Числовые равенства, свойства числовых равенств
После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.
Что такое числовое равенство
Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.
Свойства числовых равенств
Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.
Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.
Основные свойства числовых равенств
Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
Понятие равенства, знак равенства, связанные определения
Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.
Что такое равенство
Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.
Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты 
и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.
Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: 
и 
. Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.
Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.
Запись равенств, знак равно
Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).
Верные и неверные равенства
Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.
Свойства равенств
Запишем три основных свойства равенств:
Буквенно сформулированные свойства запишем так:
Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные и т.д. равенства
При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.
Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.
Значение слова «равенство»
2. Равное положение людей в обществе, выражающееся в одинаковом отношении к средствам производства и в пользовании одинаковыми политическими и гражданскими правами. — когда социалисты говорят о равенстве, они понимают под ним всегда общественное равенство, равенство общественного положения, а никоим образом не равенство физических и душевных способностей отдельных личностей. Ленин, Либеральный профессор о равенстве.
3. Мат. Соотношение между величинами, показывающее, что одна величина равна другой.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Равноправие (равенство перед законом)
Уравниловка (принудительное равенство)
Эгалитаризм (фр. égalitarisme, от égalité — равенство) — социальная концепция
Конгруэнтность (геометрия) (равенство фигур)
РА’ВЕНСТВО (раве́нство устар.), а, ср. (книжн.). 1. только ед. Отвлеч. сущ. к равный, одинаковость, полное сходство (по величине, качеству, достоинству и т. п.). Без колхозов — неравенство, в колхозах — равенство прав. Сталин. Р. сил. Р. отношений. Р. образования. Р. треугольников. Р. голосов. Р. расстояния. Могу раве́нство меж вами я восстановить. Пушкин. 2. только ед. Такое положение людей в обществе, при к-ром они находятся в одинаковом отношении к средствам производства всего общества. . Не может быть действительного равенства между хозяином и рабочим, между помещиком и крестьянином, если у первых имеется богатство и политический вес в обществе, а вторые лишены и того и другого, если первые являются эксплоататорами, а вторые эксплоатируемыми. Сталин. Под равенством марксизм понимает не уравниловку в области личных потребностей и быта, а уничтожение классов. Сталин. Сталинская конституция устанавливает р. граждан, обеспечивая его законодательным закреплением факта уничтожения капитализма в СССР и освобождения граждан СССР от всякой эксплоатации. Политическое р. Социальное р. Эксплоататорский строй капитализма фактически устраняет
р. «Свобода, равенство и братство»
(лозунг французской буржуазной революции 1789 г. — лозунг формальной буржуазной демократии). 3. Алгебраическое выражение из двух частей, равных между собой (мат.). Знак равенства (=). Р., справедливое при всех значениях входящих в него букв, называется тождеством, справедливое же только при нек-рых значениях называется уравнением.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
ра́венство
1. одинаковость, полное сходство по каким-то признакам
2. равное положение людей в обществе, выражающееся в одинаковом отношении к средствам производства и в пользовании одинаковыми правами
3. матем. соотношение между величинами, показывающее, что одна величина равна другой, а также формализованная запись такого соотношения ◆ Равенства, в которые входит неизвестное число, носят особое название. А. Н. Барсуков, «Алгебра, учебник для 6-8 классов», 1970 г.
Фразеологизмы и устойчивые сочетания
раве́нство
1. устар. то же, что уравновешенность о характере, поведении или самом человеке ◆ Изо всех новых лиц, с которыми тут свела меня судьба, он более всех полюбился мне своею приветливостью, раве́нством своего характера. Вигель, «Записки, II, 5»
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова силок (существительное):
Урок математики в 1-м классе на тему «Первое понятие о равенстве. Знак равенства «=». Запись числовых равенств»
I. Организационный момент.
Учитель: Поиграем, посчитаем, что-то новое узнаем. Возьмём с собой воображение, внимание, наблюдательность, настойчивость – и смело в путь!
Работа с геометрическим материалом.
