что значит гладкая поверхность

Гладкая поверхность

Последняя бука буква «ь»

Ответ на вопрос «Гладкая поверхность «, 9 (девять) букв:
плоскость

Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова плоскость

Определение слова плоскость в словарях

Википедия Значение слова в словаре Википедия
Пло́скость : Плоскость — двумерное пространство нулевой кривизны; Плоскость — термин естественно-научной и историко-философской традиции;

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова. Значение слова в словаре Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
ж. Поверхность, имеющая только два измерения, между любыми двумя точками которой можно провести прямую, которая целиком сольется с этой поверхностью (в геометрии). ж. Предмет, представляющий собою плоскую поверхность, имеющий плоскую форму. перен. Область.

Примеры употребления слова плоскость в литературе.

Если типы и есть, то они существуют не в той плоскости, как это намечается Аарне, а в плоскости структурных особенностей сходных сказок, но об этом после.

В системе не было планет как таковых, однако еще четыре факельщика условного противника обнаружили в засаде в аккреционном диске в плоскости эклиптики.

Говорят, что в последние годы, благодаря успехам отечественной, а может быть, зарубежной химии, для летчиков изобрели что-то такое, что можно лить только на плоскости, но в то отсталое время антиобледенителем был чистый спирт-ректификат.

К району заправки шли сквозь облачность, самолет дважды пересекал зоны обледенения, дважды Тасманов по команде Боровского включал антиобледенители, освобождая от наледи плоскости крыльев и заборники двигателей.

Таким образом, Кант подчеркивает априорность категорий времени и пространства в двух плоскостях: при объяснении опыта и при объяснении науки.

Источник: библиотека Максима Мошкова

Источник

Что значит гладкая поверхность

Когда мы говорим «абсолютно гладкая поверхность» — это значит, что между ней и телом нет трения. Такая ситуация в реальной жизни практически невозможна. Избавиться от трения полностью невероятно трудно.

Чаще при слове «трение» нам приходит в голову его «тёмная» сторона — из-за трения скрипят и прекращают качаться качели, изнашиваются детали машин. Но представьте, что вы стоите на идеально гладкой поверхности, и вам надо идти или бежать. Вот тут трение бы, несомненно, пригодилось. Без него вы не сможете сделать ни шагу, ведь между ботинком и поверхностью нет сцепления, и вам не от чего оттолкнуться, чтобы двигаться вперёд.

Трение — это взаимодействие, которое возникает в плоскости контакта поверхностей соприкасающихся тел.
Сила трения — это величина, которая характеризует это взаимодействие по величине и направлению.

Основная особенность: сила трения приложена к обоим телам, поверхности которых соприкасаются, и направлена в сторону, противоположную мгновенной скорости движения тел друг относительно друга. Поэтому тела, свободно скользящие по какой-либо горизонтальной поверхности, в конце концов остановятся. Чтобы тело двигалось по горизонтальной поверхности без торможения, к нему надо прикладывать усилие, противоположное и хотя бы равное силе трения. В этом заключается суть силы трения.

Откуда берётся трение

Трение возникает по двум причинам:

Виды силы трения

В зависимости от вида трущихся поверхностей, различают сухое и вязкое трение. В свою очередь, оба подразделяются на другие виды силы трения.

Сила трения покоя

Рассмотрим силу трения покоя подробнее.

Обычная ситуация: на кухне имеется холодильник, его нужно переставить на другое место.

Когда никто не пытается двигать холодильник, стоящий на горизонтальном полу, трения между ним и полом нет. Но как только его начинают толкать, коварная сила трения покоя тут же возникает и полностью компенсирует усилие. Причина её возникновения — те самые неровности соприкасающихся поверхностей, которые деформируясь, препятствуют движению холодильника. Поднатужились, увеличили силу, приложенную к холодильнику, но он не поддался и остался на месте. Это означает, что сила трения покоя возрастает вместе с увеличением внешнего воздействия, оставаясь равной по модулю приложенной силе, ведь увеличиваются деформации неровностей.

