира (филос.).
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
прое́кция
1. геометр. перенос точек фигуры с помощью пучка воображаемых проецирующих световых или зрительных лучей ◆ Географическая карта является изображением участка земной поверхности в той или иной проекции.
2. геометр. изображение, полученное с помощью такого [1] переноса ◆ План здания представляет собой его проекцию на горизонтальную плоскость ◆ Плоский вектор полностью определяется своими проекциями на координатные оси.
3. геометр. величина такого [2] изображения ◆ Координаты точки можно определить как проекции её радиуса-вектора на оси координат.
4. увеличенное изображение на экране неподвижных или подвижных объектов с помощью светооптического устройства
Фразеологизмы и устойчивые сочетания
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова зодиакальный (прилагательное):
Проекция
Прое́кция (лат. projectio — бросание вперёд):
 | Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью. |
Полезное
Смотреть что такое «Проекция» в других словарях:
проекция — Классическая форма защиты, состоящая в приписывании другому или другим своих собственных ощущений, эмоций, мыслей, проблем (Смотри также: профлексия, дефлексия и ретрофлексия). Краткий толко … Большая психологическая энциклопедия
ПРОЕКЦИЯ — (лат., от projicere выставлять). Изображение предмета на плане, на плоской поверхности, по известным геометрическим законам; набрасывание на бумаге положения и формы предмета. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio бросание вперёд, выбрасывание) в психологии, восприятие собств. психич. процессов как свойств внеш. объекта в резуль тате бессознат. перенесения на него своих внутр. импульсов и чувств. П. играет большую роль в процессе … Философская энциклопедия
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio букв. бросание вперед), изображение пространственных фигур на плоскости (или на какой либо другой поверхности). Центральная проекция: из определенной точки О (центра проекции) через все точки данной фигуры проводятся лучи до… … Большой Энциклопедический словарь
проекция — вид, отображение Словарь русских синонимов. проекция сущ., кол во синонимов: 6 • звукопроекция (1) • … Словарь синонимов
ПРОЕКЦИЯ — ПРОЕКЦИЯ, проекции, жен. (лат. projectio бросание вперед, вдаль). 1. Геометрическое изображение на плоскости, получаемое при проведении перпендикуляров из всех точек данного тела на эту плоскость (мат.). Параллельные проекции. Прямоугольные… … Толковый словарь Ушакова
ПРОЕКЦИЯ — ПРОЕКЦИЯ, и, жен. (спец.). 1. Изображение пространственных фигур на плоскости. 2. Передача на экран изображений. | прил. проективный, ая, ое (к 1 знач.) и проекционный, ая, ое (ко 2 знач.). Проективная геометрия (раздел геометрии). Проекционный… … Толковый словарь Ожегова
ПРОЕКЦИЯ — англ. projection; нем. Projektion. 1. Механизм психол. защиты индивида, заключающийся в неосознанном наделении др. индивида собственными чертами и свойствами. 2. Восприятие собственных псих, процессов как свойств внешнего объекта в результате… … Энциклопедия социологии
проекция — ПРОЕКЦИЯ. 1. Психологический механизм, заключающийся в бессознательном приписывании субъектом имеющихся у него неосознаваемых мыслей, переживаний, черт и мотивов другим людям. Впервые понятие П. ввел 3. Фрейд, который рассматривал в… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
проекция — проекция. Произносится [проэкция] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке
