что такое арифметическая прогрессия и как ее решать

Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике

Григорий Грянников

Тема «прогрессии» на ОГЭ тесно связана с понятием «последовательность». Если ученики понимают, как числа в последовательности связаны друг с другом, они легко справляются с заданиями. Сейчас мы разберем прогрессии — одну из самых коварных тем ОГЭ по математике. Обратите внимание: в этом материале все самое главное для решения ОГЭ, никакой воды!

Что такое последовательность?

В жизни мы очень часто сталкиваемся с математическими последовательностями и прогрессиями, буквально, каждый день, сами того не замечая. Однако встреча не всегда может быть приятной, особенно если она происходит на экзамене.

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Хочешь круто подготовится к ОГЭ? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Какие виды последовательности бывают?

Различают следующие виды последовательности:

Что такое арифметическая прогрессия?

Давайте посмотрим на следующий ряд чисел:

Что же у них может быть общего? Во-первых, все они нечетные, во-вторых, каждое следующее число мы можем получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем это число d. В нашем случае d=2.

Описанная выше последовательность называется арифметической прогрессией. Получаем определение:

Приведем основные формулы:

Сумма первых n членов прогрессии можно вычислить по формуле:

Также арифметическая прогрессия обладает характерным свойством:

Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?

Теория — это прекрасно, но каждую теоретическую тему необходимо закреплять на практике. Сейчас мы разберем пару заданий ОГЭ по арифметической прогрессии.

Например, на ОГЭ может попасться вот такое задание:

Решение:

Ура! Первый прототип задания, который может встретиться на реальном экзамене, успешно выполнен. Идем дальше.

Решение:

Вот и все! Ничего сложного, учитывая то, что формула суммы первых n членов прогрессии есть в справочных материалах, которые выдаются на экзамене.

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии можно задать соотношением:

Вот основные формулы для геометрической прогрессии:

Также геометрическая прогрессия, как и арифметическая, обладает характерным свойством:

Как решать задачи ОГЭ на геометрическую прогрессию?

Закрепим материал на практике и разберем две задачи ОГЭ по геометрической прогрессии.

Как видите, со знанием формул любое задание становится несложным!

В каком задании ОГЭ могут встретиться прогрессии?

Тема «Прогрессия» встречается в задании ОГЭ под номером 12. Выполнение этого задания экзаменуемым зависит от уровня сложности самого задания. В среднем с ним справляется всего 47% школьников. Как видите, сама тема не очень сложная. Все можно решить — достаточно правильно и хорошо подготовиться.

Напомним, что в КИМах с инструкцией и заданиями есть вспомогательные формулы, которые помогут при решении нашей задачи на прогрессию.

Теперь вы знаете теорию по теме прогрессии на ОГЭ. Можете смело оттачивать знания на практике. Пусть ваша встреча с прогрессиями на экзамене будет не печальной, а победной!

Хотите разобраться в других темах ОГЭ? Боитесь, что экзамены уже в следующем году, а вы даже не открывали учебники? Начните готовиться к ОГЭ-2021 уже сейчас на курсах с MAXIMUM. Мы поможем закрыть пробелы и сдать все на отлично. Правильная и интересная подготовка — залог успеха на экзаменах. Консультация бесплатно!

Источник

Арифметическая прогрессия и сумма ее членов

теория по математике 📈 последовательности

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие а_n+1=а_n+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = а_n+1–а_n. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18…. так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁ и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:

Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a₁ – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.

Пример №1. Найти а₂₀ арифметической прогрессии (а_n), если а₁=14, d=5. Составляем формулу для а₂₀ и подставляем в нее данные: а₂₀= a₁ + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.

Найти а₇ арифметической прогрессии (а_n), если а₁=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а₇= a₁ + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.

Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а_12. Здесь для нахождения а₁₂ надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а₁₂: а₁₂= a₁ + d(12−1)=10+2(12−1)=32.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.

Так, например, формула a_n=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a₂₀=5 × 20+1=101.

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:

Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.

Пример №2. Найти а₁₀ арифметической прогрессии (а_n), если а₉=24; а₁₁=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а₁₀ известны соседние члены. Значит, а₁₀=(а₉+а₁₁):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.

Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда а_n не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью

Рассмотрим на примерах применение данных формул.

Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=11, а₅₀=39.

Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а₁=11, а₅₀=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:

Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.

Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:

Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:

Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.

Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. a_n=a₁+d(n – 1). В данном случае a₁₌-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a₇=-6₁-8(7 – 1). Вычислим: a₆=-6-8 ∙ 5=-6-48=-54.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.

2008 г – 38100 человек

2016 г. – 43620 человек

Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:

(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.

Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.

38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а₇=777; в 12-й день – 852 рубля, это а₁₂=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а₂₅.

1 способ:

В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой а_n=a_k+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а₁₂=а₇+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.

Теперь, зная число d, мы можем найти а₂₅ через, например, а₁₂, используя всё ту же формулу. Получаем: а₂₅=а₁₂+d(25-12); а₂₅=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.

2 способ:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а₁=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S₁₁=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а₁₁.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а₁=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.

Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии а_n=a₁+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а₁+а_n=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. S_n=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.

Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.

Итак, имеем а₁=0,2; d=0,2. Ищем а₇. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу а_n=a₁+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а₇=a₁+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Арифметическая прогрессия: что это такое?

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число.

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

Готово! Задача решена.

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

Однако эти равенства можно переписать иначе:

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

\[\begin & f\left( d \right)=11\left( <^<2>>+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11<^<2>>+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end\]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Далее распишем сумму первого, второго и последнего из вставленных чисел:

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

Осталось лишь найти остальные члены:

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

Источник