что такое inv в математике
Документация
Синтаксис
Описание
x = A\b вычисляется по-другому, чем x = inv(A)*b и рекомендуется для решения систем линейных уравнений.
Примеры
Обратная матрица
Вычислить обращение матрицы 3х3.
Решение линейной системы
Найдите абсолютную погрешность и остаточную ошибку вычисления.
Вычисление обратной косой чертой быстрее и имеет на несколько порядков меньшую ошибку. Факт, что err_inv и err_bs находятся оба порядка 1e-6 просто отражает число обусловленности матрицы.
Входные параметры
X — Введите матрицу
квадратная матрица
Введите матрицу в виде квадратной матрицы. Если X плохо масштабируется или почти сингулярный, затем inv вычисление теряет числовую точность. Использование rcond или cond проверять число обусловленности матрицы.
Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да
Больше о
Обращение матриц
Матрица, которая не имеет обратной, сингулярна. Квадратная матрица сингулярна только, когда ее определитель в точности равен нулю.
Советы
Алгоритмы
Расширенные возможности
Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.
Указания и ограничения по применению:
Сингулярные матричные входные параметры могут произвести неличные значения, которые отличаются от MATLAB ® результаты.
Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.
Массивы графического процессора
Ускорьте код путем работы графического процессора (GPU) с помощью Parallel Computing Toolbox™.
MATLAB inv функционируйте распечатывает предупреждение если X плохо масштабируется или почти сингулярный. gpuArray inv не может проверять на это условие. Примите меры, чтобы избежать этого условия.
Распределенные массивы
Большие массивы раздела через объединенную память о вашем кластере с помощью Parallel Computing Toolbox™.
Указания и ограничения по применению:
Смотрите также
Открытый пример
У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?
Документация MATLAB
Поддержка
© 1994-2021 The MathWorks, Inc.
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.
Инволюта угла
Вычисление инволюты угла и нахождение угла по заданной инволюте.
Поступила вот просьба сделать калькулятор для расчета цилиндрических шестерён — Техника,машиностроение.
Погружаясь в тему шестерён и их расчетов, встретил понятие инволюта, а потом — эвольвента. Показалось занятным и заслуживающим отдельных калькуляторов. Калькуляторы смотри ниже — первый рассчитывает инволюту, два следующих по заданной инволюте находят угол. Интересующимся — текст про инволюту после калькуляторов.
Инволюта угла
Нахождение угла по инволюте методом Ласкина
Нахождение угла по инволюте методом Ченга
Так вот, в дифференциальной геометрии кривых эвольвента — это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой (см. Эвольвента в Википедии).
Поскольку сразу осознать сказанное выше сложно, перескажу своими словами более образное определение, данное в английской версии статьи (см. Involute on Wikipedia).
Итак, представим себе катушку ниток, где свободный край нити лежит на катушке. Если взять этот край и начать разматывать нить, все время держа ее натянутой, край нити опишет некую кривую, которая и будет эвольвентой, причем эвольвентой окружности (катушка суть исходная кривая, представляющая собой окружность).
Рисунок ниже изображает эвольвенту окружности (Источник — Википедия). Красная линия — исходная кривая (окружность), черная — натянутая нить, зеленая — траектория конца нити, кривая, называемая эвольвентой окружности.
Думаю, что такое эвольвента, стало более менее ясно после картинки сверху. Теперь разберемся, что это за функция такая.
В этом нам поможет рисунок, который я нарисовал
На рисунке отрезок равен дуге (потому что эта наша «нить»). Угол «фи», соответствующий дуге называется углом развернутости эвольвенты, и состоит суммы угла «тета» (эвольвентного угла) и угла «альфа» (угла давления). Длина дуги
Поскольку — прямоугольный треугольник, то
Вот эта-то функция — и называется инволютой, или эвольвентной функцией.
Уравнения эвольвентной кривой в полярных координатах выглядят так
По построению видно, что угол «альфа» может меняться от 0 до 90, не включая 90, так как в таком случае прямая KK будет параллельна MxN.
Зачем это все? Эвольвента окружности используется в эвольвентном зацеплении — зубчатом зацеплении, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности. При эвольвентном зацеплении общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев всегда совпадает с общей касательной к основным окружностям. Эта касательная называется линией зацепления, так как по ней перемещается точка касания зубьев при движении колёс (картинка). Это наиболее распространенный вид зубчатого зацепления.