(Пособие “Нестандартные задачи по математике”, Москва, изд. “Экзамен”, 2008 год).
Учитель: Рассмотрите рисунок на странице 14, задание № 3. (Задание записано на доске). Какие геометрические фигуры вы увидели?
Дети: Треугольники, четырёхугольники.
Учитель: Посчитайте, сколько треугольников нарисовано?
Дети: Четыре треугольника.
Учитель: А я увидела восемь треугольников.
(Дети под руководством учителя находят и обводят цветными карандашами восемь треугольников).
Рисунок 1
Учитель: Молодцы! Вы очень внимательны. Хорошо видите линии.
Работа со счётными палочками.
Учитель: Приготовьте для работы пять счётных палочек. Выложите на парте точно такую же фигуру, как я нарисовала на доске.
Рисунок 2
Учитель: Подумайте, как нужно переложить одну палочку, чтобы получилось два треугольника? (Дети выполняют работу индивидуально на партах. Учитель просматривает предложенные решения)
Учитель: Сколько решений у данного задания?
Рисунок 3
Учитель: А теперь попробуйте одним движением превратить два треугольника в два прямоугольника.
Дети: Теперь два решения.
Рисунок 4
Задание на развитие логического мышления.
Учитель: Сейчас поработаем в тетрадях. Приготовьте тетрадь по математике, цветные карандаши.
Рассмотрите запись на доске, найдите закономерность.
На основе этой закономерности составьте в тетрадях свой ряд из геометрических фигур: треугольников, кругов и квадратов. (Один ученик выполняет задание у доски с помощью счётного материала – кругов, треугольников, квадратов. После выполнения задания проводится обсуждение).
Дети: У этого задания может быть другое решение. (Выясняется, что есть три правильных варианта построения закономерности из геометрических фигур).
Учитель: Совершенно изумительно! Вы умеете думать, доказывать свою правоту. Это очень хорошо!
Учитель: Проведём физкультминутку для ума. Послушайте, подумайте, посчитайте.
Над заборчиком видны шесть маленьких рожек. Сколько козочек спряталось за забором?
Учитель: Почему? Объясните.
Дети: У одной козочки пара рожек. Чтобы получилось шесть рожек, нужно три пары. Значит, три козочки.
Учитель: Замечательно! Еще одно упражнение. Предупреждаю, это задача-шутка.
Шесть ног, две головы, один хвост. Кто это?
Дети: Это чудище! Такого не бывает!
Учитель: Вы рассуждайте. Если две головы… Значит…
Дети: Это кого-то двое.
Учитель: Хорошо. Шесть ног на двоих… Значит…
Дети: У одного – две ноги, у другого – четыре.
Учитель: Есть ещё один хвост на двоих.
Дети: Это – человек на лошади. Всадник.
Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту сесть опять.
IV. Открытие нового материала.
Учитель: Какое одинаковое число было в предыдущих двух задачах?
Учитель: В рабочей тетради выполните следующий рисунок: на одной строчке – шесть квадратов, под ними – шесть кругов. (Дети выполняют работу в тетрадях по математике цветными карандашами).
Каким числом обозначим количество квадратов? Кругов?
Учитель: Какой цифрой записывается число шесть?
Учитель: В тетради под рисунком запишите через клетку столько же цифр 6, сколько нарисовано кругов.
Сколько написали цифр?
Дети: Кругов шесть, значит и цифр должно быть шесть.
Вы дали задание написать столько же цифр, сколько и кругов.
Учитель: Значит, что можно сказать о количестве кругов и цифр?
Учитель: Попрошу вас записать всё, что вы мне сейчас сказали в тетрадь.
А мы не все буквы умеем писать.
Это много слов нужно записать.
Учитель: Но у нас урок математики. Нужно записать не буквами и словами, а цифрами и знаками.
Дети: Я знаю! Есть специальный знак. “Равно”.
V. Работа с новым материалом.
Учитель: Молодец, Наташа! Чтобы об этом знаке узнали все, откроем учебник на странице 32, № 50. (Задание записано на доске. Далее работа проводится на основе задания № 50)
Учитель: Сколько морковок собрал ослик?
Учитель: Сколько желудей собрал кабанчик?
Дети: Четыре. Столько же.
Учитель: Прочитайте утверждение. (Введение понятия “равное число”, “равенство”, знак “равно”)
(Проводится с помощью наглядного ряда на компьютере)
Сколько зайчиков у нас.
Столько и подпрыгнем раз.
Сколько палочек до точки,
Столько встанем на носочки.
Сколько точек будет в круге,
Столько раз поднимем руки.
Учитель: Продолжим работу по учебнику. О ком или о чём на рисунке можно сказать “равное число”, “равно”?
Дети: Ослик один и кабанчик один. Их равное число.
Учитель: Как записать равенство?
Дети: 1 = 1 (Один ученик составляет равенство на доске с помощью магнитных цифр. Остальные – записывают в рабочие тетради)
Учитель: Какие ещё равенства можно составить по рисунку?
Дети: Две морковки на грядке. Два жёлудя на дереве.
Учитель: Составьте и запишите равенство. (Проводится работа, аналогичная предыдущей)
Учитель: Подумайте, сколько станет морковок у ослика, если он соберет оставшиеся на грядке морковки?
Учитель: Что должен сделать кабанчик, чтобы у него стало столь же желудей, сколько морковок у ослика?
Дети: Собрать оставшиеся жёлуди.
Учитель: Сколько получится желудей?
Учитель: Запишите в тетрадь и прочитайте новое равенство. (Дети самостоятельно записывают равенство в рабочую тетрадь. Затем несколько человек зачитывают получившееся равенство)
VII. Рефлексия. Итог урока.
Учитель: Что новое узнали на уроке?
Дети: Что такое равенство.
Как записать равенство.
Учитель: Скажите по-другому фразу “одно и тоже число”.
Дети: Одинаковые числа. Равные числа.
Учитель: Покажите с помощью счётных палочек, как выглядит знак “равно”. (Дети выкладывают на партах две счётных палочки в виде знака “равно”)
Учитель: Как математическими символами – цифрами и знаком – записать предложение: “За соседней партой сидит столько же учеников, сколько и за моей”?
Дети: Два равно двум. (На доске один ученик записывает равенство 2=2)
Учитель: Послушайте высказывание: “У двух матерей по пяти сыновей”. Скажите тоже самое, используя математические термины.
Дети: Пять равно пяти.
Учитель: А теперь покажите мне это равенство при помощи рук. Что это?
Дети: Это руки и пальцы. (Показывают руки)
Учитель: Сегодня на уроке вы потрудились отлично. Это значит, что ваш труд можно оценить на “пять”! Молодцы!
интернет проект BeginnerSchool.ru
Сайт для детей и их родителей
Числовые равенства и неравенства
Числовые равенства
Чтобы получить запись, называемую числовым равенством, надо два числовых выражения соединить знаком равенства (=).
Представленный пример является верным числовым равенством, но числовое равенство может быть неверным:
Давайте разберем свойства числовых равенств.
(12 + 3) = (9 + 6)
12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15
Равенство верно, теперь проверим свойство
(12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)
15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)
18 = 18
В обоих случаях равенства верны
Проверим это свойство на предыдущем примере заменив действие сложение на вычитание:
(12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)
15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)
12 = 12
Как мы видим равенство верно.
Проверим и это свойство:
(75 – 3) = (15 + 57)
75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 это равенство верно
(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)
72 · (10 – 2) = 72 · 8 = 576
576 = 576
Проверим это свойство:
(12 + 3) : (5 – 2) = (9 + 6) : (5 – 2)
15 : 3 = 15 : 3
5 = 5
Что и требовалось доказать.
Числовые неравенства
(10 + 25)
Числовые неравенства также могут быть верными и неверными:
(25 – 5) : 5 > 10 – это неравенство неверно
(25 – 5) : 5
Спасибо, что Вы с нами!
Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже
