что такое frac в математике
Обратная пропорциональность. Гипербола
Сейчас мы будем говорить об обратной пропорциональности, или другими словами об обратной зависимости, как о функции.
Мы закрепим понятие функции и научимся работать с коэффициентами и графиками.
А еще мы разберем несколько примеров построения графика функции — гиперболы.
Обратная пропорциональность — коротко о главном
Определение:
Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида \( \displaystyle y=\frac
+b \), где \( k\ne 0\), \( x\ne 0\) и \( x\ne а\)
По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.
Область определения и область значений функции:
График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.
Коэффициент \( \displaystyle k\)
\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).
Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график:
если \( \displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \( \displaystyle I\) и \( \displaystyle III\) четвертях;
если \( \displaystyle k
Коэффициент \( \displaystyle a\)
Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что \( \displaystyle a\) – это такое число, которому не может равняться \( \displaystyle x\).
То есть \( x=a\) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции
Коэффициент \( b\)
Число \( b\) отвечает за смещение графика функции вверх на величину \( b\), если \( b>0\), и смещение вниз, если \( b
Пример 2
Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).
Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: \( \displaystyle <
Я найду их устно с помощью теоремы Виета: \( \displaystyle <
Итак, получаем: \( \displaystyle <
Пример 3
Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?
Наверняка в том, что в числителе у нас \( \displaystyle 2x\), а в знаменателе – просто \( \displaystyle x\).
Это не беда. Нам нужно будет сократить на \( \displaystyle \left( x+2 \right)\), поэтому в числителе следует вынести \( \displaystyle 2\) за скобки (чтобы в скобках \( \displaystyle x\) получился уже без коэффициента):
Ответ: \( \displaystyle y=2-\frac<5>
График обратной пропорциональности
Как всегда, начнем с самого простого случая: \( \displaystyle y=\frac<1>
Таблица обратной пропорциональности (зависимости)
Нарисуем точки на координатной плоскости:
Теперь их надо плавно соединить, но как?
Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.
Это график гиперболы и выглядит он так:
Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.
Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям \( \displaystyle Ox\) и \( \displaystyle Oy\), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:
Оно и понятно: так как \( \displaystyle x\ne 0\), график не может пересекать ось \( \displaystyle Oy\). Но и \( \displaystyle y\ne 0\), так что график никогда не коснется и оси \( \displaystyle Ox\).
Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.
На что влияют коэффициенты
Рассмотрим такие функции:
Ух ты, какая красота!
Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.
Итак, на что обратим внимание в первую очередь?
Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси \( \displaystyle Ox\).
Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.
А что, если функция выглядит сложнее, например, \( \displaystyle y=\frac<1>
В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная \( \displaystyle y=\frac<1>
Чему теперь не может быть равен \( x\)? Правильно, \( x\ne 1\). Значит, график никогда не достигнет прямой \( x=1\).
А чему не может быть равен \( y\)? Теперь \( y\ne 2\). Значит, теперь график будет стремиться к прямой \( y=2\), но никогда ее не пересечет.
Итак, теперь прямые \( x=1\) и \( y=2\) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции \( \displaystyle y=\frac<1>
Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):
Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.
А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.
Примеры
1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac
2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac
3. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>
4. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>
5. На рисунке приведены графики функций \( \displaystyle y=\frac
Что такое frac в математике
Смотреть что такое «frac» в других словарях:
frac — frac … Dictionnaire des rimes
frac — [ frak ] n. m. • 1767; probablt de l angl. frock, lui même du fr. froc ♦ Habit masculin de cérémonie, noir, à basques en queue de morue. ⇒ habit, 1. queue (queue de pie). ● frac nom masculin (anglais frock, de l ancien français froc) Synonyme… … Encyclopédie Universelle
Frac — Saltar a navegación, búsqueda El frac es un traje masculino de tipo formal que constituye el tipo de vestuario masculino más elegante para la noche, para el día (hasta las 19:00 aproximadamente) se luce chaqué. Sólo el traje nacional tiene la… … Wikipedia Español
frac — FRAC, fracuri, s.n. Haină bărbătească de ceremonie din stofă neagră, în faţă scurtă până la talie, iar în spate terminată cu două cozi lungi şi înguste. – Din fr. frac. Trimis de zaraza joe, 01.04.2008. Sursa: DEX 98 frac s. n., pl. frácuri… … Dicționar Român
Frac — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. En mode, le frac est une variante de la queue de pie En arts, FRAC est un acronyme pour désigner un fonds régional d art contemporain Ce document provient … Wikipédia en Français
frac — s.m.inv. ES fr. <
frac — (plural fraques) sustantivo masculino 1. Chaqueta masculina de etiqueta que por delante llega hasta la cintura y por detrás se prolonga en dos faldones: Era indispensable llevar frac para asistir a la recepción. Con aquel frac parecía un pingüino … Diccionario Salamanca de la Lengua Española
Frac — may refer to:* Fractional part, a mathematical function * In geology, a frac refers to fractures in a rock formation; see Fracture (geology) for natural fractures, or Hydraulic fracture for artificially created fracturesee also* Frak… … Wikipedia
frac — Voz tomada del francés frac, introducida en español a finales del siglo xviii, que designa cierto traje masculino de ceremonia. Muy pronto se puso en circulación la variante fraque, mejor adaptada al español, pero cuyo uso ha sido siempre… … Diccionario panhispánico de dudas
frac — (Del fr. frac). m. Vestidura de hombre, que por delante llega hasta la cintura y por detrás tiene dos faldones más o menos anchos y largos … Diccionario de la lengua española
frac — Mot Monosíl·lab Nom masculí … Diccionari Català-Català
Площади геометрических фигур: список формул, описание, примеры
Содержание:
Для решения практических задач иногда приходится вычислять площади геометрических фигур. Они, например, нужны при измерениях земельных участков, поверхностей при проведении ремонтных и строительных работ. Рассмотрим, что такое площадь геометрической фигуры, по каким формулам она определяется в разных ситуациях.
