что значит умножить десятичную дробь на натуральное число
Умножение десятичной дроби на натуральное число
Содержание
А сколько будет сантиметров в 3 дюймах?
Узнать это можно разными способами. Например, сложением:
$$2.54 + 2.54 + 2.54 = 7.62$$
Но мы знаем, что сложение одинаковых множителей можно заменить умножением.
Правило умножения десятичной дроби на натуральное число
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно перемножить их как два натуральных числа, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби.
Затем нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, в полученном произведении отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую, отделяя целую часть от дробной.
Как видите, результат совпадает, мы вычислили правильно. Давайте потренируемся ещё.
Запомнить правило умножения десятичных дробей очень легко. Но почему умножение происходит именно так?
Известно, что при увеличении одного из множителей в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз.
Например, у двух котов по четыре лапки, а всего получается восемь лапок. Если мы увеличим количество котов в два раза, то и лапок станет в два раза больше.
Это свойство и позволяет нам умножать десятичные дроби как натуральные числа.
Мы помним, что при делении десятичной дроби на 10, 100 и т.д. запятая переносится на столько знаков влево, сколько в делителе нулей.
$$2.54 \cdot 3 = (254 \cdot 3) : 100 = 762 : 100 = 7.62$$
Также можно убедиться в правильности данного метода, переведя десятичные дроби в обыкновенные.
$$2.54 \cdot 3 = 2\frac<54><100>\cdot 3 = \frac<254><100>\cdot 3$$
Исчезновение нуля
Рассмотрим такой пример.
$$12.345 \cdot 2 = 24.69$$
Правильно ли вычислено значение выражения? И, если да, то почему же в дробной части полученного произведения только два знака?
Бывают даже такие случаи, когда дробная часть полностью «исчезает». Это происходит потому, что после того, как мы ставим запятую, в дробной части десятичной дроби остаются только нули.
Например, вычислим значение этого выражения:
Вычисляем произведение, игнорируя запятую:
Таким образом, в произведении может быть и меньше нулей, чем в дробном множителе. Будьте внимательны!
В подобных вычислениях лучше сначала записывать произведение полностью, и только отделив целые части от дробных, отбрасывать ноль.
Умножение десятичных дробей на натуральные числа
Урок 35. Математика 5 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Умножение десятичных дробей на натуральные числа»
На этом уроке мы научимся умножать десятичные дроби на натуральные числа. Узнаем, какими правилами пользуются при умножении десятичных дробей. А также применим знания при решении задач и примеров.
В магазин привезли 3 коробки конфет. В каждой коробке по 1,4 кг. Сколько всего кг конфет привезли в магазин?
Произведением десятичной дроби на натуральное число называют сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно натуральному числу.
Нетрудно заметить, что 14 · 3 = 42. Это произведение мы можем найти с помощью умножения в столбик. А значит и произведение 1,4 · 3 так же можно найти умножением в столбик.
Запомним правило умножения десятичных дробей на натуральное число:
1) Выполнить умножение не обращая внимания на запятую.
2) В полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их отделено в десятичной дроби.
Выполним умножение 1,4 · 3 в столбик:
Мы с вами убедились, что умножение десятичной дроби на натуральное число можно выполнить в столбик.
Мы с вами разобрались, как умножать десятичные дроби на натуральные числа. Но в умножении десятичных дробей на натуральные числа есть некоторые случаи, которые могут вас немного затруднить при решении.
Давайте рассмотрим их.
Обратите внимание, есть небольшой секрет при умножении десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д., если мы умножаем десятичную дробь на 10, то мы просто переносим запятую через одну цифру вправо. Если умножаем на 100, то переносим запятую на две цифры вправо, а если на 1000 – на три цифры вправо.
Запомним ещё одно правило умножения десятичных дробей на натуральные числа, которое облегчит вам вычисления:
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в данной десятичной дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
Найдите значения произведений:
Проверим выполнение нашего правила, выполним умножение привычным для нас способом.
5,493 · 100 = 5493 · 100 = 549300 = 549,3
Видим, что данное число совпало с нашим результатом.
И проверим 3-ий пример.
0,2 · 10 = 2 · 10 = 20 = 2
Полученные цифры также совпали. Следовательно, правило действует верно!
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) Выполнить умножение не обращая внимания на запятую.
2) В полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их отделено в десятичной дроби.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в данной десятичной дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
Правило умножения десятичных дробей на натуральные числа
Умножение десятичных дробей — общие принципы
Десятичная дробь — форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д.
Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. записывают без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой.
Например, вместо 5 7 10 пишут 5,7 (читают: «5 целых 7 десятых»).
Вместо 3 17 100 пишут 3,17 (читают: «3 целых 17 сотых»).
Десятичные дроби перемножают как целые числа, на запятые внимания не обращают. В результате отделяют запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой во всех множителях вместе.
Задания подобного плана выполняют по следующему алгоритму:
В двух множителях три цифры после запятой. Нужно отделить три цифры справа в результате и поставить запятую.
Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную дробь, необходимо:
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на смешанное число, необходимо:
Умножение десятичной дроби на натуральное число
Произведение десятичной дроби и натурального числа — сумма слагаемых, каждое из которых равно этой дроби, а количество слагаемых определяется натуральным числом.
Выражение представляют в виде суммы, в которой слагаемое 0,25 повторяется четыре раза:
Для того, чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, необходимо:
Алгоритм, как ставить запятую, правила переноса
Для того, чтобы в результате умножения правильно поставить запятую, надо:
При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. запятую в десятичной дроби переносят вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в множителе после единицы.
Если количество цифр в десятичной дроби после запятой меньше количества нулей после единицы, то нужно:
При умножении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. переносят запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе. Нуль целых также учитываем.
Примеры решения задач
Для объяснения решения действуем по алгоритму:
6 5 × 3 4 = 6 × 3 5 × 4 :
Чтобы умножить десятичную дробь на смешанное число:
Решаем пример по схеме:
Запятую в десятичной дроби переносим вправо на две цифры, так как в множителе после единицы стоит два нуля.
Запятую переносим влево на четыре цифры, так как в множителе перед единицей стоит четыре нуля.
Чтобы решить уравнение, нужно найти его корни или доказать, что корней нет.
Для закрепления навыков умножения десятичных дробей используют математические тренажеры.
Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения
В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.
Умножение десятичных дробей: общие принципы
Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.
Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.
Посмотрим, как решаются такие задачи.
Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.
Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:
Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:
Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.
Решение
Как умножать десятичные дроби столбиком
Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:
Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:
1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.
2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.
Разберем примеры таких расчетов на практике.
Решение
Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.
Решение
Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:
Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:
Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д
Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:
Решение
Как перемножить десятичную дробь с натуральным числом
Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.
Решение
Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.
Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.
Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.
Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.
Решение
Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:
Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др
Покажем на примере, как именно это делать.
Решение
Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.
Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.
Как перемножить десятичную дробь с обыкновенной или со смешанным числом
Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.
Решение
Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.
Решение
Умножение десятичных дробей: правила, примеры
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом десятичную дробь можно умножить на натуральное целое число или другую десятичную дробь. Также разберем примеры для закрепления теоретического материала.
Умножение десятичной дроби на натуральное число
Делитель – 10, 100, 1000, 10000 и т.д.
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число 10, 100, 1000 и т.д., просто переносим запятую-разделитель вправо на столько нулей, сколько содержит это число.
Пример 1
Объяснение: Т.к. в числе 10 всего один ноль, то и запятую переносим на одну позицию вправо.
Пример 2
Объяснение: Т.к. в числе 100 два нуля, то запятую переносим на две позиции.
Пример 3
Объяснение: В числе 10 один ноль, следовательно, десятичный разделитель сдвигаем на одну позицию.
Пример 4
Объяснение: В числе 1000 три нуля, значит разделитель сдвигаем на три позиции.
Примечание: если количество нулей и, соответственно, позиций переноса разделителя больше, чем цифр после запятой, значит дописываем оставшиеся нули в конце полученного результата. Это работает и в обратную сторону (см. Пример 7 ниже).
Пример 5
Объяснение: В числе 1000 три нуля, следовательно разделитель переносим на две позиции и дописываем один ноль в конце найденного числа.
Делитель – любое число
Чтобы умножить десятичную дробь на любое натуральное целое число, отбрасываем запятую и выполняем умножение, как будто имеем дело не с дробью, а с обычным числом. Затем отсчитываем с конца полученного результата столько цифр, сколько было в дробной части исходной десятичной дроби, и ставим в этом месте запятую.
Пример 6: найдем произведение чисел 5,68 и 8.
Убираем запятую в числе 5,68 и умножаем его на 8:
568 ⋅ 8 = 4544
Отсчитываем две цифры с конца и добавляем запятую-разделитель, т.е.:
Примечание: Если десятичная дробь меньше 1 (т.е. целая часть равна 0), то отбросив запятую, мы не учитываем при умножении ноль/нули, которые идут в начале.
Пример 7: умножим число 0,089 на 7.
Убираем запятую в числе 0,089 и, отбросив нули, умножаем его на 7:
89 ⋅ 7 = 623
Здесь обратная ситуация рассмотренной ранее в Примере 5. С конца отсчитываем 3 цифры, ставим запятую и добавляем ноль слева от нее, т.е.:
Произведение десятичных дробей
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, выполняем практически те же самые действия, что и описанные в разделе выше – убираем запятые, на этот раз в обеих дробях, и умножаем их как обычные числа. Затем отсчитываем с конца найденного результата столько цифр, сколько их было вместе в дробных частях обоих множителей, и пишем запятую.
Пример 8: найдем, сколько будет 5,615 ⋅ 2,14.
5615 ⋅ 214 = 1201610
Отсчитать с конца нужно 5 цифр, т.к. в первом множителе после запятой было три цифры, во втором – две (5 = 3 + 2). Т.е.:
5,615 ⋅ 2,14 = 12,01610 = 12,0161
Пример 9: вычислим, сколько будет 0,24 ⋅ 3,17.
Отсекаем запятой 4 цифры с конца и получаем ответ – 0,7608.