что такое априорность математики
Априорность математики
Априорность математики — философская проблема: математика так или иначе объективно существует либо же математика придумана людьми на основе их опыта.
Тесно связана с проблемой о смысле математики, иными словами проблема априорности математики — это проблема поиска некоего самостоятельного источника математических фактов, лишь частично постигаемых математиками.
Содержание
[править] Априорность математики как философская проблема
Эмпиризм утверждает, что математика «вытекает из опыта», а математические аксиомы суть абстракция, построенная на изучении реального мира. Так, наблюдая предметы, человек сформировал понятие о числе и его арифметических свойствах, а измеряя в повседневной жизни пропорции и объёмы, развил геометрию. Изучение операций привело к развитию алгебры, а изучение движения и колебаний сформировало математический анализ, оперирующий с бесконечно малыми величинами.
Разумеется, такая точка зрения лишает математику особого «смысла», ибо из опыта проистекает ещё много чего, включая ложные убеждения о самой математике.
От Платона идёт концепция особого мира идей, который древнегреческий философ ставил за источник, словно эталон-заготовку, мира вещей. Согласно некоторым современным трактовкам, например от русского философа и священника П. А. Флоренского, последователя имяславцев, математика и есть часть мира идей, а её объекты суть символы. Борец с имяславием архиепископ Никон проводил аналогию между именами и математическими понятиями, подразумевая, что последние не существуют.
[править] Формализация математики, проблема ее полноты и непротиворечивости
Бертран Рассел утверждал, что математическое знание — не эмпирическое или априорное, а словесное, иначе говоря, знание об отношениях терминов, и вместе с Альфредом Уайтхедом пытался основать математику целиком на логике.
Теоремы Гёделя же установили, что если содержательная математика — та, в которой есть натуральные числа — непротиворечива, то это невозможно доказать её собственными средствами, а также, что если арифметика непротиворечива, то любая система её аксиом будет неполна: найдутся утверждения, про которые нельзя сказать, ложны они или истинны. Это указывает на некий произвол выбора аксиом и вечную недосказанность математики. Однако же, никто из математиков не сомневается в её непротиворечивости.
Перминов В. Я. Априорность и реальная значимость исходных представлений математики
Из традиционных философских воззрений к истинному пониманию математической науки ближе всего подходит кантовский априоризм. Математические представления четко отделены у Канта от представлений опыта, но вместе с тем они рассматриваются как строго интерсубъективные и однозначно определенные категориальной структурой мышления, а именно, априорными представлениями о пространстве и времени. Кантовская философия математики, таким образом, исключает как эмпиризм, так и конвенционализм и не подлежит сомнению, что эти два момента должны быть определяющими и для всякой философии математики, претендующей на адекватность.
Разумется, кантовский подход к пониманию математического знания несет печать своего времени и не может удовлетворить нас полностью. Задача данной статьи состоит в обосновании новой версии априоризма, которая была бы способной прояснить основные установки традиционного априоризма и ответить на главные вопросы, относящиеся к пониманию природы математического знания.
Эмпирически ориентированное сознание отвергает идею априорности как простой пережиток схоластики. Допущение математических понятий, независисмых от опыта, представляется ему совершенно абсурдным, противоречащим самому факту приложения и развития математики. Однако, действительная ситуация является здесь более сложной. В настоящее время мы можем утверждать с полной определенностью, что несмотря на все недостатки кантовского априоризма и кантовской теории познания в целом, идея Канта о зависисмости исходных представлений математики от некоторого рода фундаментальных очевидностей сознания, не является ложной. В своей сути математический априоризм не может быть отвергнут, он может быть лишь видоизменен и приведен в соответствие с современной теорией познания.
1. Априорность категорий и логики
Прежде чем перейти к проблемам философии математики, мы должны остановится на некоторых общих понятиях философии. Таким общефилософским и принципиально важным для нас понятием является понятие практики.
В марксисткой теории познания обычно подчеркивается, что практика является стимулом познания, основой познания( в смысле наличного материала и средств), а также высшим критерием истинности теорий и идей. Признавая эти положения мы будем утверждать также, что практика является нормативной основой знания, т.е. источником универсальных норм, которым подчинено всякое рациональное мышление. Этот последний момент принципиально важен, ибо он открывает возможность более адекватного понимания общих принципов познания в их отношении к опыту. Именно на основе понятия практики мы можем понять априорное знание без мистики, освободив его от обычных предрассудков эмпирической философии.
Если некоторая развивающаяся и функционирующая система является частью другой более широкой системы, то в своих функциях она неизбежно подчинена целям этой последней(более широкой) системы и общие регулятивы ее развития могут быть поняты только при рассмотрении этого функционального соподчинения. Этот абстрактный системный принцип указывает нам путь к пониманию природы высщих норм, определяющих человеческое познание. Так как познавательная деятельность человека является лишь частью его практической деятельности, то она необходимо подчинена требованиям, проистекающим из эффективности деятельности вообще. Это значит, что высщие нормы, регулирующие познавательную деятельность, имеют праксеологическую природу и должны быть выведены в конечном итоге из практической функции познания.
2. Недостатки традиционного априоризма
С праксеологической точки зрения априорное знание понимается как знание чисто нормативное, не затрагивающее содержания опытного знания даже в самых общих его аспектах. Идея чистого естествознания с этой точки зрения не имеет никакого смысла.. Элементами эмпирической науки, независимыми от опыта, являются с этой точки зрения только нормы логики, посредством которых мы оформляем наши знания в виде теоретических систем. Мы должны, таким образом, существенно ограничить сферу априорного знания, очерченную Кантом.
Гуссерль соединяет априоризм с радикальным эмпиризмом в том смысле, что он ставит перед собой задачу выявить сферу априорного знания исключительно на основе его непосредственного усмотрентия в данных опыта. Эта задача, однако, является в принципе неразрешимой. Теория априорного знания не может быть построена без привлечения гипотез о внешних целях мыслящего субъекта, т.е. без натуралистического и телеологического рассмотрения процесса познания. Но именно эти внешние детерминирующие факторы выносятся Гуссерлем за рамки анализа.
Необходимо признать, что теория априорного знания до настоящего времени все еще перебывает в зародышевом состоянии и способна скорее вызывать критику, чем привлекать внимание позитивно настроенных исследователей. И тем не менеее, представляется несомненным, что будущая теория познания будет существенно априористкой в том смысле, что она будет исходить из наличия в структуре знания неэмпирических элементов, определяющих становление всех предствавлений, связанных с опытом. Великая заслуга кантовскоой теории познания состоит в четком(хотя практически и не всегда точном) разделении формы и содержания мышления и в уяснении того обстоятельства, что знание, относящееся к форме мышления, не является эмпирическим и корректируемым на основе опыта. Теория познания не учитывающая этого разделения, не может претендовать на адекватеное понимание мышления. Философия математики, несомненно, является той сферой философского анализа, которая более всего нуждается в реабилитации априоризма.
3. Априорность исходных представлений математики
В отношении математических понятий наше общее решение не будет существенно отличаться от кантовского и будет состоять в том, что исходные идеализации математики относятся не к содержанию, а к форме мышления и являются, таким образом, частью априорной структуры мышления. Это утверждение, однако нуждается в обосновании. Одним из недостатков кантовского и гуссерлевского априоризма является то, что они просто постулируют априорность математики: они исходят из математических утверждений как из примеров, подтверждающих наличие априорного знания. В действительности, априорность математики нуждается в особом теоретическом обосновании, даже если наличие априорного знания в виде логики и категорий принято. Здравый человеческий рассудок может примирится с априорностью логических принципов, но арифметические утверждения кажутся ему несравненно более реальными, отражающими повседневные операции опыта и, вследствие этого, мало согласующимися и собщей идеей априорного знания.
