5.3 Сходимость по вероятности
если для любого
P
5.4 Закон больших числе в форме Чебышёва
Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со ссвоими средними значениями.
5.5 Закон больших чисел в форме Бернулли (схема Бернулли)
Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли 
Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е. 
иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).
5.6 Центральная предельная теорема (формулировка, пример применения для решения задач)
Закон распределения суммы независимых случайных величин Xi(i=1,2,…,n) приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении n, если выполняются следующие условия:
1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:
2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:
5.7 Центральная предельная теорема в случае схемы Бернулли (теорема Муавра-Лапласа).
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний
достаточно велико, то вероятность можно вычислять по приближённой
(тем точнее, чем больше n)
Глава 1. Случайные события
1. Случайные события: элементарные, достоверные, невозможные, несовместные, совместные, равновозможные. Попарно-несовместные, образующие полную группу. Пространство элементарных событий. Случай.
2. Сумма, произведение, разность, отрицание. Теоретико-множественная трактовка. Диаграммы Эйлера-Венна. Алгебра событий. Понятие сигма-алгебры.
3. Частота события. Свойство статистической устойчивости. Статистическое определение вероятности.
4. Классическое определение вероятности события. Непосредственное вычисление вероятностей.
5. Комбинаторика: правило умножения и сложения. Основные схемы: с возвращением, без возвращения. Понятия размещения, сочетания, перестановки.
6. Геометрическое определение вероятности.
7. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятностей.
8. Вероятностное пространство.
9. Условная вероятность.
10. Вероятность произведения событий.
11. Независимость событий.
12. Вероятность суммы событий.
13. Формула полной вероятности.
15. Понятие простой однородной цепи Маркова.
16. Независимые испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей.
17. Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
18. Схема Бернулли. Наивероятнейшее число.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ
Смотреть что такое «СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ» в других словарях:
Сходимость по распределению — в теории вероятностей вид сходимости случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… … Википедия
Сходимость почти всюду — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру. Содержание 1 Определение 1.1 Термин … Википедия
Сходимость в Lp — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть пространство с… … Википедия
Сходимость по мере — (по вероятности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве). Определение Пусть пространство с мерой.… … Википедия
Сходимость — математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… … Большая советская энциклопедия
СТОХАСТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ — тоже, что сходимость по вероятности … Математическая энциклопедия
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия
Сходимость по вероятности
Смотреть что такое «Сходимость по вероятности» в других словарях:
Сходимость по распределению — в теории вероятностей вид сходимости случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… … Википедия
Сходимость почти всюду — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру. Содержание 1 Определение 1.1 Термин … Википедия
Сходимость в Lp — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть пространство с… … Википедия
Сходимость по мере — (по вероятности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве). Определение Пусть пространство с мерой.… … Википедия
Сходимость — математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… … Большая советская энциклопедия
СТОХАСТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ — тоже, что сходимость по вероятности … Математическая энциклопедия
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия
Эта статья является дополнительной к « Сходимости случайных величин » и предоставляет доказательства выбранных результатов.
Некоторые результаты будут получены с использованием леммы Портманто : последовательность < X n > сходится по распределению к X тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:
СОДЕРЖАНИЕ
Сходимость почти наверняка означает сходимость по вероятности
Наконец, по преемственности сверху,
Сходимость по вероятности не означает почти уверенной сходимости в дискретном случае.
Сходимость по вероятности подразумевает сходимость по распределению
Доказательство для случая скалярных случайных величин.
Более короткое доказательство леммы:
Доказательство теоремы: напомним, что для доказательства сходимости по распределению необходимо показать, что последовательность кумулятивных функций распределения сходится к F X в каждой точке, где F X непрерывна. Пусть a будет такой точкой. Для любого ε> 0 в силу предыдущей леммы имеем:
Переходя к пределу при n → ∞, получаем:
что означает, что < X n > сходится к X по распределению.
Доказательство для общего случая
Сходимость распределения к константе подразумевает сходимость по вероятности
что по определению означает, что X n сходится к c по вероятности.
Сходимость по вероятности к последовательности, сходящейся по распределению, подразумевает сходимость к тому же распределению
Доказательство: мы докажем эту теорему, используя лемму Портманто, часть B. Как требуется в этой лемме, рассмотрим любую ограниченную функцию f (т.е. | f ( x ) | ≤ M ), которая также является липшицевой:
(здесь 1 обозначает индикаторную функцию ; математическое ожидание индикаторной функции равно вероятности соответствующего события). Следовательно,
Если мы возьмем предел в этом выражении при n → ∞, второй член обратится к нулю, поскольку < Y n −X n > сходится к нулю по вероятности; и третий член также будет сходиться к нулю в силу леммы Портманто и того факта, что X n сходится к X по распределению. Таким образом
Поскольку ε было произвольным, мы заключаем, что предел фактически должен быть равен нулю, и поэтому E [ f ( Y n )] → E [ f ( X )], что опять же по лемме Портманто означает, что < Y n > сходится до X в раздаче. QED.
Сходимость одной последовательности в распределении и другой к константе подразумевает совместную сходимость в распределении.
Доказательство: мы докажем это утверждение, используя лемму Портманто, часть A.
Сходимость двух последовательностей по вероятности подразумевает совместную сходимость по вероятности
СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ
Смотреть что такое «СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ» в других словарях:
Сходимость по распределению — в теории вероятностей вид сходимости случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… … Википедия
Сходимость почти всюду — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру. Содержание 1 Определение 1.1 Термин … Википедия
Сходимость в Lp — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть пространство с… … Википедия
Сходимость по мере — (по вероятности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве). Определение Пусть пространство с мерой.… … Википедия
Сходимость — математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… … Большая советская энциклопедия
СТОХАСТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ — тоже, что сходимость по вероятности … Математическая энциклопедия
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия
