что значит окружности касаются друг друга

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Источник

Что значит окружности касаются друг друга?

Что значит окружности касаются друг друга.

Две окружности могут касаться друг друга внутренним образом (одна окружность находится внутри другой) и внешним образом.

И в том, и другом случае у окружностей будет одна общая точка (место касания).

Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см?

Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см.

Найдите радиусы окружностей, касающихся данных трех окружностей.

Две окружности друг друга внутренне касаются в точке А?

Две окружности друг друга внутренне касаются в точке А.

Меньшая окружность касается хорды ВС большей окружности в точке D.

Известно, что АВ = 24, АС = 40, AD = 15.

Найти радиус большей окружности.

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга?

Окружности с радиусами 4 и 5 дм касаются друг друга.

Найдите расстояние между их центрами, когда они касаются внешне и касаются внутренне.

Две окружности радиусы которых 8см и 18 см касаются друг друга внешним образом?

Две окружности радиусы которых 8см и 18 см касаются друг друга внешним образом.

Прямая касается этих окружностей в точках А и В найди АВ.

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Что значит : окружности касаются в данной точке?

Могут ли четыре окружности одинакогорадиуса попарно касаться друг друга?

Могут ли четыре окружности одинакогорадиуса попарно касаться друг друга?

Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются друг друга?

Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются друг друга.

Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего косаний.

Три окружности, радиуса которых 10 м, 2м и 3м, касаются друг друга внешним обзором?

Три окружности, радиуса которых 10 м, 2м и 3м, касаются друг друга внешним обзором.

Найти диаметр окружности, проходящей через центры данных окружностей.

Три окружности радиуса 4 см касаются друг друга?

Три окружности радиуса 4 см касаются друг друга.

Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей.

Начерти обычный треугольник, и параллельно углу abc поставь точку на стороне ас, и проведи из вершины угла b к точке d отрезок, вот и получится у тебя bd.

Пусть х гр. Величина угла при вершине. Тогда при основании 0. 75х. Углы при основании равны. Составим уравнение х + 0, 75х + 0, 75х = 180 2. 5х = 180 х = 72 градуса составляет угол при вершине.

Так понятно что там написано.

Источник