Другое косвенное соображение в пользу положения об априорности истин элементарной математики проистекает из самоочевидности этих истин. Как уже сказано, априорные истины даны сознанию в особой степени очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, общепринятые нормы логического умозаключения. Но, в таком случае, сама аподиктическая очевидность может быть использована в качестве критерия априорного знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики и геометрии, то должны будем признать,что они являются аподиктически очевидными, либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных мысленных операций. Утверждение пифагорейца Филолая о том, что ложь не может быть перисоединена к утверждениям о числах, понятно современному математику точно также, как оно было понятно математикам (да и всем людям) во все времена. Элементарные арифметические и геометрические истины даны человеческому сознанию с непреложностью и этот факт заставляет нас признать исходные представления арифметики и геометрии в качестве элементов априорного знания.
Более непосредственные доводы за априорность исходных математических идеализаций могут быть получены из рассмотрения структуры универсальной онтологии.То, что мы называем универсальной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать, соответственно, причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей. Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т.п., является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельноять, а точнее, акт деятельности в его необходимых онтологических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной, т. к. в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.
Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того, чтобы действавать мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о причинных связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми мы действуем. Передвигая и вращая предметы мы рассматриваем их как те же самые. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и их внутренних связей, т.е. на идеальные предствления о предметах, как удовлетворяющих общим условиям деятельности. Точно также как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления об универсальности причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности предметов, которые конечны в пространстве и времени, относительно стабильны в своих формах, четко отделены друг от друга и т. д. Наряду с каузальной онтологией, которая выражает собой идеальные условия акта действия, мы имеем систему праксеологических идеализаций, которая может быть названа предметной онтологией и которая представляет собой систему идеализированных представлений о предметах, проистекающую из общих условий деятельности.
Наиболее веский довод против априористского истолкования исходных истин математики исходит из факта их очевидной содержательности, приложимости к описанию счета и измерения в мире реальных предметов и свойств. Наша вера в истинность утверждений типа 2 + 2 = 4, очевидно, покоятся не на доказательствах и нам трудно уйти от вывода, что она проистекает из опыта, из операций с реальными, чувственно воспринимаемыми предметами.
Такой довод, однако, не может быть принят. Внимательный анализ процедур счета и измерения показывает, что они существенно определены представлениями идеальной предметности и имеет смысл только в рамках ограничений, предписываемых предметной онтологией. Мы не пытаемся определить точное число волн на поверхности воды или число переживаний в нашей душе за определенное время суток. Наша деятельность счета строго ограничена ситуациями, соответствующим требованиям идеальной предметности и наша арифметика представлет в своей сущности не что иное точное описание этих требований. Опыт счета не расширяет аподиктической очевидности, заложенной в арифметике, и, напротив, аподитичекая очевидность, связанная с понятием числа, строго ограничивает множество ситуаций, удовлетворяющим условиям счета. Но это означает, что арифметика порождена не процедурами счета, а априорной онтологией и убедительность их для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из безусловной самоочевидности универсальной онтологии. Ошибка философов эмпирического направления состоит в том, что пытаются вывести понятие числа из процедуры счета, истолковывая сферу приложения арифметики в качестве ее опытной основы.
То же самое, очевидно, относится и к процедуре измерения. Эта процедура была бы невозможной без представления о количесве и величине, которые априорны и имеют свои истоки в структуре практики, т.е. в деятельностной установке человеческого мышления вообще. Мы должны отбростить идею, согласно которой необходимость измерения участков земли в хозяйственной практике людей была истинным истоком геометрической науки. Разливы Нила вряд ли сиграли ту роль в появлении геометрии, которую им приписывают эмпирически настроенные историки математики. В действительности, историческое становление первичных математических структур это прежде всего результат развития самосознания, оформления в понятиях фундаментальных праксеологических интуиций, который в очень малой степени зависел от возможности их приложения.
