Вероятность того что выбранное наудачу двузначное число содержит хотя бы одну тройку

Какова вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число содержит хотя бы одну тройку?

Всего двухзначных 90

В ящике 6 белых, 5 черных и 8 красных шаров?

В ящике 6 белых, 5 черных и 8 красных шаров.

Какова вероятность того, что из трех, наудачу взятых шаров, хотя бы два будут одинакового цвета?

Какова вероятность того, что выбранное наудачу двузначное число содержит 5?

Какова вероятность того, что номер взятого шара, оканчивается нулем?

Наудачу извлекается 6 деталей.

Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет бракованной?

Задача на комбинаторику Талон свернутый в трубочку занумирован двухзначные числами?

Задача на комбинаторику Талон свернутый в трубочку занумирован двухзначные числами.

Наудачу берут 1 талон.

Вероятность того что номер взятого талона состоит из одинаковых цифр.

Из трёхзначных чисел наугад выбирают одно число?

Из трёхзначных чисел наугад выбирают одно число.

Какова вероятность того, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит хотя бы одну цифру 7.

Какова вероятность того, что у наудачу взятого четырехзначного числа сумма первых двух цифр равна 4?

Какова вероятность что наудачу взятое трехзначное число будет четным?

Какова вероятность что наудачу взятое трехзначное число будет четным.

Наугад взято двухзначное число какова вероятность того что это число делится на 12 без остатка?

Наугад взято двухзначное число какова вероятность того что это число делится на 12 без остатка.

Из набора домино наудачу выбирают 2 кости?

Из набора домино наудачу выбирают 2 кости.

Какова вероятность, что среди них окажется хотя бы одна с 6 очками?

Источник

Решение задач с формулировкой «хотя бы один»

Поговорим о задачах, в которых встречается фраза «хотя бы один». Наверняка вы встречали такие задачи в домашних и контрольных работах, а теперь узнаете, как их решать. Сначала я расскажу об общем правиле, а потом рассмотрим частный случай независимых событий и схемы Бернулли, выпишем формулы и примеры для каждого.

Общая методика и примеры

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза «хотя бы один» такая:

А теперь разберем ее на примерах. Вперед!

Пример 1. В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Действуем прямо по пунктам.
1. Записываем событие, вероятность которого надо найти прямо из условия задачи:
$A$ =(Из 3 выбранных деталей хотя бы одна бракованная).

Для первого примера запишем решение подробно, далее будем уже сокращать (а полные инструкции и калькуляторы вы найдете по ссылке выше).

4. Тогда искомая вероятность:

Пример 2. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут: хотя бы две пики.

4. Тогда искомая вероятность:

Пример 3. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара вынимают наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.

4. Искомая вероятность:

Частный случай. Независимые события

Идем дальше, и приходим к классу задач, где рассматривается несколько независимых событий (стрелки попадают, лампочки перегорают, машины заводятся, рабочие болеют с разной вероятностью каждый и т.п.) и нужно «найти вероятность наступления хотя бы одного события». В вариациях это может звучать так «найти вероятность, что хотя бы один стрелок из трех попадет в цель», «найти вероятность того, что хотя бы один автобус из двух вовремя приедет на вокзал», «найти вероятность, что хотя бы один элемент в устройстве из четырех элементов откажет за год» и т.д.

Если в примерах выше речь шла о применении формулы классической вероятности, здесь мы приходим к алгебре событий, используем формулы сложения и умножения вероятностей (небольшая теория тут).

Пример 4. Узел содержит две независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

Действуем аналогично. Рассмотрим основное событие
$A$ =(Формула содержится хотя бы в одном справочнике). Введем независимые события:
$A_1$ = (Формула есть в первом справочнике),
$A_2$ = (Формула есть во втором справочнике),
$A_3$ = (Формула есть в третьем справочнике).

Пример 6. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

Думаю, вы уже уловили принцип решения, вопрос только в количестве событий, но и оно не оказывает влияния на сложность решения (в отличие от общих задач на сложение и умножение вероятностей). Только будьте внимательны, вероятности указаны для «потребует внимания», а вот вопрос задачи «хотя бы один станок НЕ потребует внимания». Вводить события нужно такие же, как и основное (в данном случае, с НЕ), чтобы пользоваться общей формулой (1).

