Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:
Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.
Содержание
Сумма первых n членов ряда
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, нопредполагается чтосумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:
Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):
S1 = 1;
S5 = 137/60 = приблизительно 2,283
Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.
Формула Эйлера
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1
Сходимость ряда
Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.
Рассмотрим известные доказательстване сходимости гармонического ряда
Доказательство Орема
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемыетаким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+. +1/2 +. :
Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
Альтернативное доказательство расходимости
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:
В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимооднозначно соответствует только один член гармонического ряда.
Частичные суммы
n-ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.
Связанные ряды
Ряд Дирихле
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле ) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.
Знакопеременный ряд
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.
Случайный гармонический ряд
«Истончённый» гармонический ряд
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу Примечания
В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда [1] :
.
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны. [2]
Содержание
Сумма первых n членов ряда
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:
Некоторые значения частичных сумм
Формула Эйлера
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда [1] :
,
где — постоянная Эйлера — Маскерони, а — натуральный логарифм.
При значение , следовательно, для больших n:
— формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.
Пример использования формулы Эйлера
, (%)
10
2,93
2,88
1,7
25
3,82
3,80
0,5
Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:
, где — числа Бернулли.
Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.
Теоретико-числовые свойства частичных сумм
1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb» border=»0″ />
Сходимость ряда
Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).
Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:
,
частичная сумма которого, очевидно, равна:
.
Доказательство Орема
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:
Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
Альтернативное доказательство расходимости
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
Тогда, перегруппируя дроби, получим:
Вынесем из второй скобки :
Заменим вторую скобку на :
Перенесём в левую часть:
Подставим обратно вместо сумму ряда:
Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.
не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.
Частичные суммы
Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.
Связанные ряды
Ряд Дирихле
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд [1] [4]
.
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:
Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.
Знакопеременный ряд
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:
Случайный гармонический ряд
Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел [5] [6] свойства случайного ряда
«Истончённый» гармонический ряд
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Гармонический ряд» в других словарях:
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю однако гармонический ряд расходится … Большой Энциклопедический словарь
гармонический ряд — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN harmonic series … Справочник технического переводчика
гармонический ряд — числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится. * * * ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД, числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится … Энциклопедический словарь
гармонический ряд — harmoninė eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic series vok. harmonische Reihe, f rus. гармонический ряд, m pranc. série harmonique, f … Fizikos terminų žodynas
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд Каждый член Г. р. (начиная со второго) является гармоническим средним двух соседних (отсюда назв. Г. р.). Г. р. расходится (Г. Лейбниц, G. Leibniz, 1673), и его частные суммы растут как In п(Л. Эйлер, L. Euler, 1740): существует… … Математическая энциклопедия
Гармонический ряд — числовой Ряд Каждый член Г. р. (начиная со 2 го) является гармоническим средним (См. Гармоническое среднее) между двумя соседними (отсюда название Г. р.). Члены Г. р. стремятся к нулю, однако Г. р. расходится (Г. Лейбниц … Большая советская энциклопедия
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд 1+1/2 + 1/3+. +1/п+. Члены Г. р. стремятся к нулю, однако Г. р. расходится … Естествознание. Энциклопедический словарь
ГАРМОНИЧЕСКИЙ — (от гр. harmonia созвучия, согласие). Соответствующей законам гармонии; благозвучный, созвучный, согласный, соразмерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГАРМОНИЧЕСКИЙ благозвучный, согласный.… … Словарь иностранных слов русского языка
ГАРМОНИЧЕСКИЙ — ГАРМОНИЧЕСКИЙ, гармоническая, гармоническое (книжн.). 1. прил. к гармония в 1 знач.; основанный на принципах гармонии (муз.). Гармонический стиль в музыке. Гармоническое построение. 2. (в качестве кратк. употр. гармоничен, гармонична, гармонично) … Толковый словарь Ушакова
ряд — а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами.… … Энциклопедический словарь
Есть несколько хорошо известных доказательств расходимости гармонического ряда. Некоторые из них приведены ниже.
Сравнительный тест
Каждый член гармонического ряда больше или равен соответствующему члену второго ряда, и поэтому сумма гармонического ряда должна быть больше или равна сумме второго ряда. Однако сумма второй серии бесконечна:
Отсюда следует (из сравнительного теста ), что сумма гармонического ряда также должна быть бесконечной. Точнее, приведенное выше сравнение доказывает, что
Интегральный тест
Кроме того, общая площадь под кривой y = 1 / Икс от 1 до бесконечности дается расходящимся несобственным интегралом :
Родственный ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :
Общий гармонический ряд
Вообще гармонический ряд имеет вид
При проверке предельного сравнения с гармоническим рядом все общие гармонические ряды также расходятся.
p- серия
ln-серия
φ- серия
Для любой выпуклой вещественнозначной функции φ такой, что
Случайный гармонический ряд
Случайный гармонический ряд
Истощенный гармонический ряд
Приложения
(На самом деле фактическое соотношение немного меньше этой суммы, поскольку полоса непрерывно расширяется.)
