что такое fft в осциллографе
БПФ (Быстрое преобразование Фурье)
Теория БПФ исходит из предположения о периодическом сигнале и для идеального преобразования необходимо выделить точно один или несколько периодов сигнала, что для реального сигнала сделать точно никогда не удается. Это приводит к разрывности исходной функции к искажению (расширению) расчетного частотного спектра.
Оконная функция БПФ используется для подавления краевых эффектов разрывности реальных функций путем введения весовых коэффициентов для выборки данных в окне, обеспечивающих снижение амплитуд краевых точек (старта и стопа) и, в результате, улучшение результатов БПФ.
На скриншотах ниже приведены различные оконные функции, которые используются в цифровых осциллографах Актаком АСК-5302.
Rectangle (прямоугольник)
Данная оконная функция реализует отличное разрешение по частоте и наихудшее разрешение по амплитуде. Это, по существу, соответствует работе без окна.
Hanning (окно Хеннинга)
Hamming (окно Хэмминга)
При использовании оконной функции Хэмминга появляется лучшее, чем у Hanning разрешение по частоте
Blackman (окно Блэкмана)
В цифровых осциллографах Актаком для удобства визуализации результата БПФ доступны ряд дополнительных средств. Среди них следует отметить:
В цифровых осциллографах режим БПФ может применяться в следующих случаях:
Применение быстрого преобразования Фурьев цифровых запоминающих осциллографах
Оглавление
В статье рассмотрены основы теоретического и практического применения быстрого преобразования Фурье в цифровых запоминающих осциллографах. Приведены экспериментальные данные по оценке метрологических характеристик осциллографа в режиме преобразования Фурье.
Большинство современных цифровых запоминающих осциллографов (ЦЗО) оснащены алгоритмом быстрого преобразования Фурье (БПФ) для проведения анализа сигнала не только во временной, но и в частотной области. Этот алгоритм особенно полезен для пользователей, которым необходимо проводить спектральный анализ, но у которых отсутствуют специализированные приборы типа анализаторов спектра (АС). При этом пользователям надо четко представлять, что ЦЗО является, прежде всего, осциллографом, а не средством измерения частотного спектра, хотя у него и есть такая возможность. Поэтому метрологические характеристики ЦЗО в режиме БПФ не нормируются. Несмотря на это и тот факт, что АС имеют лучший динамический диапазон и меньшие искажения, с помощью БПФ ЦЗО можно получить полезные результаты. Однако, в отличие от АС, получение такого результата во многом будет зависеть от того, насколько хорошо пользователь осведомлен о работе алгоритма БПФ и его режимах, о виде исследуемого сигнала, а также об ограничениях, накладываемых аппаратной и программной частями ЦЗО. Далее в статье рассмотрены теоретические и практические основы применения БПФ в ЦЗО [1,2].
Рассмотрим некоторые свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ), чтобы определить ограничения в использовании БПФ для спектрального анализа. ДПФ представляет собой дискретные отсчеты непрерывного преобразования Фурье (разложение в ряд Фурье). Поскольку разложение в ряд Фурье подразумевает наличие бесконечной во времени функции данных, чего на практике не существует, для ДПФ бесконечная последовательность формируется репликацией данной конечной последовательности. Если начальные и конечные точки последовательности не согласованы, то полученная функция бесконечной последовательности будет иметь разрывы первого рода. Такой разрыв во временной области приводит к эффекту спектральногопролезания в частотной области, проявляющемуся в виде растягивания четких спектральных линий в широкую полосу. Данный эффект может привести к потере полезного сигнала, который будет скрыт широкой спектральной полосой другого сигнала.
БПФ является алгоритмом для вычисления ДПФ, который позволяет сократить количество математических операций и соответственно время вычисления по сравнению с непосредственным расчетом ДПФ. Существует несколько подвидов алгоритма БПФ. Не останавливаясь на их подробном описании, выделим важные для практического применения особенности
В ЦЗО алгоритм БПФ применяется только для тех точек, отображающих входной сигнал, которые находятся на экране осциллографа. Количество захваченных точек может не быть точно равно 2N, поэтому для работы алгоритма БПФ последовательность либо укорачивается до нужного числа точек, либо в конец последовательности добавляются нули для достижения нужного числа точек. Как следует из формулы (1), увеличение точек для БПФ увеличивает разрешение по частоте. Но добавление нулей хотя и не изменяет форму сигнала во временной области, может вызвать эффект искажения его спектра. Для предотвращения этого эффекта, а также спектрального пролезания применяют так называемые функции окна.
