что значит делится без остатка
деление без остатка
Деление без остатка. Сколько способов есть разделить число без отставка. Признаки strong. И деление без остатка на калькуляторе.
Делим без остатка
Признаки деления числа без остатка.
Если пример не очень сложный, то можно определить, делится ли число без остатка или нет! Зная признаки делимости чисел.
Чтобы попытаться разобраться. давайте разберем несколько примеров. делится ли данное число на второе число без остатка.
Делится ли число 126 на 2 без остатка?
Если вы знаете признак делимости на 2, то вы точно можете заявить, что число 126 делится на 2 без остатка.
И далее нам остается разделить 126 на 2, либо на калькуляторе, либо столбиком
Делится ли число 126 на 3 без остатка?
Далее мы можем проверить, делится ли число 126 на 3 без остатка. поступаем аналогично, что и в выше описанном примере!
И из этого мы узнаем, что наше число 126 длится и на 3 без остатка.
Делится ли число 126 на 4 без остатка?
Если мы проверим, делится ли число на 4 без остатка, по выше приведенному алгоритму, то мы получим, что данное число не делится без остатка :
А если числа большие!?
Как определить, что они делятся без остатка.
Определить делится ли число без остатка(любое число)
Для этого есть самый простой и эффективный метод, с помощью которого можно за пару секунд узнать делится ли данное число без остатка или делится с остатком!?
Нам опять нужен пример. я думаю, что вы точно не знаете, делится ли эти числа без остатка! Ну, и я не знаю.
Поэтому открываем калькулятор и делим данные числа
И получаем результат :
Из которого мы можем извлечь вывод, что два числа 6461889 и 987 делятся без остатка.
Делители и кратные
В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.
Что такое делитель?
Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.
Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:
Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:
Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:
10 : 4 = 2 (2 в остатке)
Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.
Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.
Попробуем перечислить эти числа:
Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Кратные числа
Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3
Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.
Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .
У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:
5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Чётные и нечётные числа
Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:
Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:
21 : 2 = 10 (1 в остатке)
Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.
Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.
А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1
Значит, число 4 является составным числом.
Разложение составного числа на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.
Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4
Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10
Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:
Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:
Теперь собираем все простые множители вместе:
На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.
Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.
При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.
Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.
Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180
Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.
180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.
90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.
45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.
45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.
15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.
15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:
Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.
5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.
5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.
5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:
Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:
На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.
Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:
Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.
Нахождение делителей числа
В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.
Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2
6 : 2 = 3
Ещё делителем числа 6 является число 3
6 : 3 = 2
Ещё делителем числа 6 является число 1
6 : 1 = 6
Наконец, делителем числа 6 является само это число
6 : 6 = 1
Перечислим все делители числа 6
1, 2, 3, 6
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти делители числа 12
Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1
Теперь раскладываем число 12 на простые множители:
Получили разложение 2 × 2 × 3.
В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.
Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4
Занесём число 4 в нашу таблицу делителей
Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:
Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.
На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:
Чтобы найти делители числа, нужно:
Пример 2. Найти делители числа 6
Первым делителем числа 6 запишем единицу:
Теперь разложим число 6 на простые множители:
Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:
1, 2, 3
1, 2, 3, 6
Деление чисел с остатком
Деление с остатком целых положительных чисел
Деление — это разбиение целого на равные части.
Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Выполним деление столбиком:
Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное
Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:
В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.
Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.
Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».
Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.
Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):
Пример
Разделить 17 на −5 с остатком.
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.
Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное
Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:
Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:
d = a − b * c
Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.
Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.
Пример
Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.
Разделим заданные числа по модулю.
Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.
Так как получили 3, противоположное ему −3.
Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:
d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.
Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.
Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).
Деление с остатком целых отрицательных чисел
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:
d = a − b * c
Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.
Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:
Пример
Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.
Применим алгоритм для деления с остатком.
Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.
Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.
Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.
Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком
a = b * c + d,
где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.
Теорема
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:
где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.
Доказательство:
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q
Деление целых чисел с остатком: правила, примеры
Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.
Общее представление о делении целых чисел с остатками
Деление целых чисел с остатком рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.
Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.
Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.
Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.
Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при делении натуральных чисел с остатком.
Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Доказательство единственности
Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.
Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.
Данное деление необходимо выполнять столбиком:
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.
Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.
Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Ответ: 17 : ( − 5 ) = − 3 (ост. 2 ).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.
Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.
Ответ: ( − 17 ) : 5 = − 4 (ост. 3 ).
Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.
Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.
Сформулируем данное правило в виде алгоритма:
Данный алгоритм рассмотрим на примере.
Ответ: ( − 17 ) : ( − 5 ) = 4 (ост. 3 ).
Проверка результата деления целых чисел с остатком
Рассмотрим на примерах.
Выполнить проверку деления ( − 17 ) : 5 = − 3 (ост. − 2 ). Верно ли равенство?
Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.
Ответ: нет.
Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.