что значит найти произведение чисел

Учимся дома 1-11 классы

Заметки о семейном образовании

Умножение. Как объяснить ребёнку?

Умножение. Как объяснить ребёнку? Просто!

Умножение — это то же самое сложение. Только упрощённое. Не верите? Ну, как же! Смотрите сами…

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=.

Это же пока сосчитаешь, сколько тут двоек, да сложишь все по очереди! Тут и пенсия как раз настанет!

2 х 12 = 24 и всё!

И для облегчения счёта создана таблица умножения. Один раз выучил — всю жизнь пользуешься. Очень удобно!

Сначала дети учатся умножать и запоминают, как называются числа при умножении. Кажется, всё просто. Аналогично сложению. Там были слагаемые и сумма, тут множители и произведение.

Странные исправления в задачах

Засада начинается позже, когда начинаются задачи. Все помнят эти фотографии из родительских чатов с вопросами: За что? И почему так?

На фото было что-то типа такого:

В чём же дело?

Ведь всем же ясно, что 3х2, что 2х3 — получится одинаковое число. За что издеваются над нашими детьми?

Всё дело в логике.

Если пишем 3 х 2, то по условию задачи получаем: три раза мальчик нарисовал по 2 кораблика.

Если пишем 2 х 3, то получаем: по 2 кораблика мальчик нарисовал три раза.

Ну и что? Хрен редьки не слаще! Что в лоб, что по лбу! Разница-то в чём?

Тем более, что в старших классах дети всё равно будут учить переместительный закон умножения: от перемены мест множителей сумма не меняется.

Вот раньше таких проблем не было!

Действительно, не было!

А дело всё в том, что числа при умножении назывались иначе. Вернее, одно число называлось иначе и всё становилось на свои места!

И никто не путался. Сразу же ясно:

И задача сразу иначе звучит. Решать ее надо иначе.

Сразу следует подумать, о чём идёт речь в задаче?

О корабликах! Сколько было корабликов? Два. Два — это множимое!

Во сколько раз больше Вася нарисовал корабликов? В три! Три — это множитель!

Отсюда: верная запись: 2 х 3 = 6 (и никак иначе!)

А как же может звучать вопрос при умножении?

А теперь давайте тренироваться!

Тест на умножение. Если Вы его не видите, значит его блокирует какая-то программа, установленная на Вашем компьютере. Обычно, блокировщик рекламы.

Источник

Числа. Произведение чисел. Свойства умножения.

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой.

Произведение чисел m и n — это сумма n слагаемых, каждое из этих слагаемых = m.

Выражение типа m • n, и значение такого выражения называется произведение чисел m и n. Числа m и n называются множителями.

Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.

Свойства умножения чисел.

1. Коммутативность:

При перестановке множителей местами, значение произведения остается без изменений. Это переместительное свойство умножения.

где, 3 и 4 — множители, а 12 — произведение.

2. Ассоциативность:

В произведении 3-х и больше множителей при перестановке этих множителей либо изменения последовательности выполнения умножения результат остается одинаковым.

3. Дистрибутивность:

4. Произведение всякого натурального числа и единицы, будет соответствовать этому числу.

Произведение всякого натурального числа и нуля, = 0.

Выражения с буквенными множителями записывают так:

Кроме того, не используют знак умножения и перед скобками,

2 • (a + b) записывают как 2(а + b),

Источник

Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.

Умножение натурального числа.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел, а числа m и n называют множителями.

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел.
Числа 7 и 12 называются множителями.

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m⋅n=n⋅m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅b) ⋅c=a⋅(b⋅c)

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a⋅1=a или 1⋅a=a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a⋅0=0 или 0⋅a=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Источник

Умножение натуральных чисел

Я сперва покажу на примере, для чего нужно умножение, а после дам определение умножения и подробно расскажу об этом действии.