Пока силы равны, холодильник остаётся на месте:

Сила трения, которая действует между поверхностями покоящихся тел и препятствует возникновению движения, называется силой трения покоя

Сила трения скольжения

Что же делать с холодильником и можно ли победить силу трения покоя? Не будет же она расти до бесконечности?

Зовём на помощь друга, и вдвоём уже удаётся передвинуть холодильник. Получается, чтобы тело двигалось, нужно приложить силу, большую, чем самая большая сила трения покоя:

Теперь на движущийся холодильник действует сила трения скольжения. Она возникает при относительном движении контактирующих твёрдых тел.

Итак, сила трения покоя может меняться от нуля до некоторого максимального значения — Fтр. пок. макс И если приложенная сила больше, чем Fтр. пок. макс, то у холодильника появляется шанс сдвинуться с места.

Теперь, после начала движения, можно прекратить наращивать усилие и ещё одного друга можно не звать. Чтобы холодильник продолжал двигаться равномерно, достаточно прикладывать силу, равную силе трения скольжения:

Как рассчитать и измерить силу трения

Чтобы понять, как измеряется сила трения, нужно понять, какие факторы влияют на величину силы трения. Почему так трудно двигать холодильник?

Самое очевидное — его масса играет первостепенную роль. Можно вытащить из него все продукты и тем самым уменьшить его массу, и, следовательно, силу давления холодильника на опору (пол). Пустой холодильник сдвинуть с места гораздо легче!
Следовательно, чем меньше сила нормального давления тела на поверхность опоры, тем меньше и сила трения. Опора действует на тело с точно такой же силой, что и тело на опору, только направленной в противоположную сторону.

Сила реакции опоры обозначается N. Можно сделать вывод

Второй фактор, влияющий на величину силы трения, — материал и степень обработки соприкасающихся поверхностей. Так, двигать холодильник по бетонному полу гораздо тяжелее, чем по ламинату. Зависимость силы трения от рода и качества обработки материала обеих соприкасающихся поверхностей выражают через коэффициент трения.

Коэффициент трения обозначается буквой μ (греческая буква «мю»). Коэффициент определяется отношением силы трения к силе нормального давления.

Он чаще всего попадает в интервал от нуля до единицы, не имеет размерности и определяется экспериментально.

Можно предположить, что сила трения зависит также от площади соприкасающихся поверхностей. Однако, положив холодильник набок, мы не облегчим себе задачу.

Ещё Леонардо да Винчи экспериментально доказал, что сила трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей при прочих равных условиях.

Сила трения скольжения, возникающая при контакте твёрдого тела с поверхностью другого твёрдого тела прямо пропорциональна силе нормального давления и не зависит от площади контакта.

Этот факт отражён в законе Амонтона-Кулона, который можно записать формулой:

где μ — коэффициент трения, N — сила нормальной реакции опоры.

Для тела, движущегося по горизонтальной поверхности, сила реакции опоры по модулю равна весу тела:

Сила трения качения

Ещё древние строители заметили, что если тяжёлый предмет водрузить на колёсики, то сдвинуть с места и затем катить его будет гораздо легче, чем тянуть волоком. Вот бы пригодилась эта древняя мудрость, когда мы тянули холодильник! Однако всё равно нужно толкать или тянуть тело, чтобы оно не остановилось. Значит, на него действует сила трения качения. Это сила сопротивления движению при перекатывании одного тела по поверхности другого.

Причина трения качения — деформация катка и опорной поверхности. Сила трения качения может быть в сотни раз меньше силы трения скольжения при той же силе давления на поверхность. Примерами уменьшения силы трения за счёт подмены трения скольжения на трение качения служат такие приспособления, как подшипники, колёсики у чемоданов и сумок, ролики на прокатных станах.

