что значит взаимо обратные числа

Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа.

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа. Определение

Как найти число, обратное данному

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Число, обратное натуральному числу

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.

Число, обратное смешанному числу

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

Взаимно обратные числа с корнями

Обратимся к практике.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Взаимно обратные числа со степенями

Пример. Взаимно обратные числа со степенями

Взаимно обратные числа с логарифмами

Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.

Пример. Число, обратное комплексному числу

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z = r · cos φ + i · sin φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Ответ: 1 2 · e i 2 π 5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма взаимно обратных чисел

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

a + 1 a 2 ≥ a · 1 a a + 1 a ≥ 2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 2 3 и обратного ему числу.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Как и говорит теорема, полученное число больше двух.

Источник

Взаимно обратные числа и их объяснение в математике 6 класса

При сокращении выражений дробного типа ученики иногда сталкиваются с понятием «взаимно обратных чисел». В математике 6 класса эта тема рассматривается подробнее, поскольку количество задач на упрощение тождеств увеличивается по следующим причинам, а именно: доказательства теорем и различных соотношений, выведение формул и выполнение операций вычисления. Специалисты сначала рекомендуют изучить теорию, а затем переходить к практике.

Общие сведения

Одним из правил сокращения выражений или, как называют эту операцию математики, упрощение является работа со взаимно обратными величинами. Чтобы понять суть термина, специалисты рекомендуют разобраться в основном отличии числа от цифры. Это связано с тем, что ученики постоянно путаются в терминологии и заучивают неправильные понятия. Данные действия могут привести к ухудшению понимания самой дисциплины (математики) в целом.

Следует отметить, что математика — точная дисциплина, в которой недопустимы погрешности в определении терминах, формулах и при расчетах. Например, некоторые ученики считают, что величины «3» и «-3» являются взаимнообратными значениями. На самом деле это не так, поскольку у них другое название — противоположные. Эти два термина существенно отличаются.

Взаимно обратные значения

Для понимания темы взаимно обратных величин необходимо рассмотреть определение, которое поможет выяснить, какие из них можно отнести к этому типу. Взаимно обратными называются значения, произведения которых эквивалентно единице. В математической форме запись имеет следующий вид: а * 1/а = 1.

Расшифровывается определение для чайников следующим образом: число обратное числу «а» эквивалентно величине правильной дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель этой величине, т. е. 1/а.

Следует отметить, что обратное число 1 является единица. Это утверждение очень просто доказать. Для этого необходимо по формулировке определения представить взаимообратные величины, т. е. 1 * 1/1 = 1 * 1 = 1. Далее необходимо разобрать пример решения задачи.

Пример задачи

Задание сводится к обыкновенной теореме, в которой нужно вывести формулу суммы обратных величин. В 6 классе на уроке математики можно найти решение этой задачи. Однако не для всех учеников понятен сам процесс выведения соотношения. Решать задачу следует таким образом:

В итоге теорему о сумме обратных выражений можно сформулировать следующим образом: сумму взаимно обратных математических элементов необходимо рассматривать в виде обыкновенной дроби, числитель которой соответствует искомому числу, а знаменатель — квадрат исходного компонента, увеличенного на единицу.

Таким образом, взаимно обратными выражениями называются числовые значения, произведение которых эквивалентно единице.

Источник

Урок 17 Бесплатно Взаимно обратные числа

В этом уроке мы узнаем, какие числа называются взаимно обратными, как найти число, обратное данному, а также разберем все эти случаи для смешанных чисел.

Взаимно обратные числа

Введем определение: взаимно обратными числами называются такие два числа, произведение которых равняется единице.

То есть, если имеются две обыкновенных дроби, каждую из которых нельзя сократить, то необходимо ответить на вопрос: являются ли они взаимно обратными? Для этого достаточно проверить два равенства:

Можно не запоминать что с чем сравнивать. Если начнем записывать выражение для произведения, то заметим, что в случае взаимно обратных чисел числители и знаменатели сократятся, и результатом будет единица.

Перед сравнением важно, чтобы дроби уже были сокращены!

Допустим, имеются две дроби: \(\mathbf<\frac<2><3>>\) и \(\mathbf<\frac<6><4>>\)

Если к ним просто применить признак и сравнить по отдельности числитель первой дроби с знаменателем второй и наоборот, то мы заменим, что равенства не выполняются. Но, если их перемножить, мы заметим, что произведение равняется 1, следовательно, они являются взаимно обратными.

Итак, имеются два способа проверить, являются ли числа взаимно обратными.

Пример 1

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<3><2>>\) взаимно обратными?