Допустим, мы хотим купить 14 тетрадей по 22 рубля каждая. Планируя покупку, нам нужно знать, сколько мы заплатим за всю покупку?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно сложить стоимость каждой тетради, которую мы хотим купить. А, так мы запланировали покупку 14 тетрадей, тогда мы складываем 22 рубля 14 раз, то есть, находим сумму 14 слагаемых, каждое из которых равно 22 :

22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22=308 (то есть, 308 рублей).

Если размер и количество одинаковых слагаемых небольшие, мы без особого труда можем найти их сумму. Но что же делать, если слагаемые многозначные и их количество велико?

Умножение – это арифметическое действие сложения определенного количества одинаковых слагаемых.

Действие умножение – это частный случай действия сложение.

Число, которое является повторяющимся слагаемым, называется множимое (то, что множится, умножается).
Число, которое указывает на количество одинаковых слагаемых, называется множитель.
Множимое и множитель имеют общее название – сомножители.
Результат действия умножения называется произведением.

22 ∙14=308,

22x14=308,

22*14=308.

При записи от руки действие умножение принято обозначать при помощи точки, косой крест используется в основном при печати, а звездочка – в компьютерном наборе. Но даже и во время компьютерного набора грамотнее использовать точку или косой крест (букву х).

Прочитать действие умножения и результат можно такими способами:

Компоненты действия умножение для двух сомножителей:

Компоненты умножения для трех сомножителей и более:

Основные свойства умножения

Поскольку действие умножение является частным случаем действия сложение, то основные свойства сложения распространяются и на умножение.

Законы умножения и их следствия

Умножение обладает такими основными свойствами, называемые законами умножения, из которых вытекают остальные свойства и следствия:

Переместительный закон умножения.
Произведение двух или нескольких сомножителей от изменения их порядка не меняется.
Это значит, что значение произведения не зависит от порядка перемножения сомножителей, то есть, от порядка выполнения действия умножение.

Для двух сомножителей мы можем записать переместительный закон умножения в общем виде так:

ab=ba.

Допустим, нам нужно подсчитать количество отделений в шкафу (рис. 1).

Это свойство также верно для трех и более сомножителей.

К примеру, нам нужно подсчитать количество отделений в двух одинаковых шкафах (рис. 2).

5 ∙3+5 ∙3 =5 ∙3 ∙2.

15+15=15 ∙2,

30=30.

3 ∙5+3 ∙5=3 ∙5 ∙2,

15+15=15 ∙2,

30=30.

Значит, 5 ∙3 ∙2=3 ∙5 ∙2=30.

Поэтому, для трех сомножителей переместительный закон умножения в общем виде выглядит так:

abc=acb=bac=bca=cab=cba.

Сочетательный закон умножения.
Результат умножения трех и более чисел не изменяется, если любые из этих сомножителей заменить их произведением.
Следовательно, мы можем группировать множители между собой каким угодно образом, и выполнять действие умножения с этими группами.

В общем виде для трех сомножителей сочетательный закон умножения можно выразить так:

abc=a(bc)=(ab)c=b(ac).

Этот закон можно назвать следствием переместительного закона умножения.

Так, при подсчете количества отделений в двух шкафах на рисунке 2, мы можем сперва найти число отделений в одном шкафу, а потом умножить результат на 2 :

(5 ∙3) ∙2=15 ∙2=30,

(3 ∙5) ∙2=15 ∙2=30,

а можем сперва найти общее количество рядов отделений в обоих шкафах, а после умножить их на количество отделений в ряду:

(3 ∙2) ∙5=6 ∙5=30.

Как видите, результат во всех случаях одинаковый.

Особые случаи умножения: умножение единицы и нуля

Если в произведении двух чисел один из сомножителей единица, то произведение равно второму сомножителю:

a ∙1=1 ∙a=a.

А при умножении единицы на любое число (например, 1 ∙ 7 ) мы находим сумму семи единиц, то есть, то количество единиц, из которых состоит данное число. Следовательно, сумма этих единиц равна самому данному числу :

1+1+1+1+1+1+1=7.