Направление силы трения

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости относительного движения соприкасающихся тел. Важно помнить, что на каждое из соприкасающихся тел действует своя сила трения.

Бывают ситуации, когда сила трения не препятствует движению, а совсем наоборот.

Представьте, что на ленте транспортёра лежит чемодан. Лента трогается с места, и чемодан движется вместе с ней. Сила трения между лентой и чемоданом оказалась достаточной, чтобы преодолеть инерцию чемодана, и эти тела движутся как одно целое. На чемодан действует сила трения покоя, возникающая при взаимодействии соприкасающихся поверхностей, которая направлена по ходу движения ленты транспортёра.

Если бы лента была абсолютно гладкой, то чемодан начал бы скользить по ней, стремясь сохранить своё состояние покоя. Напомним, что это явление называется инерцией.

Сила трения покоя, помогающая нам ходить и бегать, также направлена не против движения, а вперёд по ходу перемещения. При повороте же автомобиля сила трения покоя и вовсе направлена к центру окружности.

Для того чтобы понять, как направлена сила трения покоя, нужно предположить, в каком направлении стало бы двигаться тело, будь поверхность идеально гладкой. Сила трения покоя в этом случае будет направлена как раз в противоположную сторону. Пример, лестница у стены.

Подведём итоги

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Поверхности

Простые поверхности.

Будем говорить, что функция \(f(u, v)\) непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве \(E \subset \boldsymbol^<2>\), если она определена и имеет непрерывные частные производные \(\partial f/\partial u\) и \(\partial f/\partial v\) на открытом множестве \(G\), содержащем замкнутое множество \(E\).

Пусть \(\Omega\) — ограниченная область в \(\boldsymbol^<2>\), а функции \(\varphi(u, v)\), \(\psi(u, v)\) и \(\chi(u, v)\) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве \(\overline <\Omega>= \Omega \cup \partial \Omega\), где \(\partial \Omega\) — граница области \(\Omega\). Тогда отображение \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\), определяемое формулами
$$
x = \varphi(u, v),\quad y = \psi(u, v),\quad z = \chi(u, v),\quad (u, v) \in \overline<\Omega>,\label
$$
называется непрерывно дифференцируемым.

Если при этом в каждой точке \((u, v) \in \Omega\) ранг функциональной матрицы
$$
\begin\varphi_(u, v)&\psi_(u, v)&\chi_(u, v)\\\varphi_(u, v)&\psi_(u, v)&\chi_(u, v)\end\label
$$
равен двум, то отображение \(F: \rightarrow \boldsymbol^<3>\) называется гладким.

Если \(\overline<\Omega>\) есть замкнутое ограниченное множество в \(\boldsymbol^<2>\), a \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\) есть такое гладкое отображение, что соответствие между множествами \(\overline<\Omega>\) и \(\Sigma = F(\overline<\Omega>)\) является взаимно однозначным, то будем множество \(\Sigma\) называть простой поверхностью в \(\boldsymbol^<3>\), а уравнения \eqref будем называть параметрическими уравнениями простой поверхности \(\Sigma\).

Пусть область \(\Omega\) ограничена простым гладким или кусочно гладким контуром \(\gamma\). Образ кривой \(\gamma\) при гладком отображении \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\) будем называть краем простой поверхности \(\Sigma\) и обозначать через \(\partial \Sigma\).

Если уравнение кривой \(\gamma\) имеет вид
$$
u = u(t),\quad v = v(t),\quad \alpha \leq t \leq \beta,\nonumber
$$
то уравнение \(\partial\Sigma\) задается следующими формулами:
$$
x = \varphi(u(t), v(t)),\quad y = \psi(u(t), v(t)),\quad z = \chi(u(t), v(t)),\quad \alpha \leq t \leq \beta.\label
$$

График функции \(z = f(x, y)\), непрерывно дифференцируемой на замкнутом ограниченном множестве \(\overline <\Omega>\subset \boldsymbol^<2>\), есть простая поверхность, определяемая параметрическими уравнениями
$$
x = u,\quad y = v,\quad z = f(u, v),\quad (u, v) \in \overline<\Omega>.\label
$$

В этом случае матрица \(\beginx_&x_\\x_&y_\end\) является единичной, а поэтому ранг матрицы \eqref равен двум.