Площади всех фигур в геометрии
Площадью называют численную характеристику поверхности, которая показывает сколько квадратов с размером 1 × 1 занимает объект на плоскости. Изменяется в квадратных единицах – метрах, сантиметрах, километрах и т. д.
Для нарисованного по клеточкам четырёхугольника с прямыми углами это делается простым подсчётом с перемножением полученных значений. Для квадрата на примере это 100 см2: 10 × 10 см.
В математике насчитывается менее десятка фигур – замкнутых множеств, сформированных точками, площадь которых можно вычислить. Общий принцип расчётов сформирован благодаря интегральному счислению.
Формулы площадей фигур по геометрии
Если известен диаметр – четверти его квадрата на π.
Кольцо круга: разница между площадями кольца и круга.
Четырёхугольники
Квадрат: размеры сторон перемножаются.
Также площадь вычисляется как половина квадрата диагонали.
Прямоугольник: произведение соседних сторон – длины на ширину.
Параллелограмм: умножение длины стороны на опущенную к ней высоту.
Вторая формула применяется, когда известны длины сторон с углом между ними – произведение сторон на sin угла, под которым они пересекаются.
Ромб – параллелограмм с равными сторонами. Если известна сторона, площадь ромба вычисляется как произведение sin угла между сторонами на их длину в квадрате.
Если в задании даны длины диагоналей, площадь определяется как половина их произведения.
При наличии одной диагонали (полудиагонали) и стороны, неизвестные данные вычисляются по теореме Пифагора.
Трапеция: полусумма длин верхнего и нижнего оснований на высоту геометрической фигуры.
Когда даны средняя линия и высота, площадь находят путём перемножения их значений.
Выпуклый четырёхугольник: половина длины диагоналей, перемноженная на sin угла, который они образуют.
Вписанный в окружность 4-угольник: площадь вычисляется как корень квадратный из произведения разности периметра на длину каждой стороны.
В случае с прямоугольником, квадратом формула упрощается.
Треугольники
Половины стороны на проведённую к ней высоту.
Пары любых сторон на sin образуемого ими угла:
Квадрата полупериметра геометрической фигуры на тангенсы половин углов.
S = p 2 * tgα/2 * tgβ/2 * tgγ/2.
Корню квадратному произведения разницы полупериметров и сторон.
Квадрата длины стороны на синусы смежных углов, разделённому на удвоенный синус третьего, противоположного ей угла.
При известной высоте: отношению её произведения на синус угла, откуда та опущена, к двойному произведению синусов остальных углов.
Для прямоугольного 3-угольника, по сути, половины прямоугольника, применимо выражение:
Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования
Для тех, кто подзабыл матешу
Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.
Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.
Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.
Знак Σ — сумма
Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:
Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.
На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:
Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».
Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:
Произведение П
С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:
А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:
Что дальше
Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.
Что такое frac в математике
Смотреть что такое «FRAC» в других словарях:
frac — frac … Dictionnaire des rimes
frac — [ frak ] n. m. • 1767; probablt de l angl. frock, lui même du fr. froc ♦ Habit masculin de cérémonie, noir, à basques en queue de morue. ⇒ habit, 1. queue (queue de pie). ● frac nom masculin (anglais frock, de l ancien français froc) Synonyme… … Encyclopédie Universelle
Frac — Saltar a navegación, búsqueda El frac es un traje masculino de tipo formal que constituye el tipo de vestuario masculino más elegante para la noche, para el día (hasta las 19:00 aproximadamente) se luce chaqué. Sólo el traje nacional tiene la… … Wikipedia Español
frac — FRAC, fracuri, s.n. Haină bărbătească de ceremonie din stofă neagră, în faţă scurtă până la talie, iar în spate terminată cu două cozi lungi şi înguste. – Din fr. frac. Trimis de zaraza joe, 01.04.2008. Sursa: DEX 98 frac s. n., pl. frácuri… … Dicționar Român
Frac — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. En mode, le frac est une variante de la queue de pie En arts, FRAC est un acronyme pour désigner un fonds régional d art contemporain Ce document provient … Wikipédia en Français
frac — s.m.inv. ES fr. <
frac — (plural fraques) sustantivo masculino 1. Chaqueta masculina de etiqueta que por delante llega hasta la cintura y por detrás se prolonga en dos faldones: Era indispensable llevar frac para asistir a la recepción. Con aquel frac parecía un pingüino … Diccionario Salamanca de la Lengua Española
Frac — may refer to:* Fractional part, a mathematical function * In geology, a frac refers to fractures in a rock formation; see Fracture (geology) for natural fractures, or Hydraulic fracture for artificially created fracturesee also* Frak… … Wikipedia
frac — Voz tomada del francés frac, introducida en español a finales del siglo xviii, que designa cierto traje masculino de ceremonia. Muy pronto se puso en circulación la variante fraque, mejor adaptada al español, pero cuyo uso ha sido siempre… … Diccionario panhispánico de dudas
frac — (Del fr. frac). m. Vestidura de hombre, que por delante llega hasta la cintura y por detrás tiene dos faldones más o menos anchos y largos … Diccionario de la lengua española
frac — Mot Monosíl·lab Nom masculí … Diccionari Català-Català