Рис. 1. Схема измерений для определения параметров БПФ ЦЗО
Примерным объяснением функции окна может являться аналогия с пропускающим фильтром АС. Исходя из этого, функция окна будет выделять спектральные линии из шумов и уменьшать ширину спектральных линий. Однако надо иметь в виду, что применение окон вносит изменения в полученный набор точек для БПФ и может привести к искажению спектра сигнала. Например, такие искажения могут появиться, если сигнал расположен не в центре экрана ЦЗО [3].
Вид функции окна определяет получаемые характеристики эквивалентного фильтра: ширину полосы пропускания, неравномерность амплитуды в полосе пропускания и уровень подавления помех относительно полезного сигнала. Поскольку идеальных фильтров не бывает, в БПФ используются различные виды окон. Рассмотрим две основные функции окна: прямоугольного (не вносит никаких изменений в сигнал) и плоского окна. Прямоугольное окно обеспечивает самую узкую полосу пропускания, равную разрешению по частоте (1), но характеризуется уровнем подавления помех относительно несущей около 13 дБ и может привести к ошибке в измерении амплитуды сигнала из-за применения окна до 4 дБ. Плоское окно имеет следующие характеристики: полоса пропускания ±4B?F (таким образом, для получения такого же эффективного разрешения по частоте, как у прямоугольного окна, для БПФ требуется в 8 раз больше точек), уровень подавления помех относительно несущей более 70 дБ и погрешность измерения амплитуды из-за применения окна не более 0,1 дБ. Соответственно, первое окно можно применять для частотных измерений, а второе — для амплитудных.
Динамический диапазон БПФ ЦЗО, кроме применяемых функций окна, ограничен разрешением аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) и вносимыми им искажениями, внутренними шумами прибора, а также неравномерностью амплитудо-частотной характеристики осциллографа. Обычно динамический диапазон для БПФ ЦЗО с 8-разрядными АЦП составляет не менее 50 дБ и может быть увеличен еще на 20 дБ при помощи усреднения сигнала во временной области.
Все изложенное относится к ЦЗО, работающим в режиме реального времени. Для исследования спектра периодических сигналов может применяться режим эквивалентной дискретизации. Но его применение не улучшает работу БПФ, так как по (1) увеличение частоты дискретизации снижает разрешение по частоте.
Теперь рассмотрим результаты практического использования БПФ и оценим полученные при этом погрешности на примере трех осциллографов: ЦЗО среднего уровня с малой памятью (TDS3032: полоса пропускания 300 МГц, память 10 КБ, частота дискретизации выбирается автоматически в зависимости от установленного коэффициента развертки, Fs,max = 5 ГГц) и с большой памятью (WS454: полоса пропускания 500 МГц, память 2 МБ, частота дискретизации выбирается автоматически в зависимости от установленного коэффициента развертки, Fs,max = 2 ГГц), а также ЦЗО класса «high-end» (WavePro7100: полоса пропускания 1 ГГц, память 48 МБ, частота дискретизации может устанавливаться пользователем, Fs,max = 20 ГГц). Все измерения проводились с использованием средств измерений по схеме, приведенной на рис. 1.
Подадим на TDS3032 синусоидальный сигнал с частотой 70 МГц; после запуска БПФ отображаются спектральные линии, соответствующие несущей и гармоникам (рис. 2). Курсорные измерения показывают частоту несущей и ее уровень. Однако, уже при подаче сложного сигнала, например амплитудно-модулированного (АМ) синусоидального сигнала с несущей частотой 100 МГц, частотой модуляции синусоидальным сигналом 1 кГц и коэффициентом модуляции 70%, на спектрограмме БПФ отсутствует характерный спектр АМ-сигнала (рис. 3). Данный факт легко объясняется формулой (1), при малом объеме памяти 10 КБ и частоте дискретизации 5 ГГц разрешение по частоте БПФ значительно превышает 1 кГц, что не позволяет различить на фоне спектральной линии несущей частоту модулирующего колебания. Таким образом, БПФ в осциллографах начального, а иногда и среднего уровня с малой памятью не позволяет проводить какие-либо достоверные измерения и является программным дополнением, годящимся лишь для оценочного наблюдения спектра простейших сигналов.
