Докажите что прямые содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке задача

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема

Доказательство

Доказать: АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Получим А₂В₂С₂. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А₂С и АВ = СВ₂ как противоположные стороны параллелограммов АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂. Аналогично С₂А = АВ₂ и С₂В = ВА₂. Кроме того, как следует из построения, СС₁А₂В₂, АА₁В₂С₂ и ВВ₁А₂С₂. Таким образом, прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника : точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Через вершины данного треугольника провёдем прямые, параллельные противолежащим сторонам. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках пересечения проведённых прямых. Высоты исходного треугольника лежат на серединных перпендикулярах построенного. Поэтому они пересекаются в одной точке.

Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах треугольника с вершинами в основаниях высот данного (ортотреугольник), и поэтому пересекаются в одной точке.

Если же треугольник тупоугольный, то одна его высота лежит на биссектрисе одного из углов ортотреугольника, а две другие — на биссектрисах внешних углов ортотреугольника.

Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.

Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах треугольника с вершинами в точках пересечения с описанной окружностью продолжений высот данного треугольника.

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — высоты треугольника ABC. Обозначим через , , углы треугольника ABC. Тогда из прямоугольного треугольника AB₁B находим, что

AB₁ = AB| cos|.

AС₁ = AС| cos|, BA₁ = AB| cos|, BC₁ = BC| cos|,

CA₁ = CA| cos|, CB₁ = CB| cos|.

(Если треугольник остроугольный, то знаки модуля можно опустить). Поэтому

. . =

= = 1.

Тогда по теореме Чевы прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Пусть H — точка пересечения высот BB₁ и CC₁ треугольника ABC. Тогда

Сложив почленно эти равенства, получим, что

Следовательно, прямая AH перпендикулярна стороне BC.

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Рассмотрим вектор = + + . Если

+ = ,

то K — вершина ромба AOBK. Значит, OK AB. Если

= + ,

то CHOK. Значит, CH AB. Поэтому точка H лежит на прямой, содержащей высоту треугольника ABC, проведённую из вершины C.

Аналогично докажем, что точка H (конец вектора ) лежит на прямых, содержащих две другие высоты треугольника. Следовательно, все три прямые пересекаются в точке H.

Воспользуемся следующим утверждением. Если A, B, C и H — произвольные точки плоскости, то

. + . + . = 0.

Пусть прямые, содержащие высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и B, пересекаются в точке H. Тогда AH BC и BH AC, поэтому

. = 0, . = 0.

Из приведённого выше утверждения следует, что

. = 0.

Значит, CH AB, т.е. прямая, содержащая высоту, проведённую из вершины C, также проходит через точку H.

Другие доказательства: см. МШ, N1, 1988, с.72, В.В.Прасолов, «Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника».

Источник

Докажите что прямые содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке задача

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТСНЩЕ, УПДЕТЦБЭЙЕ ЧЩУПФЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ, РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ПДОПК ФПЮЛЕ.

рПДУЛБЪЛБ

тБУУНПФТЙФЕ ФТЕХЗПМШОЙЛ, ПВТБЪПЧБООЩК РТСНЩНЙ, РТПЧЕДЈООЩНЙ ЮЕТЕЪ ЧЕТЫЙОЩ ДБООПЗП РБТБММЕМШОП РТПФЙЧПМЕЦБЭЙН УФПТПОБН.

тЕЫЕОЙЕ

юЕТЕЪ ЧЕТЫЙОЩ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ РТПЧЈДЕН РТСНЩЕ, РБТБММЕМШОЩЕ РТПФЙЧПМЕЦБЭЙН УФПТПОБН. тБУУНПФТЙН ФТЕХЗПМШОЙЛ У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ФПЮЛБИ РЕТЕУЕЮЕОЙС РТПЧЕДЈООЩИ РТСНЩИ. чЩУПФЩ ЙУИПДОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ МЕЦБФ ОБ УЕТЕДЙООЩИ РЕТРЕОДЙЛХМСТБИ РПУФТПЕООПЗП. рПЬФПНХ ПОЙ РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ПДОПК ФПЮЛЕ.