Ответ: 0,982. Почти наверняка мастер будет отдыхать всю смену;)

Частный случай. Повторные испытания

Думаете, дальше будет сложнее? Напротив, случаи все более частные, решения и формулы все более простые.

Подробнее о схеме Бернулли можно прочитать в онлайн-учебнике, а также посмотреть статьи-калькуляторы о решении различных подтипов задач (о выстрелах, лотерейных билетах и т.п.). Ниже же будут разобраны задачи только с «хотя бы один».

Пример 7. Пусть вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта.

Пример 8. Производится 5 независимых выстрелов по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Думаю, с применением формулы (2) все более чем ясно (не забудьте почитать и о других задачах, решаемых в рамках схемы Бернулли, ссылки были выше). А ниже я приведу чуть более сложную задачу. Такие задачи встречаются пореже, но и их способ решения надо усвоить. Поехали!

Пример 9. Производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A появляется с вероятностью 0,7. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать хотя бы одно появление события A?

Округляя, получаем что нужно провести не менее 3 опытов.

Ответ: минимально нужно сделать 3 опыта.

Полезные ссылки

Источник

Задачи по теории вероятностей

Задачи по теории вероятностей

1. Из класса, в котором учатся 12 девочек и 8 мальчиков, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность, что будет выбран мальчик?

Ответ. 0,4.

2. Одновременно бросают две монеты. С какой вероятностью на них выпадет только один герб?

Ответ. 0,5.

3. На 1000 телевизоров, выпущенных на некотором заводе, приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправный телевизор?

Ответ. 0,997.

4. Игральный кубик бросили дважды. Какое событие более вероятно:

А = «Оба раза выпало 6 очков»

В = «В первый раз выпало 6 очков, а во второй 5»

С = «Сумма выпавших очков равна 2»?

1) событие А 2) событие В 3) событие С 4) события А, В и С равновероятны

Ответ. 4.

5. Учитель дал пяти ученикам вопросы для ответа у доски. Сколько существует способов для выбора порядка, в котором они будут отвечать?

Ответ. 120.

6. Из 1000 футбольных мячей в среднем 30 пропускают воздух. Какова вероятность того, что случайно выбранный футбольный мяч герметичен?

Ответ. 0,97.

7. Из 1000 чистых компакт-дисков в среднем 50 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранный диск пригоден для записи?

Ответ. 0,95.

8. Из сумки, в которой лежит 5 красных, 10 зеленых и 3 желтых яблока, наугад вынимают одно яблоко. Какое событие более вероятно: А = «Достали красное яблоко» В = «Достали зеленое яблоко» С = «Достали желтое яблоко»?

1) событие А 2) событие В 3) событие С 4) события А, Б и С равновероятны

Ответ. 2.

9. Игорь в течение года получил 56 отметок по алгебре, из них — 14 отметок — «тройки». Какова относительная частота события «Игорь получил «тройку» по алгебре»? Ответ. 0,25.

10. Игральный кубик подбросили 100 раз. Результаты представлены в таблице.

Количество выпавших очков

Число наступлений события

Какова относительная частота выпадения не более двух очков? Ответ. 0,27.

11. Баскетболист, выполнив на тренировке 50 бросков, попал в кольцо 39 раз. Какова относительная частота попаданий этого баскетболиста в кольцо?

Ответ. 0,78.

12. Для новогодней школьной лотереи изготовили 300 билетов, среди которых 30 билетов выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным? Ответ. 0,1.

13. В актовый зал можно зайти ч:ерез любую из четырех дверей. Какова вероятность того, что школьник, зайдя в зал через одну из этих дверей, вышел из зала через другую?

Ответ. 0,75.

14. Игральный кубик бросили дважды. Какое событие более вероятно:

А = «Оба раза выпало 2 очка»,

В= «В первый раз выпало 3 очка, а во второй 1»,

С = «Произведение выпавших очков равно 1»?

1.событие А 2. событие в 3.событие С 4.события А, В и С равновероятны

Ответ. 4.

