Математика. 4 класс
Конспект урока
Урок №44. Письменное деление на число, оканчивающееся нулями.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Делитель – число, на которое делят.
Неполное частное – результат деления с остатком, который показывает, какое максимальное число раз делитель содержится в делимом.
Остаток – число, которое получается при делении с остатком и которое показывает, какое минимальное число нужно вычесть из делимого, чтобы полученное число делилось нацело на данный делитель.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 2. М.; Просвещение, 2016. – с.31-33
3. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы.4 класс. М.: Просвещение, 2017. – с.58-63
4. Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. 1 ч. – М.: 2013. – стр. 81-88
5. Аргинская И. И. Математика. 4 класс. Часть 1. Самара: Издательский дом «Федоров», 2012., стр. 18-21.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим, как выполняется деление числа 2270 на 40.
Выделяем первое неполное делимое, это число 227. В частном получится две цифры. Для нахождения первой цифры частного, нужно 227 разделить на 40, или 22 разделить на 4, получится 5. Столько десятков будет в частном. Умножим 40 на 5, получим 200. Столько десятков разделили. Вычитаем 200 из 227, получается 27. Столько десятков осталось разделить. Теперь надо сравнить остаток с делителем. 27 меньше 40, значит цифра 5 в частном в разряде десятков подобрана верно.
Образуем следующее неполное делимое. Это 270 единиц. Делим 270 на 40. Для этого надо разделить 27 на 4, получим 6. Столько единиц будет в частном. Умножим 40 на 6, получим 240. Столько единиц разделили. Вычтем 240 из 270, получим 30. Это остаток от деления. Остаток 30 меньше делителя 40, значит цифра 6 в частном в разряде единиц подобрана верно. Деление 2270 на 40 завершено. Получили частное 56 и остаток 30.
В ходе деления у нас получился определенный порядок выполнения действий, алгоритм. Ещё раз проговорим его.
1. Выделить первое неполное делимое.
2. Определить количество цифр в частном.
3. Разделить неполное делимое на делитель.
4. Умножить делитель на полученное число.
5. Найти остаток от деления вычитанием.
6. Сравнить остаток с делителем.
Посмотри, как выполняется деление числа 182400 на 300.
Выделяем первое неполное делимое, это число 1824. Делим сотни, значит в частном получится три цифры. Для нахождения первой цифры частного, нужно 1824 разделить на 300 или 18 разделить на 3, получится 6. Столько сотен будет в частном. Умножим 300 на 6, получим 1800. Столько сотен разделили. Вычитаем 1800 из числа 1824, получаем 24. Столько сотен осталось разделить. Теперь надо сравнить остаток с делителем. 24 меньше 300. Значит цифра 6 в частном в разряде сотен подобрана верно.
Образуем следующее неполное делимое. Это 240 десятков. Но 240 десятков меньше делителя, числа 300. Поэтому в частном получится 0 десятков. В этом случае мы можем использовать сокращенную запись вычисления, образовать следующее неполное делимое, это 2400 единиц. Образуем следующее неполное делимое, это 240 десятков. Но 240 десятков меньше делителя, поэтому в частном получится 0 десятков. Умножим 300 на 8, получим 2400. Столько единиц разделили. Мы разделили все единицы. Остаток 0 меньше делителя. Значит, цифра 8 в частном в разряде единиц подобрана верно. Деление числа 182400 на 300 завершено. Получили частное 608.
Задания тренировочного модуля:
1. Определите количество цифр в значении частного. Выберите один правильный вариант ответа.
Варианты ответа: 2; 3; 4
Правильный ответ: 2.
16560:180; 9150:50; 28810:670; 23040:40
Красным цветом: 9150 : 50; 23040 : 40;
Зелёным цветом: 16560 : 180; 28810 : 670.
3. Выберите выражение, значение которого равно значению выражения 200 : 20 : 5
Правильный вариант: 200 : (20 • 5)
4. Соедините выражение с его остатком при делении.
Математика. 4 класс
Конспект урока
Математика, 4 класс
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— как письменно делить трехзначные числа на однозначные?
— какой алгоритм письменного деления многозначного числа на однозначное?
Алгоритм – упорядоченный набор однозначных выполнимых шагов.
Трехзначное число – число, которое состоит из сотен, десятков и единиц первого класса.
Первое неполное делимое – это первое число, которое делится на знаменатель.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 18, 22
3. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с. 46-47
4. Волкова С. И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с. 36-37
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Вы уже умеете делить числа в столбик. Рассмотрим теперь более сложный случай.
Фермер Василий собрал в своем саду 372 кг вишни. Он и его 3 сына поделили ягоды поровну между собой и отправились на рынок. Сколько килограммов вишни должен продать каждый член семьи?
Начинаем деление с сотен. Сотен 3, но 3 сотни нельзя разделить на 4 так, чтобы в частном получились сотни. Делим десятки. Три сотни и 7 десятков – это 37 десятков. Делим 37 десятков на 4. В частном будет 9. Умножаем 9 на 4, чтобы узнать сколько десятков разделили. Получается, что разделили 36 десятков. Вычитаем из тридцати семи 36, получается 1. Значит, осталось разделить еще 1 десяток.
Переходим к делению единиц. Записываем две единицы рядом с остатком от деления десятков. 1десяток и 2 единицы – это 12 единиц. Делим 12 на 4, в частном 3. Умножаем 3 на 4, получаем 12. Вычитаем 12 из двенадцати. Осталось 0. Читаем ответ: 93.
Итак, важно запомнить: деление трехзначных чисел в столбик происходит поразрядно и начинается с высшего разряда. При нахождении каждой цифры частного, надо вспомнить три операции: деление, умножение и вычитание.