еУМЙ ФТЕХЗПМШОЙЛ ПУФТПХЗПМШОЩК, ФП ЕЗП ЧЩУПФЩ МЕЦБФ ОБ ВЙУУЕЛФТЙУБИ ФТЕХЗПМШОЙЛБ У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ПУОПЧБОЙСИ ЧЩУПФ ДБООПЗП (ПТФПФТЕХЗПМШОЙЛ), Й РПЬФПНХ РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ПДОПК ФПЮЛЕ.

еУМЙ ЦЕ ФТЕХЗПМШОЙЛ ФХРПХЗПМШОЩК, ФП ПДОБ ЕЗП ЧЩУПФБ МЕЦЙФ ОБ ВЙУУЕЛФТЙУЕ ПДОПЗП ЙЪ ХЗМПЧ ПТФПФТЕХЗПМШОЙЛБ, Б ДЧЕ ДТХЗЙЕ — ОБ ВЙУУЕЛФТЙУБИ ЧОЕЫОЙИ ХЗМПЧ ПТФПФТЕХЗПМШОЙЛБ.

дМС РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ПЮЕЧЙДОП.

еУМЙ ФТЕХЗПМШОЙЛ ПУФТПХЗПМШОЩК, ФП ЕЗП ЧЩУПФЩ МЕЦБФ ОБ ВЙУУЕЛФТЙУБИ ФТЕХЗПМШОЙЛБ У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ФПЮЛБИ РЕТЕУЕЮЕОЙС У ПРЙУБООПК ПЛТХЦОПУФША РТПДПМЦЕОЙК ЧЩУПФ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

(еУМЙ ФТЕХЗПМШОЙЛ ПУФТПХЗПМШОЩК, ФП ЪОБЛЙ НПДХМС НПЦОП ПРХУФЙФШ). рПЬФПНХ

уМПЦЙЧ РПЮМЕООП ЬФЙ ТБЧЕОУФЧБ, РПМХЮЙН, ЮФП

йЪ РТЙЧЕДЈООПЗП ЧЩЫЕ ХФЧЕТЦДЕОЙС УМЕДХЕФ, ЮФП

дТХЗЙЕ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ: УН. ны, N1, 1988, У.72, ч.ч.рТБУПМПЧ, «оЕУЛПМШЛП ДПЛБЪБФЕМШУФЧ ФЕПТЕНЩ П ЧЩУПФБИ ФТЕХЗПМШОЙЛБ».

Источник

Пересечение высот треугольника

Урок геометрии для 8 класса по учебнику Атанасяна Л.С.

Просмотр содержимого документа
«ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ»

Виды учебной деятельности

Предполагаемая оценка за урок

Практическая работа 1,2,3

Решение задач по готовому рисунку

Рейтинговая самостоятельная работа

Подсчитывает сам учащийся

Подсчитывает сам учащийся

Своей работой на уроке я доволен / не доволен

Материал урока мне был понятен / не понятен

Урок мне показался интересным / не интересным

За урок я устал / не устал

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа»

Просмотр содержимого документа
«Рейтинговая самостоятельная работа»

Рейтинговая самостоятельная работа

Базовый уровень – 3 б.

Высоты АА₁ и ВВ₁ равностороннего треугольника АВС пересекаются в точке Н. Найдите длину отрезка АН, если АВ=12 см

Повышенный уровень – 4 б.

В треугольнике КМР проведены высоты ММ_1, РР₁ и КК₁, пересекающиеся в точке Н. Найдите длину отрезка КР₁, если известно, что НК=8 см, НК₁=6 см, РК₁=8 см.

Высокий уровень – 5 б.

Базовый уровень – 3 б.

Высоты ММ₁, КК₁ равностороннего треугольника МКР пересекаются в точке Н. Найдите длину отрезка М₁Н, если МК=8 см

Повышенный уровень – 4 б.

В треугольнике КМР проведены высоты ММ_1, РР₁ и КК₁, пересекающиеся в точке Н. Найдите длину перпендикуляра НР₁, если известно, что НК=8 см, НК₁=6 см, РК₁=8 см.

Высокий уровень – 5 б.

Просмотр содержимого документа
«самостоятельная работа»

Решение задач по готовому рисунку

Решение задач по готовому рисунку

Просмотр содержимого документа
«тех карта урока геометрии»

Технологическая карта урока

Предмет: геометрия класс: 8 учебник и УМК Л.С.Атанасяна

Учитель: Капустянская Е.В.