Подсчет суммы (итеративно) показывает, что для достижения скорости света требуется всего 97 секунд. Продолжая движение дальше этой точки (превышая скорость света, снова игнорируя специальную теорию относительности ), время, необходимое для пересечения бассейна, фактически приближается к нулю, поскольку количество итераций становится очень большим, и хотя время, необходимое для пересечения бассейна, кажется, стремятся к нулю (при бесконечном количестве итераций), сумма итераций (время, затрачиваемое на полное пересечение пула) все равно будет расходиться с очень медленной скоростью.
Будем рассматривать суммы нескольких дробей, у которых в числителях стоят единицы, а в знаменателях — последовательные натуральные числа начиная с двойки:
Такие суммы получаются, если брать начальные куски гармонического ряда и отбрасывать первое слагаемое, равное 1. Например, \( \dfrac12 + \dfrac13 = \dfrac56 \), \( \dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 = \dfrac<13><12>. \)
Найдётся ли такое n, что сумма дробей окажется целым числом?
Подсказка 1
Что означает, что сумма \( \frac12 + \frac13 + \frac14 + \ldots + \frac1 \) — целое число? Это значит, что если мы приведем все эти дроби к общему знаменателю, то сумма числителей должна нацело делиться на знаменатель. Для решения задачи нужно доказать одно из двух: либо что для некоторого n это условие будет выполнено, либо что оно не будет выполнено ни для какого n.
Подсказка 2
Можно проверить, что происходит при маленьких n; вдруг при каком-то значении получится целое число? А вот как доказать, что для какого-то большого n значение суммы окажется целым, с первого взгляда непонятно.
Посмотрим теперь с другой стороны. Как можно было бы доказать, что числитель дроби, которая получится после приведения к общему знаменателю, не делится на знаменатель этой дроби? Для этого достаточно найти число s, на которое делится знаменатель, но не делится числитель. Чаще всего получается доказывать подобные утверждения, если в качестве s взять какое-нибудь простое число.
Подсказка 3
С какого простого числа начать? Почему бы не попробовать самое первое — двойку. В какой степени двойка будет входить в общий знаменатель нашей дроби? А что можно сказать про степени двойки в слагаемых в числителе?
Решение
Докажем, что ни при каком n рассматриваемая сумма не будет целым числом. Действительно, пусть n — произвольное натуральное число, большее 1. Обозначим через k максимальное натуральное число, для которого выполняется неравенство \( 2^k \le n \).
Есть ли среди знаменателей наших исходных дробей, то есть среди чисел от 2 до n, ещё делящиеся на \( 2^k \)? Легко видеть, что нет. Ведь какие вообще натуральные числа делятся на \( 2^k \)? Все числа, кратные \( 2^k \), то есть \( 2^k \), \( 2 \cdot 2^k \), \( 3 \cdot 2^k \) и так далее. Но уже второе число в этом ряду — \( 2 \cdot 2^k = 2^ \), и оно, как мы знаем, точно больше, чем n.
Вот что отсюда следует: когда мы будем домножать числитель и знаменатель каждой дроби так, чтобы знаменатель стал равным N, то все дроби, кроме \( \frac1 <2^k>\), мы домножим на чётное число! Действительно, числитель и знаменатель дроби \( \frac1s \) мы домножим на число \( \frac\); а оно не будет делиться на 2 только в том случае, если N и s делятся на одну и ту же степень двойки. А такое s, как мы выяснили в прошлом абзаце, только одно (какое?).
Осталось посмотреть на числители дробей. Изначально все они — единицы; после приведения к общему знаменателю же у дроби \( \frac1s \), получается, в числителе окажется число \(\frac\). И все эти числители будут чётными, кроме одного — в той дроби, которая изначально была записана как \(\frac1<2^k>\). Ну а сумма всех числителей — скольких-то чётных чисел и всего одного нечётного — обязательно будет нечётна. Знаменатель N же хоть на одну двойку да делится, если n равно хотя бы двум. Всё! Мы получили, что числитель получившейся дроби чётен, а знаменатель нечётен; целым числом такая дробь точно быть не может.
Заметим, что в этот момент нас уже не интересует, на какую именно степень двойки делится знаменатель. Хватит и первой степени.
Послесловие
Шансов «попасть» хотя бы в одно натуральное число у гармонического ряда на первый взгляд довольно много — ведь при больших n значение рассматриваемой суммы может быть сколь угодно велико. Чтобы понять это, сгруппируем члены ряда:
Каждая скобка кончается дробью, у которой в знаменателе стоит очередная степень двойки. Легко увидеть, что если в группе последнее слагаемое есть \( \frac1<2^> \), то всего в этой группе 2 k − 1 слагаемых, каждое из которых не меньше последнего слагаемого, равного \( \frac1<2^> \); отсюда следует, что сумма всех чисел в этой группе — не меньше \( 2^ \cdot \frac1<2^> = \frac1 <2>\). Поэтому, чтобы получить, например, число 100 (то есть 200 · 1/2), нам достаточно взять первые 200 групп, то есть «всего лишь» первые 2 200 членов ряда — это примерно единица с 60 нулями. (На самом деле наша оценка довольно слабая — хватит первых членов ряда количеством около единицы со всего-то 44 нулями.)