А инволюта используется в расчетах, связанных с эвольвентным зацеплением. Причем возникает задача как расчета самой инволюты (что просто), так и обратная задача — нахождение угла давления по его инволюте. Вот обратная задача является не такой простой, ибо уравнение является трансцендентным уравнением, и решить его можно только численными методами.
В завершение рассмотрим численные методы, использованные в калькуляторах выше — метод Ласкина и метод Ченга (подробнее — здесь)
Метод Ласкина (Laskin)
Основан на методе Ньютона, заключающемся в итерационной процедуре вычисления
Ноу-хау, как я понимаю, здесь в выборе начального значения, которое по методу Ласкина вычисляется как
, где I — заданное значение инволюты.
Для вычисления следующих приближений после раскрытия производной получается выражение
В калькуляторе используется пять итераций, но уже четыре должны давать точность до шести знаков после запятой. Метод работает для значений инволюты в диапазоне от 0 до 1, то есть можно находить углы от 0 до 64.87 градусов. На практике этого хватает. Для нахождения инволюты выпускаются таблицы, подобные таблицам тригонометрических функций, так вот там приводимый диапазон углов от 0 до 60.
Метод Ченга (Cheng)
Основан на нахождении приближенного значения с помощью асимптотических кривых. Ченг вывел следующую формулу:
Метод работает для значения инволюты строго меньших 1.8, то есть может находить углы примерно до 71.87 градуса. А дальше оно и не надо — при приближении к 90 тангенс стремится к бесконечности, со всеми вытекающими отсюда последствиями, и, в общем, ну не бывает зубчатых передач с такими большими углами.
Обращение матриц — функции inv, pinv
Обращение матриц — одна из наиболее распространенных операций матричного анализа. Обратной называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу X. Таким образом, Х^-1=Е/Х. Следующие функции обеспечивают реализацию данной операции:
inv(X) — возвращает матрицу, обратную квадратной матрице X. Предупреждающее сообщение выдается, если X плохо масштабирована или близка к вырожденной.
-2.04081.4228 1.5538 1.3730
На практике вычисление явной обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще операцию обращения применяют при решении системы линейных уравнений вида Ах=b. Один из путей решения этой системы — вычисление x=inv(A)*b. Но лучшим с точки зрения минимизации времени расчета и повышения точности вычислений является использование оператора матричного деления х=А\b. Эта операция использует метод исключения Гаусса без явного формирования обратной матрицы.
В = pinv(A) — возвращает матрицу, псевдообратную матрице А (псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу). Результатом псевдообращения матрицы по Муру-Пенроузу является матрица В того же размера, что и А’, и удовлетворяющая условиям А*В*А=А и В*А*В=В. Вычисление основано на использовании функции svd(A) и приравнивании к нулю всех сингулярных чисел, меньших величины tol;
В = pinv (A. tol) — возвращает псевдообратную матрицу и отменяет заданный по умолчанию порог, равный max(size(A))*norm(A)*eps.
Инженерный калькулятор онлайн с самыми точными расчетами!
Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.
Только корректные расчеты по всем правилам математики!
В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.
Всё для вашего удобства:
Содержание справки:
Комплекс операций инженерного калькулятора
Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.
Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.
Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.
Ввод цифр производится в двух вариантах:
Инструкция по функциям инженерного калькулятора
Как пользоваться MR MC M+ M- MS
Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах
Как возвести в степень
Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:
12 [x y ] 3 [=]
12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=]
Как найти корень кубический
Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:
729 [3√x] [=]
729, [ 3 √x] «кубический корень из икс», равенства [=]
Как найти корень на калькуляторе
Задача: Найти квадратный корень 36.
Решение: всё просто, нажимаем так:
36 [ y √x] 2 [=]
36, [ y √x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]
При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.
Как возвести в квадрат
Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:
[x y ] «икс в степени игрик», [X 2 ] «икс в квадрате»
Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».
Например: 45 [x y ] 6 [=]
Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625
Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами.
1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.
Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:
В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:
90 [sin] [=]
Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:
60 [cos] [=]
Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.
Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе
[Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».
Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:
35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666
Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453
Десятичный логарифм онлайн
Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:
1 [log] [=]
Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:
100 [log] [=]
Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln].
Как пользоваться памятью на калькуляторе
Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.
Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.
MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.
Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:
145 [MR]
После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:
На экране отобразится снова 145.
Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60.
Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.
Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!
Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике
(и в программировании)
Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали.
Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него.
Но сначала: что такое функция
Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них.
Функцию можно представить как «коробку с математикой». У тебя есть какая-то масса математических операций, ты их «запаковываешь» в функцию. Теперь ты можешь эту массу операций вызывать в своих математических выражениях одним действием.
У функции есть один или несколько аргументов — это те числа, к которым нужно применить массу математических операций. Можно представим, что мы засунули это число в коробку с математикой, потрясли и получили на выходе другое число.
Если посчитать f(x) для одного числа, получится другое число. Если посчитать f(x) от 100 чисел, получится 100 других чисел. А если непрерывно считать f(x) для бесконечного количества чисел, то получится бесконечное количество других чисел.
Что такое интеграл
Итак, у нас есть некая функция, у неё есть числа на входе и числа на выходе. Эти пары чисел можно использовать для построения графика функции.
Теперь берём этот график функции и проводим две линии, которые ограничивают график. Получается фигура, которая сверху зависит от нашей функции, а с остальных сторон ограничена прямыми линиями и осью:
А теперь то, ради чего всё это затевалось:
✅ Площадь этой фигуры и есть интеграл функции f(x) = sin(x) + cos(x) на отрезке от a до b
В нашем случае мы считаем интеграл от нуля до числа пи — 3,1415926.
Это называется определённый интеграл. Определённый — это когда у нас определены начало и конец фигуры — в математике это называют пределами интегрирования. Записывается этот интеграл так:
В математике есть ещё неопределённые интегралы, у которых нет пределов интегрирования. Ими мы заниматься не будем, потому что ответом к неопределённому интегралу будет не конкретное число, а формула.
Зачем нужны интегралы в народном хозяйстве
Вы удивитесь, но в первую очередь интегралы нужны, чтобы находить площади и объёмы. В буквальном смысле: вот фигура, вот её описание в виде функции, проинтегрировали — узнали площадь. Будете, например, заливать бетоном красивую кривую дорожку — узнаете, сколько вам нужно бетона.
Интегралы нужны в математике и физике, это один из инструментов вычислений.
Если вы астрофизик, интеграл поможет вам рассчитать какие-нибудь свойства звёзд с течением времени. А математики говорят, что в интегралах не нужно искать практический смысл; их нужно любить, как мать, и почитать, как отца.
Как посчитать интеграл (то есть найти площадь)
Если бы у нас был прямоугольник, то всё просто: перемножаем высоту на ширину. Если бы была трапеция, тоже ещё как-то что-то можно. Но сверху у нас кривая, поэтому так сделать не получится. Решение придумали такое:
Минус такого подхода в том, что, как бы мы ни старались, прямоугольники не могут повторить все изгибы, и появится погрешность. С другой стороны, чем тоньше будут эти прямоугольники, тем точнее будет ответ. Получается, что наша задача — нарезать фигуру как можно тоньше.
Теперь задача становится намного проще: мы просто считаем площадь каждого прямоугольника и складываем их вместе. В таком виде задачу уже можно решить простым алгоритмом.
Пишем код
Раз нам нужно разбить интервал на много частей а потом с каждой из них сделать одно и то же, то это точно задача для цикла. Для этого нам понадобится шаг цикла — какой ширины будут наши прямоугольники, чтобы бы могли их одинаково перебирать.
Чтобы посчитать шаг, находим расстояние между конечной и начальной точкой и делим на желаемое количество прямоугольников (это будет нашей точностью интегрирования).
Общая логика работы будет такая:
На картинке — все исходные данные, а ниже — код, который считает интеграл. Смотрите на картинку и читайте комментарии: так будет ещё проще разобраться в коде:
Что дальше
Теперь этот код можно изменить так, чтобы он считал интеграл в любых пределах у любой функции. С точки зрения математики это не самый точный результат, но всё зависит от того, сколько точных знаков после запятой нам нужно.
В следующей серии продолжим разбираться со страшной математикой. Если есть пожелания для разбора — напишите в комментариях.