Тема урока: «Пересечение высот треугольника».

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

Цели и задачи урока:

Предметные: расширить знания учащихся о треугольниках; практическим путем выяснить где пересекаются высоты треугольника (или их продолжения), доказать теорему о пересечении высот треугольника, научить решать задачи на применение нового материала.

РУУД – развивать навыки самоорганизации, умение определить цель предстоящей познавательной деятельности, её вид, уровень сложности, пути достижения ожидаемого результата; развивать умение контролировать и оценивать свои действия.

ПУУД – создавать условия для развития навыков самостоятельной познавательной деятельности; для развития навыков владения устной речью, способностью формулировать собственное мнение и аргументировать его, развивать логическое мышление, умение устанавливать причинно-следственные связи.

КУУД – способствовать развитию навыков организации учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками, умений работать в паре, согласовывать свои действия, оказывать необходимую взаимопомощь друг другу.

Личностные – создавать условия для развития самосознания, самоопределения, смыслообразования, позитивной оценки происходящих событий.

Основные этапы организации учебной деятельности

Содержание педагогического взаимодействия

Мотивирование обучающихся на предстоящую деятельность.

Оказание помощи обучающимся в постановке цели предстоящей деятельности и прогнозировании её результатов.

Изучают оценочные листы

Постановка цели; прогнозирование результата.

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.

-Для повышения мотивационной заинтересованности на уроке будут использованы индивидуальные оценочные листы.

-Посмотрите, какие виды работы вас ждут, и в какой форме ваша работа на уроке будет оценена.

-Попробуйте ответить на вопрос: «Какого результата вы хотите достичь на этом уроке?» и в своем оценочном листе в первой графе поставьте ту оценку, которую вы планируете получить за урок, согласно прописанным критериям.

2. Актуализации знаний

Организовывает выполнение практической работы. Фиксирует сделанные учениками выводы, организует их обсуждение, помогает сформулировать и доказать теорему.

Выполняют практическую работу, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения.

Взаимодействуют в процессе выполнения практической работы в парах, учатся находить взаимопонимание, достигать вместе поставленной цели.

Исследуют условия учебной задачи, обсуждают

Сегодня мы продолжим изучение темы «Замечательные точки треугольника» и познакомимся с теоремой о точке пересечения высот в треугольнике.

Вспомните определение высоты в треугольнике.

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

а) С помощью чертежного треугольника, постройте высоты в остроугольном треугольнике.

1. Проведите ВВ1  АС

2. Проведите AА1  ВС.

3. Проведите СС1  АВ.

Вывод: В остроугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка принадлежит треугольнику.

2) Постройте высоты в тупоугольном треугольнике.

1. Проведите ВВ1  АС, основание высоты лежит на продолжении АC.

2. Проведите AА1  ВС, основание высоты лежит на продолжении ВC.

3. Проведите CС1  AB.

Продолжения высот тупоугольного треугольника пересеклись в одной точке Н.

Вывод: В тупоугольном треугольнике все три продолжения высот пересеклись в одной точке. Эта точка расположена вне треугольника.

в) Постройте высоты в прямоугольном треугольнике:

1. Проведите CС1  АB.

2. Проведите AА1  ВС.

3. Проведите BВ1  AC.

Высоты прямоугольного треугольника пересеклись в одной точке Н.

Вывод: В прямоугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка принадлежит треугольнику и совпадает с вершиной прямого угла.

3. Изучения нового материала

Повторить теорему о серединном перпендикуляре к отрезку; свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказать теорему о пересечении высот треугольника

Организует учебное взаимодействие учеников в ходе доказательства теоремы

Доказывают теорему о пересечении высот треугольника.

Воспринимают ответы обучающихся

Осуществляют самоконтроль Принимают и сохраняют учебную цель и задачу.

Прежде, чем мы приступите к доказательству этой теоремы, давайте вспомним основные понятия и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве:

— теорему о серединном перпендикуляре к отрезку;

— свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Теорема о пересечении высот треугольника. (Слайд )

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Дано: ΔABC,

AA1^B
C, BB1^A
C, CC1^A
B.

Доказать: O= AA1Ç BB1 Ç CC1.