Рис. 2. Синусоидальный сигнал в режимах осциллографа и БПФ для ЦЗО среднего уровня с малой памятью
Рис. 3. Амплитудно-модулированный сигнал в режимах осциллографа и БПФ для ЦЗО среднего уровня с малой памятью
Рис. 4. Синусоидальный сигнал в режиме осциллографа и БПФ для ЦЗО среднего уровня с памятью 2 МБ
Проведем аналогичный опыт с ЦЗО WS454. На экране прибора присутствует информация об установленной частоте дискретизации и количестве точек на экране. Изменяя коэффициент развертки, задействуем максимальную память осциллографа при минимально возможной для данного эксперимента частоте дискретизации. В случае с синусоидальным сигналом частотой 70 МГц частота дискретизации должна быть более чем в два раза больше частоты третьей гармоники сигнала (210 МГц), то есть больше чем 420 МГц. В случае АМ-сигнала с частотой 100 МГц частота дискретизации должна быть больше 200 МГц. Поскольку непосредственное управление частотой дискретизации в WS454 отсутствует, требования по памяти и Fs выполняются при установке коэффициента развертки в положение 500 мкс/дел (тогда на экране отображается 2 МБ точек с Fs = 500 МГц). При соседних коэффициентах развертки Fs составляет 200 МГц или 1 ГГц, что либо меньше требуемого, либо много больше требуемого. Существенно увеличивать Fs не нужно, ибо это приведет к ухудшению разрешения по частоте БПФ. Полученные после запуска БПФ для случаев синусоидального и АМ-сигналов спектрограммы приведены на рис. 4 и 5. Для синусоидального сигнала выбрано плоское окно, на спектрограмме видны несущая и гармоники сигнала, можно провести частотные и амплитудные измерения. Для АМ-сигнала выбрано прямоугольное окно, обеспечивающее максимальное разрешение по частоте. Однако на спектрограмме видно, что хотя спектральная составляющая модулирующего колебания 1 кГц различима на фоне несущей, для проведения измерений этого не достаточно: амплитудные измерения нельзя провести из-за формы окна, а частотные — по причине малого разрешения по частоте БПФ (±250 Гц). Таким образом, даже относительно большой объем памяти в ЦЗО не всегда позволяет провести эффективные измерения в режиме БПФ для сложных сигналов.
Таблица 1. Результаты измерений параметров синусоидального сигнала
Понимание алгоритма БПФ
Здравствуйте, друзья. Уже завтра стартует курс «Алгоритмы для разработчиков», а у нас остался один неопубликованный перевод. Собственно исправляемся и делимся с вами материалом. Поехали.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ — англ. FFT) является одним из важнейших алгоритмов обработки сигналов и анализа данных. Я пользовался им годами, не имея формальных знаний в области компьютерных наук. Но на этой неделе мне пришло в голову, что я никогда не задавался вопросом, как БПФ так быстро вычисляет дискретное преобразование Фурье. Я стряхнул пыль со старой книги по алгоритмам, открыл ее, и с удовольствием прочитал об обманчиво простой вычислительной уловке, которую Дж. В. Кули и Джон Тьюки описали в своей классической работе 1965 года, посвященной этой теме.
Цель этого поста — окунуться в алгоритм БПФ Кули-Тьюки, объясняя симметрии, которые к нему приводят, и показать несколько простых реализаций на Python, применяющих теорию на практике. Я надеюсь, что это исследование даст специалистам по анализу данных, таким как я, более полную картину того, что происходит под капотом используемых нами алгоритмов.
Дискретное преобразование Фурье
БПФ — это быстрый алгоритм для вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое напрямую вычисляется за . ДПФ, как и более знакомая непрерывная версия преобразования Фурье, имеет прямую и обратную форму, которые определяются следующим образом:
Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ):
Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):
Преобразование из xn → Xk является переводом из конфигурационного пространства в пространство частотное и может быть очень полезным как для исследования спектра мощности сигнала, так и для преобразования определенных задач для более эффективного вычисления. Некоторые примеры этого в действии вы можете найти в главе 10 нашей будущей книги по астрономии и статистике, где также можно найти изображения и исходный код на Python. Пример использования БПФ для упрощения интегрирования сложных в противном случае дифференциальных уравнений смотрите в моем посте «Решение уравнения Шредингера в Python».
Из-за важности БПФ (далее может быть использовано равносильное FFT — Fast Fourier Transform) во многих областях Python содержит множество стандартных инструментов и оболочек для его вычисления. И NumPy, и SciPy имеют оболочки из чрезвычайно хорошо протестированной библиотеки FFTPACK, которые находятся в подмодулях numpy.fft и scipy.fftpack соответственно. Самый быстрый БПФ, о котором я знаю, находится в пакете FFTW, который также доступен в Python через пакет PyFFTW.
На данный момент, однако, давайте оставим эти реализации в стороне и зададимся вопросом, как мы можем вычислить БПФ в Python с нуля.
Вычисление дискретного преобразования Фурье
Для простоты мы будем касаться только прямого преобразования, поскольку обратное преобразование может быть реализовано очень похожим образом. Взглянув на приведенное выше выражение ДПФ (DFT), мы видим, что это не более чем прямолинейная линейная операция: умножение матрицы на вектор
с матрицей М, заданной
Имея это в виду, мы можем вычислить ДПФ с использованием простого умножения матрицы следующим образом:
Мы можем перепроверить результат, сравнив его со встроенной в numpy БПФ-функцией:
Просто чтобы подтвердить медлительность нашего алгоритма, мы можем сравнить время выполнения этих двух подходов:
Мы более чем в 1000 раз медленнее, что и следовало ожидать для такой упрощенной реализации. Но это не самое худшее. Для входного вектора длины N алгоритм БПФ масштабируется как , в то время как наш медленный алгоритм масштабируется как . Это означает, что для элементов мы ожидаем, что БПФ завершится за где-то около 50 мс, в то время как наш медленный алгоритм займет около 20 часов!
Так как же БПФ добивается такого ускорения? Ответ заключается в использовании симметрии.
Симметрии в дискретном преобразовании Фурье
Одним из наиболее важных инструментов в построении алгоритмов является использование симметрий задачи. Если вы можете аналитически показать, что одна часть проблемы просто связана с другой, вы можете вычислить подрезультат только один раз и сэкономить эти вычислительные затраты. Кули и Тьюки использовали именно этот подход при получении БПФ.
Мы начнем с вопроса о значении . Из нашего выражения выше:
где мы использовали тождество exp [2π i n] = 1, которое выполняется для любого целого числа n.
Последняя строка хорошо показывает свойство симметрии ДПФ:
для любого целого числа i. Как мы увидим ниже, эту симметрию можно использовать для гораздо более быстрого вычисления ДПФ.
ДПФ в БПФ: использование симметрии
Кули и Тьюки показали, что можно разделить вычисления БПФ на две меньшие части. Из определения ДПФ имеем:
Мы разделили одно дискретное преобразование Фурье на два слагаемых, которые сами по себе очень похожи на меньшие дискретные преобразования Фурье, одно на значения с нечетным номером и одно на значения с четным номером. Однако до сих пор мы не сохранили никаких вычислительных циклов. Каждый член состоит из (N / 2) ∗ N вычислений, всего .
Хитрость заключается в использовании симметрии в каждом из этих условий. Поскольку диапазон k равен 0≤k True
Сопоставим этот алгоритм с нашей медленной версией:
-In [6]:
Наш расчет быстрее чем прямая версия на порядок! Более того, наш рекурсивный алгоритм асимптотически : мы реализовали быстрое преобразование Фурье.
Обратите внимание, что мы все еще не приблизились к скорости встроенного алгоритма FFT в numpy, и этого следовало ожидать. Алгоритм FFTPACK, стоящий за fft numpy, — это реализация на Фортране, которая получила годы доработок и оптимизаций. Кроме того, наше решение NumPy включает в себя как рекурсию стека Python, так и выделение множества временных массивов, что увеличивает время вычислений.
Хорошая стратегия для ускорения кода при работе с Python / NumPy — по возможности векторизовать повторяющиеся вычисления. Это мы можем сделать — в процессе удалять наши рекурсивные вызовы функций, что сделает наш Python FFT еще более эффективным.