При этом, как нетрудно догадаться, сумма подходящего начального куска гармонического ряда может быть как угодно близка к натуральному числу. Доказательство этого оставим читателю в качестве упражнения.
А вот конечные суммы ряда из дробей, в знаменателях которых стоят квадраты натуральных чисел, уже ограничены. Причём сходятся эти суммы к неожиданному числу, связанному с числом π (это доказал в XVIII веке Леонард Эйлер):
Отсюда возникает забавный парадокс. Представьте, что у вас есть бесконечно уходящая вниз стена, на которой нарисованы две приближающиеся друг к другу ветви гипербол \( y=\frac1x \) и \( y=-\frac1x \), и вы хотите закрасить область между этими гиперболами (то есть всю площадь, ограниченную сплошными зелёными линиями на рис. 1). Хватит ли вам на это грузовика краски? Или хотя бы 100 грузовиков?
Не хватит: ведь площадь внутри нашей кривой, например, между горизонтальными линиями y = −3 и y = −4 не меньше, чем 2 · 1 · 1/4, а потому вся площадь не меньше удвоенной суммы гармонического ряда, а значит, бесконечно велика. (На самом деле мы оценили нашу площадь снизу площадью несколько меньшей фигуры — той, что на рис. 2 ограничена коричневыми ломаными и горизонтальным зеленым отрезком.)
Теперь на месте нашей стены выроем бесконечный колодец, просто повращав зелёные гиперболы вокруг вертикальной оси. Сможем ли мы наполнить весь его грузовиком воды? Это кажется более сложной задачей, чем покрасить стену. Однако мы справимся! Ведь площадь сечения нашего колодца плоскостью y = −k равна \( \frac<\pi> \), и пользуясь теми же соображениями, только ограничив наш колодец ломаными снаружи, а не изнутри, мы получим, что объём всего бесконечного колодца не превышает \( \pi \cdot \frac<\pi^2> <6>\). (Читатели, знакомые с понятием интеграла, могут найти и точный объём колодца — он равен \( \pi\cdot \int\limits_^ <+\infty>\frac1 \mathrmx. \))
С подобными суммами связана одна из самых знаменитых нерешённых задач в математике — гипотеза Римана. Для неё нам потребуется обобщить наши два ряда и рассмотреть функцию
которая называется дзета-функцией Римана. Как мы уже знаем, значение \( \zeta(1) \) не определено (или равно бесконечности), а \( \zeta(2) = \frac<\pi^2> <6>\). Оказывается, можно рассматривать эту функцию и при комплексных значениях переменной s. Если вас не пугают комплексные числа и сумма бесконечного числа слагаемых в определении дзета-функции, то формулируется гипотеза совсем просто: она утверждает, что все комплексные числа s, в которых дзета-функция обращается в ноль, — это либо целые отрицательные чётные числа, либо комплексные числа с действительной частью, равной 0,5.
Как ни странно, сформулировал гипотезу Римана сам Бернхард Риман, в 1859 году. 116 лет назад, когда Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые 23 проблемы, ей ещё не придавали такой важности: она была объединена в восьмой проблеме Гильберта с проблемой Гольдбаха. Однако в XX веке оказалось, что гипотеза Римана важна в самых разных разделах математики. Например, есть множество неожиданных утверждений, которые верны, только если верна сама гипотеза Римана (примеры есть на посвящённой гипотезе странице в Википедии). В 2000 году институт Клэя включил её в список «задач тысячелетия». Как раз одну из них — гипотезу Пуанкаре — решил Григорий Перельман; остальные шесть ещё ждут своих покорителей.
.
-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной 
от длины исходной струны. [2]
,
— постоянная Эйлера — Маскерони, а 
— натуральный логарифм.
значение 
, следовательно, для больших n:
— формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.
, (%)
, где 
— числа Бернулли.
1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb
,
.
1 + \left[\frac<1><2>\right] + \left[\frac<1> <4>+ \frac<1><4>\right] + \left[\frac<1> <8>+ \frac<1> <8>+ \frac<1> <8>+ \frac<1><8>\right] + \left[\frac<1><16>+\cdots\right] +\cdots \\ & <> = 1 + \ \frac<1><2>\ \ \ + \quad \frac<1> <2>\ \quad + \ \qquad\quad\frac<1><2>\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac<1> <2>\ \quad + \ \cdots. \end 
:
:
в левую часть:
не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.
.
, а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.