15. В группе 10 девочек и 6 мальчиков. По жребию выбирают двух дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны мальчик и девочка?

Ответ. 0,5.

16. Числа от 1 до 15 написаны на 15 шариках. Наугад выбирают один шарик. Какова вероятность, что число, написанное на этом шарике, делится на 5?

Ответ. 0,2.

17. Числа от 1 до 15 написаны на 15 шариках. Наугад выбирают один шарик. Какова вероятность, что число, написанное на этом шарике, является точным квадратом?

Ответ. 0,2.

18. Числа от 1 до 15 написаны на 15 шариках. Наугад выбирают один шарик. Какова вероятность, что число, написанное на этом шарике, является двузначным числом?

Ответ. 0,4.

19. На отрезок АВ длиной 6 см произвольным образом ставится точка М. Какова вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке AM как на стороне, будет заключена от 1 см2 до 16 см2?

Ответ. 0,5.

20. В приемной у стоматолога ожидают своей очереди 3 женщины и 5 мужчин. Какова вероятность того, что первой к врачу вызовут женщину?

Ответ. 0,375.

21. Из цифр 1, 3, 5, 7, 9 случайным образом составляют двузначное число. Какова вероятность того, что оно содержит одинаковые цифры?

Ответ. 0,2.

22. Из класса, в котором учатся 11 девочек и 9 мальчиков, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность, что будет выбран мальчик?

Ответ. 0,45.

23. В магазине проводится мгновенная лотерея, для которой изготовили 100 билетов. Найдите вероятность того, что купив один билет, Вы получите приз, если известно, что в этой лотерее разыгрывается три приза.

Ответ. 0,03.

24. Из 1000 волейбольных мячей в, среднем 20 пропускают воздух. Какова вероятность того, что случайно выбранный волейбольный мяч не пропускает воздух?

Ответ. 0,98.

25. Из 1000 чистых компакт-дисков в среднем 40 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранный диск пригоден для записи?

Ответ. 0,96.

26. Игральный кубик бросили дважды. Какое событие более вероятно:

А = «Оба раза выпало б очков»

В = «В первый раз выпало 6 очков, а во второй — четное число очков»

С =«Оба раза выпало четное число очков»?

1) событие А 2) событие В 3) событие С 4) события А, Б и С равновероятны

Ответ. 3.

27. Из сумки, в которой лежат 9 красных, 8 зеленых и 3 желтых яблока, наугад вынимают одно яблоко. Какое событие более вероятно:

А = «Достали красное яблоко»

В = «Достали зеленое яблоко»

С = «Достали желтое яблоко»?

1) событие А 2) событие В 3) событие С 4) события А, Б и С равновероятны

Ответ. 1.

28. Игорь в течение года получил 50 отметок по биологии, из них 12 отметок — «четверки». Какова относительная частота события «Игорь, получил «четверку» по биологии»?

Ответ. 0,24.

29. Для новогодней школьной лотереи изготовили 500 билетов, среди которых 30 билетов выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Ответ. 0,06.

30. В актовый зал можно зайти через любую из четырех дверей. Какова вероятность того, что школьник, зайдя в зал через одну из этих дверей, вышел из зала через эту же дверь?

Ответ. 0,25.

31. На отрезок AB длиной 6 см произвольным образом ставится точка М. Какова вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке AM как на стороне, будет заключена от 4 см2 до 25 см2?

Ответ. 0,5.

32. В приемной у стоматолога ожидают своей очереди 6 женщин и 4 мужчины. Какова вероятность того, что первой к врачу вызовут женщину?

Ответ. 0,6.

33. Из цифр 1,3,5, 7, 9 случайным образом составляют двузначное число. Какова вероятность того, что оно содержит две семерки?

Ответ. 0,04.

34. Числа от 1 до 15 написаны на 15 шариках. Наугад выбирают один шарик. Какова вероятность, что число, написанное на этом шарике, делится на 4?

Ответ. 0,2.

35. Из цифр 1, 3, 5, 7, 9 случайным образом составляют двузначное число. Какова вероятность того, что оно содержит цифры 1 и 3?

Ответ. 0,08.