Воспользуемся вторым способом. Как можно заметить, дроби уже сокращены.

Пример 2

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<5><2>>\) взаимно обратными?

Воспользуемся первым способом.

В процессе умножения все множители в числителе и знаменателе сократились и результатом произведения оказалась единица.

Значит \(\mathbf<\frac<2><5>>\) и \(\mathbf<\frac<5><2>>\) являются взаимно обратными.

Рассмотрим еще один момент.

Допустим, нас просят проверить, являются ли взаимно обратными два числа, одно из которых является обыкновенной дробью, а второе натуральным числом.

В таком случае нам достаточно представить натуральное число в виде дроби, у которой числитель будет равняться данному натуральному числу, а знаменатель единице.

Дальше можно действовать одним из двух разобранных способов.

Пример 3

Являются ли числа \(\mathbf<\frac<2><126>>\) и 63 взаимно обратными?

Представим 63 как обыкновенную дробь.

Далее воспользуемся вторым способом.

Теперь сравним числитель первой дроби со знаменателем второй: единица равна единице.

Сравним знаменатель первой дроби с числителем второй: 63 равно 63

Делаем вывод, что числа \(\mathbf<\frac<2><126>>\) и 63 являются взаимно обратными.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Взаимно обратные числа

Урок 16. Математика 6 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Взаимно обратные числа»

Сегодня на уроке мы познакомимся с новым для вас понятием «взаимно обратные числа» и научимся определять обратные числа данным.

Давайте умножим дробь на дробь .

После сокращения мы получим .

Говорят, что число обратно числу .

Произведение также равно единице.

Поэтому число обратно числу .

Числа и взаимно обратны.

Найдём произведение чисел 8 и , 1 и .

Числа 8 и , 1 и также взаимно обратны.

Что общего вы заметили в этих примерах, кроме того, что пары этих чисел называют взаимно обратными. Правильно! Произведение этих чисел равно 1.

Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

С помощью букв взаимно обратные числа можно записать так:

И это можно проверить:

Если одно из двух взаимно обратных чисел – правильная дробь, то другое обязательно неправильная дробь.

Число 1 взаимно обратно самому себе, а число 0 не имеет обратного себе числа.

Значит, чтобы выяснить, являются ли два числа взаимно обратными, их надо перемножить.

Если ответ равен единице, то числа – взаимно обратные.

Запомним несколько полезных правил:

Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:

1) Если число натуральное нужно представить его в виде дроби и перевернуть (поменять местами числитель и знаменатель).

2) Если число обыкновенная дробь нужно дробь перевернуть, а затем выделить целую часть.

3) Если число смешанное нужно представить его в виде неправильной дроби, затем перевернуть.

4) Если число десятичная дробь нужно представить его в виде дроби, затем перевернуть и выделить целую часть.

Найдите обратное число данному.

Из пар чисел представленных на экране выберите взаимно обратные:

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с взаимно обратными числами и научились находить обратное число данному.

Источник

Взаимно обратные числа, нахождение числа, обратного данному числу.

Сейчас мы тщательно изучим взаимно обратные числа. Сначала дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Дальше на примерах разберем, как находится число, обратное данному числу. В частности, найдем число, обратное обыкновенной дроби, число, обратное натуральному числу, и т.п. В заключение приведем и докажем неравенство, характерное для суммы взаимно обратных чисел.

Навигация по странице.

Взаимно обратные числа, определение, примеры

Сразу дадим определение взаимно обратных чисел.

Из рассмотренных примеров взаимно обратных чисел понятно, что определение взаимно обратных чисел относится к любым числам – и к натуральным, и к целым и к действительным, и даже к комплексным.

Нахождение числа, обратного данному числу

Иногда число, обратное данному числу, очевидно, как, например, для натуральных чисел или обыкновенных дробей. В других случаях приходится проводить вычисления, как, например, при отыскании числа, обратного иррациональному числу, или обратного комплексному числу.

Остановимся на наиболее часто встречающихся случаях нахождения числа, обратного данному числу.

Число, обратное обыкновенной дроби

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно лишь записать данное натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Нахождение числа, обратного смешанному числу

Чтобы найти число, обратное данному смешанному числу, можно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, после чего найти число, обратное этой дроби. Рассмотрим применение этого правила на примере.

Найдите число, обратное смешанному числу .

и 9/65 взаимно обратные числа.

Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Мы знаем, что конечная десятичная дробь или периодическая десятичная дробь может быть заменена обыкновенной дробью. Поэтому, нахождение числа, обратного конечной или периодической десятичной дроби, может быть сведено к нахождению числа, обратного обыкновенной дроби. Рассмотрим примеры.

Источник