. К этой картине нужно добавить, однако, некоторый момент, который может быть выражен через понятие интенциональности. Дело в том, что онтологические структуры мышления сами по себе не задают нам полной системы исходных понятий математики и окончательное установление математических теорий связано с некоторыми субъективными установками, которые не имеют онтологического оправдания. Представление об абстрактной арифметической единице и о совокупности единиц как некоторой мысленной целостности несомненно диктуется представлением об идеальном предмете и совокупностях таких устойчивых и независимых друг от друга предметов. Но при установлении системы операций, задающих математическую структуру, мы имеем несколько вариантов, которые не противоречат общему предметному видению. Если мы делаем главным для себя момент пересчета, связанного с перебором такого рода реальных или мысленных совокупностей, то мы отождествляем количество предметов с количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения предметов по совпадению или несовпадению их качеств. На этом предельно абстрактном уровне понимания единицы мы получем операцию арифметического сложения и все остальные операции арифметики. Если же мы делаем значимым для себя разделение предметов на тождественные и нетождественные, то мы приходим к операции теоретико-множественного объединения, при которой прибавляение предметов, тождественных уже содержащимся во множестве, не изменяет этого множества. Мы можем сказать, что арифметика и теория меножеств возникли на одной и той же онтологической основе, но в различных интенциональных установках и мы должны признать, что выбор между этими установками не предопределен однозначно предметной онтологией.
Таким образом, наша обшая идея, состояшая в том, что исходные математические структуры детерминипрованы предметной онтологией, должна быть несколько ослаблена: мы должны признать, что в установлении математических структур как определенных логических образований играет роль некоторого рода субъективная ориентация, которые можно назвать первичной интенциональностью, лежащей в основе математической теории. Предметная онтология не дает основания для различения порядковых и количественных чисел: это разделение, как справедливо утверждают феноменологи, является результатом определенной интенциональной установки. В онтологии нет границы между арифметикой и теорией множеств: эта граница задается некоторыми произвольными соглашениями математического сообщества относительно способа отождествления и различения элементов множества.
Признание влияния интенциональной установки на образование математических структур не является возвращением к эмпирическому пониманию природы математических идеализаций, ибо здесь мы имеем дело со строго определенными различениями(аспектами) на уровне априорного и с различными возможностями дедуктивного офорления представлений, заключенных в универсальной предметной онтологии. Структурный аспект предметной онтологии, основанный на интуитивном различении единого и многого представлен только в арифметике и теории множеств. Есть основание думать, что других интуитивно ясных структур, представляющих этот аспект предметной онтологии, не существует. Что касается аспекта формы и протяженности, то он однозначно оформляется в структуре евклидовой геометрии, ибо, как показывает опыт, всякое изменение аксиом евклидовой геометрии приводит нас к теориям, отклоняющимся от аподиктической очевидности. Евклидова геометрия является, таким образом, структурой, которая однозначно задана предметной онтологией. Мы можем сказать, таким образом, что исходные математические структуры либо однозначно заданы универсальной предметной онтологией, либо определены ею в соответствии с интерсубъективной интециональной установкой.
Хотя предметная онтология и предшествует математике как данность, формирующаяся вне математики и независимо от нее, было бы ошибочным объявить ее предметом математики, родственным предмету физики. химии и других опытных наук. Мы должны здесь провести различение между предметом науки и ее интуитивной основой. Здесь мы должны учесть логический или формальный характер математического мышления. Математика как формальная дисциплина развивается не через анализ предмета, не в сторону углубления знаний о предмете, но через формальное развертывание исходных интуиций. Геометр исходит из чистых интуиций пространства, но он не иссследует пространство как физическую реальность: исходя из первичных интуитивно ясных связей геометр направляет свои усилия исключительно на соэдание замкнутой логической системы, соответствующей этим интуициям и поддающейся логическому анализу. Будет правильным поэтому говорить, что абстрактная предметная онтология является интуитивной основой элементарной математики. Элементарная математика жестко детерминирована предметной онтологией и в этом смысле имеет внешнее основание для своих понятий, но как формальная структура, она не относится к этому основанию как к предмету, автономное исследование которого могло бы дать контрпримеры для ее утверждений.