Например, график функции \(z = x^ <2>+ y^<2>\), \((x, y) \in \overline<\Omega>\), где \(\overline <\Omega>= \ <(x, y): x^<2>+ y^ <2>\leq 1\>\), есть простая поверхность. Окружность, получаемая при пересечении параболоида вращения \(z = x^ <2>+ y^<2>\) и плоскости \(z = 1\), является краем рассматриваемой простой поверхности.

Уравнения \eqref простой поверхности можно записать и в векторной форме:
$$
\boldsymbol = \boldsymbol(u, v),\quad (u, v) \in \overline<\Omega>,\quad \boldsymbol(u, v) = \varphi(u, v) \boldsymbol + \psi(u, v) \boldsymbol + \chi(u, v) \boldsymbol.\label
$$

С механической точки зрения формулы \eqref определяют гладкую (без разрывов и изломов) деформацию плоской области \(\Omega\) в множество \(\Sigma\) (простую поверхность в пространстве \(\boldsymbol^<3>\)). Для практических целей только простых поверхностей недостаточно. Например, сфера \(x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>\) не является простой поверхностью в \(\boldsymbol^<3>\). Интуитивно ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформацией плоской области.

Имея в виду приложения теории поверхностных интегралов, введем в рассмотрение класс почти простых поверхностей.

Пусть \(\Omega\) — плоская область и \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\) — непрерывно дифференцируемое отображение. Будем множество \(\Sigma = F(\overline<\Omega>)\) называть почти простой поверхностью в \(\boldsymbol^<3>\), если найдется расширяющаяся последовательность ограниченных областей \(\<\Omega_\>\) таких, что \(\overline<\Omega>_ \subset \Omega_\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_^<\infty>\Omega_\) и поверхности \(\Sigma_ = F(\overline<\Omega>_)\) простые.

Сфера \(S = \ <(x, y, z): x^<2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>\>\) есть почти простая поверхность.

Образами отрезков \(\varphi = \varphi_<0>\), \(\displaystyle-\frac<\pi> <2>\leq \psi \leq \frac<\pi><2>\) являются меридианы, а при \(\displaystyle|\psi_<0>| Рис. 52.1

Конус \(K = \ <(x, y, z): x^<2>+ y^ <2>= z^<2>\>\) есть почти простая поверхность.

\(\vartriangle\) Введем цилиндрические координаты. Тогда конус \(K\) есть образ полуполосы
$$
\overline <\Omega>= \ <(r, \varphi): 0 \leq r Рис. 52.2

Легко проверить, что \(\overline<\Omega>_ \subset \Omega_\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_^<\infty>\Omega_\) и что поверхности \(\Sigma_ = F(\overline<\Omega>_)\) являются простыми. Поэтому конус \(K\) — почти простая поверхность. \(\blacktriangle\)

Если \(\Sigma\) есть простая поверхность, заданная векторным уравнением \eqref, а непрерывно дифференцируемые функции
$$
u = u(u’, v’),\ v = v(u’, v’),\ (u’, v’) \in \Omega’\nonumber
$$
задают взаимно однозначное отображение замыкания области \(\Omega’\) на замыкание ограниченной области \(\Omega\), причем якобиан отображения
$$
\frac<\partial(u, v)> <\partial(u’, v’)>= \begin\displaystyle\frac<\partial u><\partial u’>&\displaystyle\frac<\partial u><\partial v’>\\\displaystyle\frac<\partial v><\partial u’>&\displaystyle\frac<\partial v><\partial v’>\end\nonumber
$$
отличен от нуля в \(\overline<\Omega>’\), то уравнение
$$
\boldsymbol = \boldsymbol (u(u’, v’), v(u’, v’)) \equiv \boldsymbol<\rho>(u’, v’);\quad (u’, v’) \in \Omega’,\label
$$
определяет ту же простую поверхность, что и уравнение \eqref. Уравнения \eqref и \eqref называют различными параметризациями поверхности \(\Sigma\).

Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифференцируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области \(\Omega\).

\(\vartriangle\) Переход от уравнений \eqref к уравнениям \eqref задается формулами
$$
u = a \cos \varphi \cos \psi,\quad v = a \sin \varphi \cos \psi,\quad (\varphi, \psi) \in \Omega’.\label
$$

Якобиан отображения \eqref равен \(a^ <2>\sin \varphi \cos \psi\) и обращается в нуль при \(\psi = 0\), то есть на части границы области \(\Omega’\). Это приводит к тому, что при переходе к параметризации \eqref частные производные функции \(z = \sqrt-u^<2>-v^<2>>\) стремятся к бесконечности при приближении точки \(u, v\) к окружности \(u^ <2>+ v^ <2>= a^<2>\). \(\blacktriangle\)

Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рассматриваться только такие параметризации, которые задаются непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном множестве функциями.

Криволинейные координаты на поверхности.

Пусть простая поверхность \(\Sigma\) задана векторным уравнением \eqref. Предположим, что область \(\Omega\) выпукла, \([a, b]\) есть проекция области \(\Omega\) на ось \(u\). Если \(u_ <0>= \in (a, b)\), то прямая \(u = u_<0>\) будет пересекаться с областью \(\Omega\) по отрезку \(u = u_<0>\), \(\alpha \leq v \leq \beta\) (рис. 52.3). Образ этого отрезка при отображении \eqref есть кривая
$$
\boldsymbol = \boldsymbol (u_<0>, v),\ \alpha \leq v \leq \beta,\label
$$
лежащая на поверхности \(\Sigma\). Будем называть ее координатной кривой \(u = u_<0>\). Придавая \(u_<0>\) все значения из отрезка \([a, b]\), получим семейство координатных кривых \(u = \operatorname\). Аналогично строится и семейство координатных кривых \(v = \operatorname\).

Рис. 52.3

В силу взаимной однозначности отображения \eqref каждая точка \(A\) поверхности \(S\) однозначно определяется как пересечение двух координатных кривых, \(u = u_<0>\) и \(v = v_<0>\). Пара чисел \((u_<0>, v_<0>)\) называется криволинейными координатами точки \(A\) поверхности. Запись \(A(u_<0>, v_<0>)\) означает, что точка \(A\) поверхности \(\Sigma\) задана криволинейными координатами \((u_<0>, v_<0>)\).

Например, в сферических координатах часть сферы \(x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>\), ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, задается в криволинейных координатах \(\varphi\), \(\psi\) следующим образом:
$$
\varphi_ <1>\leq \varphi \leq \varphi_<2>,\quad \psi_ <1>\leq \psi \leq \psi_<2>.\nonumber
$$

На сфере координатные кривые \(\varphi = \operatorname\) — меридианы, а координатные кривые \(\psi = \operatorname\) — параллели.

На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.

Вектор-функция \(\boldsymbol (u_<0>, v)\) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра \(v\), и, следовательно, координатная кривая \(u = u_<0>\), определяемая равенством \eqref, является непрерывно дифференцируемой. Вектор \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) является касательным к этой кривой в точке \(A(u_<0>, v_<0>)\). Аналогично, вектор \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) касателен к координатной кривой \(v = v_<0>\) в точке \(A(u_<0>, v_<0>)\). Заметим, что векторы \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) и \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае ранг матрицы \eqref будет меньше двух. Следовательно, для простой поверхности координатные кривые являются гладкими.