36. Числа от 1 до 16 написаны на 16 шариках. Наугад выбирают один шарик. Какова вероятность, что число, написанное на этом шарике, делится на 7?

Ответ. 0,125.

37. Игральный кубик бросили дважды. Какое событие более вероятно:

А = «Оба раза выпало 5 очков»

В = «В первый раз выпало 5 очков, а во второй — 6 очков»

С = «Оба раза выпало нечетное число очков»?

1) событие А 2) событие В 3) событие С 4) события А, Б и С равновероятны

Ответ. 3.

38. В каждой двадцатой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.

39. Когда в коробке оставалось 40 чайных пакетиков чёрного чая, мама положила туда 25 пакетиков зелёного чая, чтобы все пакетики лежали в одной коробке. Ваня, не глядя на этикетку, вынимает наугад один пакетик и заваривает чай. Какова вероятность, что это окажется черный чай?

40. Королеву бала выбирают голосованием: в урну для голосования каждый гость бросает записку с именем кандидатки. 66 гостей уже проголосовали, но никто из них не голосовал за Анастасию. Анастасия сама подошла к урне и тайком засунула в нее 34 записки со своим именем. Затем из урны наудачу извлекли одну записку с именем Королевы бала. Найдите вероятность того, что Анастасия не станет королевой.

41. В автомобиле «Жигули» есть деталь, которая часто выходит из строя. В продажу в среднем на каждые 100 таких деталей поступает 20 неисправных. Василий Иванович решил купить сразу три таких детали. Найдите вероятность того, что Василию Ивановичу удастся найти среди купленных деталей хотя бы одну исправную.

42. Марина заказала в мебельном Интернет-магазине два одинаковых кресла понравившегося ей цвета. Известно, что в среднем на 50 заказанных изделий при доставке приходится два случая ошибки с цветом товара. Найдите вероятность того, что хотя бы одно из двух привезённых кресел будет того цвета, который хотела Марина.

43. Папа с Мишей решили покататься на колесе обозрения. Всего
на колесе двадцать четыре двухместные кабинки. Кабинки по очереди
подходят к платформе для посадки. Мише очень хочется покататься
в синей кабинке, но синяя кабинка только одна. Перед папой и Ми-
шей в очереди только бабушка с внуком. Найдите вероятность того,
что: а) Мише сразу попадётся синяя кабинка;

б) Мише придётся пропустить ровно одну кабинку, прежде чем придёт синяя;

в) Миша не сможет в этот раз покататься в синей кабинке.

44. Миша с папой по выходным ходят кататься на колесо обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, которые по очереди подходят к платформе для посадки. Мише очень нравятся синие кабинки, но их всего три. Мишу никто не спрашивает — ему приходится кататься в той кабинке, которая попалась. Найдите вероятность того, что ни в субботу, ни в воскресенье Миша так и не сможет покататься в синей кабинке.

45. Двое знакомых покупают билеты в один и тот же купейный вагон скорого поезда, не зная друг о друге. Найдите вероятность того, что они окажутся в одном и том же купе. (В вагоне девять купе, по четыре места в каждом.)

46. В опыте с двумя бросаниями правильной кости:

а) укажите элементарные исходы, благоприятствующие событию

б) вычислите вероятность события А.

47. Из карточек составлено слово «СЛОН». Опыт состоит в случай-
ном выборе одной карточки.

а) Найдите вероятность того, что на карточке буква «Н».

б) Перечислите элементарные исходы, благоприятствующие событию

Сколько таких исходов?

48. Из карточек составлено слово «ВЕРОЯТНОСТЬ». Опыт состоит
в случайном выборе одной карточки.

а) Сколько элементарных исходов благоприятствует событию G = <выбрана карточка с буквой Т>?

б) Перечислите элементарные исходы, благоприятствующие событию D = <выбрана карточка с буквой, обозначающей гласный звук>Сколько таких исходов?

в) Найдите вероятность событий D и .

г) Найдите вероятность события F =

д) Найдите пересечение и вероятность события В.

е) Независимы ли события F и G?

ж) Независимы ли события D и G?

49. Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице (см. рисунок к задаче 61) элементарные
исходы, благоприятствующие событию

50. Случайный опыт состоит в двукратном бросании правильной
кости. Отметьте в таблице (см. рисунок к задаче 61) элементарные
исходы, благоприятствующие событию

51. Случайным образом выбирается двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из двух его цифр является квадратом целого числа.

Ответ. 0,6.

52. Случайным образом выбирается двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что обе цифры делятся на три.

Ответ. ≈ 0,133.

53. ПИН-код для сим-карты— случайная комбинация четырёх цифр. Будем называть ПИН-код простым, если в нём две последние цифры повторяют две первые в том же порядке. Например: 3434 — простой ПИН-код. Покупатель купил сим-карту. ПИН-код начинается с цифр 57. Найдите вероятность того, что ПИН-код простой.

Ответ. 0,01.

54. ПИН-код для сим-карты— случайная комбинация четырёх цифр. Будем называть ПИН-код счастливым, если сумма двух первых цифр равна сумме двух последних. Покупатель купил сим-карту. ПИН-код начинается с цифр 57. Найдите вероятность того, что ПИН-код счастливый.

Ответ. 0,07.

55. ПИН-код для банковской карты — случайная комбинация четырёх цифр. Будем называть ПИН-код простым, если в нём две последние цифры повторяют две первые в том же порядке. Например: 3434 — простой ПИН-код. Найдите вероятность, что держателю банковской карты достанется простой ПИН-код.

Ответ. 0,01.

56. ПИН-код для сим-карты выбирается как случайная комбинация четырёх цифр. Последовательность цифр называется палиндромом, если она в обе стороны читается одинаково. Например: 0220 — палиндром. Найдите вероятность, что покупатель сим-карты получит ПИН-код, который является палиндромом.

Ответ. 0,01.

57. Билетик в маршрутном такси имеет шестизначный номер (первая цифра может быть нулём, например 031234). Последовательность цифр называется палиндромом, если она в обе стороны читается одинаково. Например: 324423 — палиндром. Найдите вероятность, что случайно выбранный билетик имеет номер-палиндром Ответ. 0,001.

58. Случайным образом выбирается двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что вторая цифра будет меньше первой.

Ответ. 0,5.

59. Найдите вероятность того, что в семизначном телефонном номере пять последних цифр —две двойки и три тройки в любом порядке.

Ответ. 0,0001.

60. Найдите вероятность того, что в шестизначном номере паспорта четыре последние цифры — две семерки и две девятки в любом порядке.

Ответ. 0,0006.

61. Найдите вероятность того, что в случайном восьмизначном цифровом пароле шесть последних цифр — две единицы и четыре тройки в любом порядке.

Ответ. 0,000015.

62. Абонемент в бассейн имеет пятизначный номер. Последние четыре цифры можно считать случайными. Найдите вероятность того, что в таком номере четыре последние цифры — одна шестёрка и три двойки в любом порядке.

Ответ. 0,0004.

63. Найдите вероятность того, что в семизначном телефонном номере среди пяти последних цифр нет ни одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ. 0,00032.

Ответ. 0,008.

65. Найдите вероятность того, что в случайном четырёхзначном цифровом пароле все цифры нечётные.

Ответ. 0,0625.

66. Найдите вероятность того, что в случайном пятизначном цифровом пароле нет ни одной из цифр 0,1, 2, 3, 5, 6, 8, 9.

Ответ. 0,00032.

67. ПИН-код для сим-карты — случайная комбинация четырёх цифр. Будем называть ПИН-код неудачным, если в нём встречаются только цифры 0 и 1 (обе цифры присутствуют). Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты достанется неудачный ПИН-код.

Ответ. 0,0014.

68. ПИН-код для сим-карты — случайная последовательность четырёх цифр. Будем называть ПИН-код удачным, если в нём встречаются только одна или две цифры. Например, ПИН-коды 5225 и 0000 — удачные. Найдите вероятность того, что покупателю сим-карты достанется удачный ПИН-код.

Ответ. 0,064.

69. Случайным образом выбирается двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что это число чётное.

Ответ. 0,5.

70. Случайным образом выбирается двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что первая и вторая цифры отличаются не более чем на 2.

Источник