К исходным представлениям математики, очевидно, неприменимо понятие приближенного отражения. Оно неприменимо по той причине, что сами математические понятия являются единственным адекватным определением предметной онтологии. В этом плане Гуссерль был совершенно прав, называя исходные, интуитивно ясные структуры математики формальной онтологией.
Сказанное относится только к исходным представлениям математики и к теориям элементарной математики, систематизирующим эти представления. В общем случае, математическая теория может появиться на любой интуитивной основе, а также и без всякой содержательной основы. В этом плане имеется соблазн определить математику как деятельность по формализации структурных аспектов реальности вообще.Такой подход, однако, неприемлем по той причине, что он не вскрывает специфики исходных представлений математики, лежащих в основе ее метода. Мы не поймем сущности математики как науки и особенностей ее метода, если не уясним того обстоятельства, что исходные математические структуры имеют онтологический характер, что их интуитивную основу составляют не чувственные образы и не абстрактные представления науки, а универсальные представления о реальности, порожденные деятельностью.
5. Реальность математических объектов
Праксеологическое понимание интуитивной основы математического мышления позволяет нам по новому посмотреть на старый спор о реальности математических абстракций: являются ли эти понятия фикциями, изобретением человеческого ума, либо они содержат в себе некоторое реальное содержание, продиктованное структурой мира, в котором мы существуем? Изложенные сосбражения дают нам возможость в определенной мере защитить математический реализм и прояснить его действительные основания. В общем, мы должны признать, что исходные математические понятия имеют реальную основу в том смысмле, что они однозначно детерминированы интуициями сознания, отражащими структуру мира, значимую для деятельности.
Конечно нельзя думать, что математическому треугольнику соответствует реальный треугольник, существующий в некотором внечувственном мире. Но с другой стороны ясно, что система представлений элементарной математики не вымысел, не конвенция и не плод свободного воображения. Система этих представлений, как мы выяснили, однозначно определена структурой предметной онтологии и, таким образом, мы имеем основание утверждать, что она имеет объективную значимость, или иначе, отражает в себе некоторую реальность. В своем отношении к миру человек строит два уровня представлений о мире: представление о фактическом мире, данном в опыте и представление об идеализированном предметном мире, диктуемое деятельностной установкой мышления. Обе эти схемы мира. обладают реальностью, ибо обе они однозначно продиктованы нашим практическим отношением к миру.
Праксеологический априоризм таким образом является одновременно и реализмом, так как он оправдывает тезис о реальной значимости математических объектов. Здесь мы можем указать на два основных смысла, в которых эта реальная значимость может утверждаться. Во-первых, мы можем говорить о реальности первичных математических объектов в том смысле, что они не фикции, не произвольные мысленные конструкции, но идеализации, отражающие существенные аспекты деятельностной онтологии. В природе не существут объектов, идеально соответствующих понятиям числа. точки, плоскости, множества. Эти понятия только идеализации. Но эти идеализации обладают необходимыим характером в том смысле, что без них невозможна систематизация данных опыта и практическая ориентация в мире. А это значит, что первичные математические идеализации реальны как отражение универсально значимых аспектов опыта.
Математические объекты существуют прежде всего в голове математиков как исходные и наиболее ясно определенные идеализации. Но мы не можем остановится на констатации только этого момента. В отличиии от персонажей сказок или теоретических конструкций, имеющих свободный и частный характер, первичные объекты(идеализации) математики не могут быть устранены из сознания. Интерсубъективная данность этих объектов таккже говорит об их реальной значимости. Праксеологическая точка зрения усматривает ее в коррелятивности этих понятий существенным аспектам реальности, выраженным в онтологии.