Обратите внимание, что в вышеупомянутой рекурсивной реализации FFT на самом низком уровне рекурсии мы выполняем N / 32 идентичных матрично-векторных произведений. Эффективность нашего алгоритма выиграет, если одновременно вычислить эти матрично-векторные произведения как единое матрично-матричное произведение. На каждом последующем уровне рекурсии мы также выполняем повторяющиеся операции, которые можно векторизовать. NumPy отлично справляется с такой операцией, и мы можем использовать этот факт для создания этой векторизованной версии быстрого преобразования Фурье:
Хотя алгоритм немного более непрозрачен, это просто перестановка операций, используемых в рекурсивной версии, с одним исключением: мы используем симметрию в вычислении коэффициентов и строим только половину массива. Опять же, мы подтверждаем, что наша функция дает правильный результат:
Поскольку наши алгоритмы становятся намного более эффективными, мы можем использовать больший массив для сравнения времени, оставляя DFT_slow :
In [9]:
Мы улучшили нашу реализацию еще на порядок! Сейчас мы находимся на расстоянии примерно в 10 раз от эталона FFTPACK, используя всего пару десятков строк чистого Python + NumPy. Хотя это все еще не соответствует в вычислительном отношении, с точки зрения читаемости версия Python намного превосходит исходный код FFTPACK, который вы можете просмотреть здесь.
Итак, как FFTPACK достигает этого последнего ускорения? Ну, в основном, это просто вопрос детальной бухгалтерии. FFTPACK тратит много времени на повторное использование любых промежуточных вычислений, которые можно использовать повторно. Наша клочковатая версия все еще включает в себя избыток выделения памяти и копирования; на низкоуровневом языке, таком как Fortran, легче контролировать и минимизировать использование памяти. Кроме того, алгоритм Кули-Тьюки можно расширить, чтобы использовать разбиения размером, отличным от 2 (то, что мы здесь реализовали, известно как БПФ Кули-Тьюки радикса по основе 2). Также могут быть использованы другие более сложные алгоритмы БПФ, в том числе принципиально отличные подходы, основанные на сверточных данных (см., Например, алгоритм Блюштейна и алгоритм Рейдера). Комбинация вышеупомянутых расширений и методов может привести к очень быстрым БПФ даже на массивах, размер которых не является степенью двойки.
Хотя функции на чистом Python, вероятно, бесполезны на практике, я надеюсь, что они преподнесли некоторую интуицию в том, что происходит на фоне анализа данных на основе FFT. Как специалисты по данным, мы можем справиться с реализацией «черного ящика» фундаментальных инструментов, созданных нашими более алгоритмически настроенными коллегами, но я твердо убежден, что чем больше у нас понимания о алгоритмах низкого уровня, которые мы применяем к нашим данным, тем лучшими практиками мы будем.
Этот пост был полностью написан в блокноте IPython. Полный блокнот можно скачать здесь или посмотреть статически здесь.
Многие могут заметить, что материал далеко не новый, но, как нам кажется, вполне актуальный. В общем пишите была ли статья полезной. Ждём ваши комментарии.
Что такое fft в осциллографе
Здравствуйте. Я прочитал эту статью http://radiokot.ru/lab/otk/kotodromyxlo/02/ и еще много разных статеек на гугле, + посмотрел видео на ютюбе, и все же несколько вопросов осталось.
1. Что такое FFT осциллографа и когда он бывает нужен?
2. Что такое LA логический анализатор и когда он бывает нужен?
Приведите пожалуйста жизненные примеры, объясните на пальцах.
3. Какие частотные полосы нужны и для каких целей?
Например для шим простого блока питания вряд ли нужна полоса больше 200кГц, значит 25МГц осциллографа хватит с головой.
А для настройки радио(приемник передатчик) нужно больше 100МГц т.к. FM диапазон 88-108МГц, А для ТВ еще больше полоса пропускания должна быть?
4. Что такое внешний канал осциллографа, 2+1 это три полноценных канала?
_________________
Я живу в Израиле, советские компоненты мне не доступны, пожалуйста, советуйте что-нибудь импортное.
Не флуди! Пиши по теме.
coredumped  | ||||
Карма: 3 |
| |||
| ||||
| ploop | ||||
Карма: 68 |
| |||
| ||||
| Света | ||||
Карма: 160 |
| |||
| ||||
| SmarTrunk | |||
Карма: 27 |
| ||
| |||
| TTT355 | |||
Зарегистрирован: Ср сен 07, 2011 07:53:20 |
| ||
| |||
| VT1 | ||||
Карма: 29 |
| |||
| ||||
| ploop | ||||
Карма: 68 |
| |||
| ||||