Если в произведении любого количества сомножителей одним из сомножителей является нуль, то и произведение равно нулю:

a∙b∙0=0∙a∙b=a∙0∙c=0.

Умножение однозначных чисел

Умножение двух однозначных натуральных чисел a и b – это нахождения суммы b слагаемых, каждое из которых равно числу a, и при этом a и b являются натуральными числами.

Для облегчения вычисления, были посчитаны результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга, и сведены в специальные таблицы умножения.

Умножение многозначного числа на однозначное

900+80+5+900+80+5+900+80+5+900+80+5.

Воспользуемся законами сложения и сгруппируем одинаковые слагаемые этого выражения вместе:

900+900+900+900+80+80+80+80+5+5+5+5,

(900+900+900+900)+(80+80+80+80)+(5+5+5+5).

Суммы в скобках мы можем заменить на произведение одинаковых слагаемых и числа этих слагаемых в каждых скобках:

900 ∙4+80 ∙4+5 ∙4.

Таким образом, чтобы умножить многозначное число на однозначное, достаточно умножить это однозначное число на количество единиц в каждом разряде многозначного числа, и сложить полученные результаты.

Умножение в столбик многозначного числа на однозначное

4 раза по 8 десятков – это 32 десятка. Прибавим к ним 2 десятка, которые получились после умножения однозначного числа на единицы, получим 32 десятка, то есть, 3 сотни и 2 десятка. Цифру 2 пишем под чертой в разряде десятков, а над разрядом сотен множимого 975 (в уме) ставим маленькую цифру 3 :

4 раза по 9 сотен – это 36 сотен. Прибавим к ним 3 сотни, которые держим в уме, получаем 39 сотен, или 3 тысячи и 9 сотен. Значит, пишем под горизонтальной чертой в разряде сотен цифру 9 и, поскольку в множимом 985 нет ни одной тысячи, то сразу запишем в результате под чертой цифру 3 в разряде тысяч:

Умножение многозначных чисел

Прежде чем рассказать, как в общем случае умножить одно многозначное число на другое, я расскажу о двух частных случаях умножения многозначных чисел:

Умножение на число, состоящее из единицы и любого количества нулей

327 ∙10 =3270

327 ∙100 =32700

Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, которое начинается на единицу, и заканчивается любым количеством нулей, достаточно к концу первого числа дописать столько нулей, сколько содержится во втором числе.

Умножение на число, которое начинается цифрами, и заканчивается любым количеством нулей

327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327.

(327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327).

(327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2).

(327 ∙2) ∙10.

764 ∙3 =2292.

2292 ∙100 =229200.

Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, начинающееся любыми цифрами и заканчивающееся нулями, достаточно умножить первое число на число, образованное первыми цифрами второго, а к результату приписать справа столько нулей, сколько их было в конце второго числа.
Иными словами: нужно от второго числа отбросить нули в конце, умножить получившиеся числа, а к результату приписать справа столько нулей, сколько изначально отбросили.

Общее правило умножения чисел

Количество слагаемых ( 168 ) мы можем разложить на разрядные слагаемые ( 100+60+8 ) и согласно сочетательному закону сложения сгруппировать их следующим образом : сто слагаемых плюс шестьдесят слагаемых плюс восемь слагаемых.

Исходя из определения умножения, выражения в скобках мы можем представить не в виде суммы большого количества слагаемых, а как сумму произведений:

Таким образом, чтобы умножить два многозначных числа, достаточно последовательно умножить одно из этих чисел на количество единиц каждого из разрядов второго числа, и сложить полученные результаты.

Частное произведение – это число, полученное после умножения одного из сомножителей на количество единиц какого-либо разряда другого сомножителя.