В этом плане математические объекты можно сопоставить с исходными объектами физики. Материальная точка идеальна, ибо она не имеет какого-либо естественного коррелята в опыте, но она обладает реальностью в том смысле, что отражает существенные аспекты в поведении материальных тел (независимость силы удара от объема тела и пр.) и, таким образом, не может быть исключена из теоретической системы, относящейся к данной совокупности опыта. Материальная точка идеальна, так как она не существует в виде чувственно воспринимаемого объекта, но она реальна в смысле соответствия некоторым устойчивым характеристикам опыта. Понятие числа отличатся от понятия материальной точки лишь тем, что оно детерминировано более общей схемой реальности, заданной в универсальной онтологии. Число не существует субстанциально, но оно реально, ибо оно не фикция и не произвольная конструкция интеллекта, но часть его необходимой структуры, обусловленной глубинными структурами реальности.
Во- вторых, исходные математические теории и объекты реальны в том смысле, что они как онтологические представления обладают гарантированной эмпирической интерпретацией. Как уже было сказано выше, человеческое познание и сама человеческая деятельность были бы невозможными, если бы эмпирическая реальность радикадльно расходилась с представлениями, выраженными в онтологии. Мы не можем утверждать в качестве абсолютно истинного суждения, что все явления имеют причину, но само наше существование говорит о том, что достаточное количество явлений подчиняется этому правилу. Но это значит, что категориальные представления связанные с причинностью всегда интерпретируемы в мире опыта. Не все реальные совокупности объектов могут быть подведены под понятие числа или под понятие множества, но само наше существование и процесс деятельности доказывают наличие объектов в эмпирическом мире, которые с достаточной точностью оправдывают основные свойства этих понятий. Отсюда следует, что математические объекты реальны также и в том смысле, что в отличие от чистых фикций они обладают гарантированной интерпетацией в мире чувственных объектов.
Праксеологический априоризм, таким образом, отдличается от традиционного тем, что он явлїяется одновременно и реализмом. Связывая исходные математические идеализации с универсальной онтологией праксеологический априоризм оправдывает традиционную веру математиков в непосредственную реальную значимость математисческих объектов и теорий. Но важно подчеркнуть, что такого рода реализм относится только к генетически исходной группе понятий, имеющих онтологическую значимость. К внутренним понятиям математической теории, получаемым на основе логической конструкции, понятия априорности и реальности неприменимы.
Вторая идея Геделя, а именно, идея о некотором аналоге восприятия, раскрывающего мир математических объектов, должна быть отвергнута полностью. Очевидность онтологических структур сознания и связанных с ними первичных представлений математики является продуктом практической ориентации сознания. Эта очевидность является абсолютным фундаментом мышления, она задана сознанию только его функцией и ни в какой мере не может быть истолкована как продукт особой, физиологически обусловленной способности разума, сравнимой с чувственным восприятием.
Основная проблема современной философии математики состоит в том, чтобы прояснить отношение математических понятий к аспектам реальности, составляющим онтологическое основание математического мышления. Мало кто сомневается, что существует некоторое изначальное видение реальности, определяющее структуру исходных математических представлений. Речь идет здесь главным образом об определении истоков и характера этого видения. Задача приведенных соображений состояла в том, чтобы очертить контуры новой философии математики, проистекающей гипотезы деятельностной природы математической онтологии.
1. Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разумении. Сочинения в 4-х томах.
2. Кант И. Критика чистого разума, сс.152-153.
3. Лосский Н.О. Основания интуитивизма. В кн.: Лосский Н.О. Избранное.
4. См.: Кант И. Метафизические начала естествознания. Сочинения в 6-ти томах.
5.Гуссерль Э. Логические иссследдования. Пролегомены к чистой логике. Т1.
6. Пиаже Ж. Понятие числа у ребенка. В кн.: Ж.Пиаже Избранные
7. Godel K. Russells mathematical logic. In: Pears D.F.(ed). Bertrand Russell Collection of critical essays. New York, 1972.
8. Godel K. What is Cantor.s continuum problem? In: Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964.