Если область \(\Omega\) не является выпуклой, а точка \((u_<0>, v_<0>)\) лежит внутри \(\Omega\), то нужно взять выпуклую окрестность точки \((u_<0>, v_<0>)\), лежащую внутри \(\Omega\). Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском поверхности \(\Sigma\) и координатные кривые можно строить на этом куске поверхности (локально).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть \(\Sigma\) есть простая поверхность, заданная уравнениями \eqref или векторным уравнением \eqref. Рассмотрим точку \(A(u, v)\) на поверхности \(\Sigma\), где \((u, v)\) — внутренняя точка области \(\Omega\). Построим координатные линии \(u = \operatorname\) и \(v = \operatorname\), проходящие через точку \(A(u, v)\). Векторы \(\boldsymbol_ (u, v)\) и \(\boldsymbol_ (u, v)\) будут касательными к соответствующим координатным линиям.

В любой точке \(A(u, v)\) простой поверхности \(\Sigma\) векторы \(\boldsymbol_ (u, v)\) и \(\boldsymbol_(u, v)\) неколлинеарны. Направление вектора \(N = [\boldsymbol_, \boldsymbol_]\) при изменении способа параметризации или не меняется, или изменяется на противоположное.

\(\circ\) Рассмотрим вектор \(N = [\boldsymbol_, \boldsymbol_]\) во всех точках поверхности \(\Sigma\). Тогда
$$
\boldsymbol=\beginy_&z_\\y_&z_\end\boldsymbol + \beginz_&x_\\z_&x_\end\boldsymbol + \beginx_&y_\\x_&y_\end\boldsymbol.\nonumber
$$
Если \(\boldsymbol = \boldsymbol<0>\), то все компоненты вектора \(\boldsymbol\) равны нулю, и ранг матрицы \eqref будет меньше двух, что невозможно для простой поверхности. Пусть поверхность \(\Sigma\) параметризована двумя способами, \eqref и \eqref. Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных производных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностью векторного произведения, получаем
$$
\boldsymbol’ = [\boldsymbol<\rho>_, \boldsymbol<\rho>_] = [\boldsymbol_ \frac<\partial u> <\partial u’>+ \boldsymbol_ \frac<\partial v><\partial u’>,\ \boldsymbol_ \frac<\partial u> <\partial v’>+ \boldsymbol_ \frac<\partial v><\partial v’>] =\\= [\boldsymbol_, \boldsymbol_] \left(\frac<\partial u><\partial u’>\frac<\partial v><\partial u’>-\frac<\partial u><\partial v’>\frac<\partial v><\partial v’>\right) = [\boldsymbol_, \boldsymbol_] \frac<\partial(u, v)><\partial(u’, v’)>,\nonumber
$$
то есть
$$
\boldsymbol’ = \boldsymbol \frac<\partial(u, v)><\partial(u’, v’)>.\label
$$
Так как якобиан \(J = \displaystyle\frac<\partial(u, v)><\partial(u’, v’)>\) не обращается в нуль в области \(\Omega’\), то векторы \(\boldsymbol’\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, если \(J > 0\), и противоположно направлены, если \(J Лемма 2.

Вектор нормали к простой поверхности \(\Sigma\) в точке \(A(u_<0>, v_<0>)\) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку \(A(u_<0>, v_<0>)\).

\(\circ\) В самом деле, такая кривая есть образ при отображении \eqref некоторой гладкой кривой, лежащей в области \(\Omega\) и задаваемой уравнениями \(u = u(t)\), \(v = v(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\).

Уравнение кривой на поверхности тогда имеет вид
$$
\boldsymbol = \boldsymbol(u(t), v(t)),\ \alpha \leq t \leq \beta,\ u(t_<0>) = u_<0>,\ v(t_<0>) = v_<0>.
$$

Касательный вектор \(\boldsymbol<\tau>\) к этой кривой в точке \(A\) есть
$$
\boldsymbol <\tau>= \frac