Умножение в столбик многозначных чисел

При записи действия умножения в столбик сомножители располагаются друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел ; под множителем проводим горизонтальную черту, и ставим между сомножителями знак действия умножения:

В частных произведениях обычно не пишут (опускают) нули в конце числа для упрощения записи. При этом следует не забывать, что, первую полученную цифру частного произведения нужно писать в том разряде, цифру которого мы умножаем на множимое.

Некоторые особенности записи умножения в столбик

При записи нахождения произведения двух чисел в столбик существуют некоторые особенности, которые помогают сократить запись и упростить наглядность вычисления. Все они являются следствием свойств умножения.

Попробуйте самостоятельно доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас или нет.

Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей

Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, произведение также увеличится в это же число раз.

18 ∙2 =36
18 ∙6 =108.

По-другому и быть не может, и вот почему.

Первое произведение представляет собой сумму двух слагаемых :

18+18.

Второе произведение – это сумма шести таких же слагаемых :

18+18+18+18+18+18.

(18+18)+(18+18)+(18+18).

Если уменьшить один из сомножителей в несколько раз, произведение также уменьшится в это же число раз.

Попробуйте самостоятельно доказать правильность этого свойства. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас?

Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, а второй в это же число раз уменьшить, то произведение при этом не поменяется.

32 ∙8 =256,

Увеличим первый сомножитель в 4 раза, а второй во столько же раз уменьшим:

128 ∙2 =256.

Теперь уменьшим первый сомножитель произведения 32 ∙8 в 4 раза, а второй уменьшим в это же число раз:

8 ∙32 =256.

Умножение произведения на число и числа на произведение

Если необходимо умножить произведение на число, нужно любой сомножитель этого произведения умножить на данное число, а результат умножить последовательно на оставшиеся сомножители.
(a ∙b ∙c) ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c =(b ∙d) ∙a ∙c =(c ∙d) ∙a ∙b

10 ∙7 =70 (просто приписываем к семерке нуль),
70 ∙9 =630 (находим по таблице умножения 7 ∙9 =63 и приписываем в конце нуль).

Когда я пишу «находим по таблице умножения», это означает, что мы вспоминаем эту строку из таблицы, а не ищем её там на самом деле. Таблицу умножения нужно знать наизусть!

Если необходимо умножить число на произведение, нужно умножить данное число на любой сомножитель, а результат умножить на оставшиеся сомножители.
a ∙(b ∙c ∙d) =(a ∙b) ∙c ∙d =(a ∙c) ∙b ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c.

30 ∙3 =90,

90 ∙2 =180.

Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)

Когда мы рассматривали умножение многозначного и однозначного чисел, мы раскладывали число 975 на его разрядные слагаемые ( 900+70+5 ), а потом умножали на 4 отдельно каждое это слагаемое. Аналогично можно поступать при умножении числа на любую сумму.

(5+2+4+9)+(5+2+4+9)+ (5+2+4+9).

Все эти слагаемые представляют собой одну сумму чисел, сгруппированных в определенные группы. Запишем их без скобок:

5+2+4+9+5+2+4+9+5+2+4+9,

а затем, используя переместительный и сочетательный законы сложения, сгруппируем одинаковые слагаемые:

Основываясь на определении действия умножение, так как мы имеем в каждых скобках одинаковые слагаемые, переписываем это выражение следующим образом:

5 ∙3+2 ∙3+4 ∙3+9 ∙3.

Распределительный закон умножения: для умножения суммы на любое число, необходимо каждое слагаемое этой суммы умножить на данное число, а затем сложить полученные произведения.
Согласно переместительному закону умножения, это свойство справедливо и при умножении числа на сумму.
Для умножения числа на сумму, необходимо умножить данное число на каждое слагаемое этой суммы, а результаты полученных произведения сложить.
(a+b+c+d)∙z =z∙(a+b+c+d) =a ∙z+b ∙z+c ∙z+d ∙z.

Название распределительный происходит от того, что действие умножения на сумму распределяется между каждым из слагаемых этой суммы.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 3

Источник