Рассмотрим еще один случай деления.
Слив фермер собрал 621 кг. Поделил их между тремя сыновьями и отправил их на рынок. Сколько килограммов слив должен продать каждый сын?
Разделим 621 на 3. Начнем деление с сотен. Делим 6 сотен на 3, в частном будет 2 сотни. Умножаем 2 на 3, чтобы узнать, сколько сотен разделили. Получается, разделили 6 сотен. Вычитаем 6 из шести, получаем 0. Значит, все сотни разделили. Ноль не пишем. Приступаем к делению десятков. Записываем 2 десятка ниже. При делении числа 2 на 3 получается 0. Умножаем 0 на 3, чтобы узнать сколько десятков разделили. Получается, что разделили 0 десятков. Вычитаем из двух ноль. Получается 2. Нам по-прежнему осталось разделить 2 десятка. Переходим к делению единиц. Записываем единицу ниже рядом с остатком 2. Два десятка и одна единица – это 21 единица. 21 делим на 3. В частном получаем 7 единиц. Умножаем 7 на 3, чтобы узнать сколько разделили единиц. Вычитаем 21 из двадцати одного, чтобы узнать остаток от деления единиц. Остаток равен 0. Читаем ответ: двести семь.
Задания тренировочного модуля:
1. Найдите значения выражения, считая устно или письменно:
Общее представление о делении натуральных чисел с остатком
В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.
Общее представление о делении с остатком
Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.
В чем состоит смысл деления с остатком?
1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.
2) если b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.
Основные понятия, используемые при делении с остатком
Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.
Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение « ÷ », смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение 16 : 3 означает деление одного натурального числа на другое с остатком.
Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель = неполное частное (ост. остаток).
Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.
Задачи, в которых используется деление с остатком
В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:
1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.
У нас есть 67 шаров, которыми мы будем наряжать елки. Если на каждую елку нужно 15 шаров, сколько всего елок можно нарядить? Результат мы получим после деления с остатком.
Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)
Например, на заводе произведено 6 113 л молока. Его нужно разлить в бутылки по 2 л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится 3 часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.
2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.
Чтобы изготовить бетонную плиту, надо израсходовать 750 кг цемента. Если мы закупили 12 900 кг, на сколько плит нам хватит? Результат мы вычислим в результате деления с остатком.
Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления
Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.
Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.
Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.
Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:
Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.
Решение
Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.
Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.
Решение
Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.
Решение
Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: ( 221 − 13 ) : 52 = 208 : 52 = 4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).
Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.
Возьмем пример решения такой задачи.
Решение
Как найти первое неполное делимое и количество цифр в частном?
В самом начале обучения навыку деления чисел дети часто допускают ошибки. Одними из самых распространенных, помимо ошибок непосредственно в совершении промежуточных вычислений, являются появление «лишних» цифр и потеря нулей в частном. Их возникновение зачастую связано с такими причинами:
Этой статьей я хочу помочь школьникам восполнить пробелы в вышеупомянутых базовых знаниях, чтобы в дальнейшем они смогли избегать ошибок при совершении действия деления в столбик.
Как найти первое неполное делимое?
Рассмотрим подробно по шагам на таком примере \( <\color
1. Смотрим, сколько разрядов в делимом и какая цифра стоит на позиции самого старшего разряда этого числа.
1. 1. Проверяем, можно ли это количество единиц этого разряда разделить на делитель так, чтобы получилось натуральное число?
1. 2. Если разделить нельзя, смотрим на количество единиц следующего разряда и проверяем, можем ли мы их разделить на делитель?
В числе 75184 всего 75 единиц разряда тысяч. 75 тысяч можно разделить на 12 – получится 6 полных тысяч, и 3 тысячи неразделенные.
2. Если можно разделить количество единиц разряда на делитель, то это количество единиц и будет первым неполным делимым.
В нашем примере это 75 тысяч.
Каждая оставшаяся цифра делимого будет участвовать в формировании остальных неполных частных, о чем подробно рассказано в уроке Деление натуральных чисел.
Как найти количество цифр в частном?
Так как первое неполное делимое в данном примере – это 75 тысяч, то есть, мы делим единицы тысяч, тогда самый старший разряд частного также будет тысячи. Значит, помимо цифры самого большого разряда, будут ещё три цифры: в сотнях, десятках и простых единицах.
Итак, чтобы узнать количество цифр в частном, нужно:
1. Найти первое неполное делимое.
2. Посчитать, сколько в делимом остальных цифр.
3. Прибавить к этому количеству единицу (цифра частного, полученная после деления первого неполного делимого).
4. Результат и будет количеством цифр в частном.
Поделим, и убедимся:
В конце хочу сказать, что определение количества цифр в частном помогают развить и укрепить очень необходимый для младших школьников навык – самоконтроль.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.1 / 5. Количество оценок: 15
Деление чисел с остатком
Деление с остатком целых положительных чисел
Деление — это разбиение целого на равные части.
Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Выполним деление столбиком:
Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное
Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:
В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.
Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.
Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».
Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.
Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):
Пример
Разделить 17 на −5 с остатком.
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.
Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное
Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:
Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:
d = a − b * c
Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.
Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.
Пример
Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.
Разделим заданные числа по модулю.
Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.
Так как получили 3, противоположное ему −3.
Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:
d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.
Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.
Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).
Деление с остатком целых отрицательных чисел
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:
d = a − b * c
Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.
Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:
Пример
Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.
Применим алгоритм для деления с остатком.
Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.
Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.
Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.
Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком
a = b * c + d,
где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.
Теорема
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:
где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.
Доказательство:
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q