A Є B2C2. Получим Δ A2 B2 C2.

точки A, B и C– середины сторон Δ A2 B2 C2,

т.е. прямые АА1, BB1, CC1-серединные перпендикуляры к сторонам Δ A2 B2 C2Þ

Мы хорошо потрудились и сейчас немного отдохнем.

5. Этап закрепления изученного материала

Научить применять полученные знания при решении задач.

Организует решение задач по готовым чертежам; выполнение взаимопроверки; рейтинговую самостоятельную работу; разбор решения задач по готовым чертежам.

Применяют полученные знания для решения задач..

Выполняют взаимопроверку доброжелательно и качественно.

Организовывают собственную самостоятельную деятельность.

1. Решить по готовому чертежу задачи.

3. Выставление баллов в оценочный лист.

4. Выводы: точка пересечения биссектрис треугольника лежит внутри треугольника;

точка пересечения медиан треугольника лежит внутри треугольника;

точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника лежит внутри треугольника;

точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) может лежать вне треугольника.

5. Решение задач разного уровня сложности по выбору учащихся:

Базовый уровень – 3 балла;

Повышенный уровень – 4 балла;

Высокий уровень – 5 баллов.

6. Разбор решения задач по готовым чертежам.

7. Выставление баллов в оценочный лист.

6. Этап подведения итогов.

Домашнее задание. рефлексия

Диагностическая работа (на выходе):

Отвечают на вопросы.

Рефлексия своих действий

Подводят итог; выставляют оценку согласно критериям.

Выбирают уровень домашнего задания.

Наш урок подходит к концу, запишем домашнее задание и затем подведем итоги.

На доске: Домашнее задание: П. 72-73; вопросы 15-20 стр.187;

— на все ли вопросы мы получили ответы?

— давайте ещё раз вспомним теорему о пересечении высот треугольника;

— как называется точка пересечения высот треугольника?

— где может располагаться ортоцентр треугольника? А где располагаются остальные три замечательные точки треугольника?

Заканчиваем заполнение оценочных листов. Удалось ли вам достичь того результата, который вы запланировали в начале урока?

Итог урока каждый из вас подведет с помощью короткой анкеты. Переверните оценочные листы и выразите своё отношение к уроку.

Своей работой на уроке я доволен / не доволен

Материал урока мне был понятен / не понятен

Урок мне показался интересным / не интересным

За урок я устал / не устал

Просмотр содержимого презентации
«пересечение высот»

Презентация выполнена учителем математики МБОУ гимназия № 35

Капустянской Еленой Витальевной

Замечательные точки треугольника

Вывод: В остроугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка принадлежит треугольнику.

Вывод: В тупоугольном треугольнике все три продолжения высот пересеклись в одной точке. Эта точка расположена вне треугольника.

Вывод: В прямоугольном треугольнике все три высоты пересеклись в одной точке. Эта точка принадлежит треугольнику и совпадает с вершиной прямого угла.

П. 72-73; вопросы 15-20 стр.187-188;

базовый уровень – № 685;

повышенный уровень – № 681;

высокий уровень – № 688.

Цели и задачи урока:

Предметные: расширить знания учащихся о треугольниках; практическим путем выяснить где пересекаются высоты треугольника (или их продолжения), доказать теорему о пересечении высот треугольника, научить решать задачи на применение нового материала.

регулятивные – развивать навыки самоорганизации, умение определить цель предстоящей познавательной деятельности, её вид, уровень сложности, пути достижения ожидаемого результата; развивать умение контролировать и оценивать свои действия.

познавательные – создавать условия для развития навыков самостоятельной познавательной деятельности; для развития навыков владения устной речью, способностью формулировать собственное мнение и аргументировать его, развивать логическое мышление, умение устанавливать причинно-следственные связи.

коммуникативные – способствовать развитию навыков организации учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками, умений работать в паре, согласовывать свои действия, оказывать необходимую взаимопомощь друг другу.

Личностные – создавать условия для развития самосознания, самоопределения, позитивной оценки происходящих событий.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. «Изучение геометрии в 7-9 классе». Методические рекомендации. М:, Просвещение, 2007г.

3. Зив Б.Г., Мейлер В.М. «Дидактические материалы по геометрии. 8 кл». М:, Просвещение, 2007г.

Источник