что значит невырожденный треугольник

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

SPMISCIENCE

Треугольник

Треугольник

[править] Свойства и особенности треугольников

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально — так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости. [1]

Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляция.

Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

Треугольник, когда не вырожден — всегда выпуклый многоугольник.

Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность.

[править] Обозначения

Точки вершин треугольника традиционно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

[править] Признаки равенства треугольников

Треугольник однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

[править] Типы треугольников

Типы треугольников
Остроугольный	Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний

[править] По величине углов

сумма углов треугольника равна 180°.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

[править] По числу равных сторон

[править] Определения, связанные с треугольником

[править] Окружности

[править] Лучи, отрезки и точки

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Серединные перпендикуляры(медиатриссы) к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Ортоцентр, инцентр, центроид (центр тяжести), а также некоторые другие точки называются замечательными точками треугольника.

[править] Соотношения в треугольнике

[править] Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами.

[править] Теорема о сумме углов треугольника

[править] Теорема синусов

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a

[править] Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника :

[править] Площадь треугольника

Для площади справедливы неравенства:

[править] Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , , — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

[править] См. также

В Викисловаре есть статья «треугольник»

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Считается ли вырожденный треугольник треугольником?

Месяц тому назад в нашей школе проводилась олимпиада (внутришкольная). Среди прочего, на ней предлагалась такая задача:

Верно ли, что из некоторых трёх углов (в градусах) любого выпуклого четырёхугольника можно составить треугольник (в сантиметрах)?
(Имелось в виду, что если, скажем, углы выпуклого четырёхугольника равны a, b, c и d градусов, то можно построить треугольник, стороны которого в сантиметрах являются тремя различными элементами множества ).

Я начертила красивый дельтоид с углами 50, 50, 100 и 160 градусов, сиречь взяла два равнобедренных треугольника (с углами 100, 40, 40 и 160, 10, 10) и подарила им общую основу.
К моему удивлению, решение. не засчитали, видимо, под предлогом того, что существует треугольник со сторонами 50, 50, 100 (хоть и является вырожденным).

Но ведь для вырожденного треугольника не выполняется теорема Менелая (я об этом уже где-то писала), следовательно треугольником он являться не может.

Помогите, пожалуйста, разобраться.
Заранее благодарна!

Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики

Последний раз редактировалось Crutoy Pazan 27.05.2011, 12:27, всего редактировалось 1 раз.

Я лично стою на другой точке зрения, а именно, что вырожденные треугольники вполне имеют право на существование, хотя в Вашем случае я полностью на Вашей стороне, поскольку разумеется применение вырожденных треугольников имеет (ИМХО) только теоретический характер. Ведь, что такое вырожденный треугольник? По сути дела это три точки лежащие на одной прямой. Кстати и вырожденность может быть двоякого типа, а именно, в одном случае все три точки различны, а в другом случае, две из трех точек совпадают с одним концом отрезка, другим концом которого является третья точка оного.
А вот в качестве примера того, что такие треугольники существенны, вот Вам следующая лемма:

Лемма: Две плоские фигуры и будут равными фигурами одного и того же направления вращения если между точками этих двух фигур можно установить такое соответствие, при котором любые два треугольника и (ПУСТЬ ДАЖЕ И ВЫРОЖДЕННЫЕ), вершинами которых являются соответственные точки двух данных фигур, являются равными треугольниками одного и того же направления вращения, как бы при этом ни выбиралась точка .

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Что значит невырожденный треугольник

Марина, какой интересный вопрос.

Как правильно проверить граничное значение? Нужно взять не только саму границу, но и ближайшие к ней значения с обоих сторон (а если хорошенько подумать, то достаточно с одной). Вот таким образом и можно будет отловить ошибки округления.

Насколько близкие значения выбирать для чисел с плавающей запятой? На этот вопрос я, пожалуй, ответить не смогу. Математические программы не тестировал, и в данный вопрос не углублялся. Но наверняка как-то можно.

Евгений, Я немного отойду от условий исходной задачи. Пусть есть задача: на вход подаётся три числа, которые соответствуют длине отрезков. Программа выдаёт может ли это быть треугольников (невырожденный, вырожденный).
Длина отрезков не должна превышать 1000.

Пусть у нас есть программа, которая принимает на вход три числа и сначала проверяет, что данные введены корректно (числовые, в указанном диапозоне), а потом отвечает на вопрос. Пусть ответ на вопрос реализован так (мы реализацию не видим, но она существует, привожу для примера, чтобы было нагляднее):

if ((a+b>c) && (a+c>b) && (b+c>a)) <
alert («Невырожденный треугольник»)
> else if ((a+b==c) || (a+c==b) || (b+c==a) )
> else <
alert («Несуществующий треугольник»)
>

Возьмем a=0.9999, b=0.0001, c=1. Ожидаемый результат: Вырожденный треугольник. Фактический результат: Вырожденный треугольник.
Возьмем a=0.9999, b=999.0001, c=1000. Ожидаемый результат: Вырожденный треугольник. Фактический результат: Вырожденный треугольник.

Возьмем a=70.54, b=130, c=200.54. Ожидаемый результат: Вырожденный треугольник. Фактический результат: Невырожденный треугольник.

В принципе, можно вообще отойти от треугольников. И рассмотреть программу, которая суммирует два числа, взятых из диапозона (0; 1000], и сравнивает с третьим числом из диапозона (0; 2000], отвечая на вопрос сумма чисел больше, меньше или равна ему. Или любой другой функционал, где есть числа с плавающей точкой, но математики вроде и нет (например, покупки и скидки).

Источник