что значит перпендикулярные прямые

Определение перпендикулярных прямых, их свойства, характеристика

Содержание:

В геометрии существует понятие параллельных и перпендикулярных прямых. Ко вторым относится особый вид пересечения простейших геометрических фигур. Рассмотрим, какие прямые называются перпендикулярными. После теоретической выкладки материала научим правильно чертить такие чертежи при помощи угольника. Также разберёмся, что такое перпендикуляр к прямой, его свойства, обозначение.

Перпендикулярные прямые: определение, свойства

Теперь вы понимаете, что значит перпендикулярные прямые.
Дана линия a (AB) и не лежащая на ней точка C. Соединяющий их отрезок CD называется перпендикулярным, если отрезок CD образует с AB прямые углы. Точка D – основание перпендикуляра.

Способы построения

Второй способ сложнее. Дана линия m с лежащей на ней точкой M: M ∈ m. Построить отрезок PQ, проходящий через точку M и пересекающий m под прямым углом.

Теперь разберёмся, как доказать, что отрезки (прямые) перпендикулярны. Для этого рассмотрим треугольник APB или AQB (из условий задачи они одинаковые).

Две стороны простейшего многоугольника построены по радиусам одинаковых кругов, значит, они равны по длине – получаем равнобедренный треугольник, где AP = PB. Из условий задачи AM = BM, значит MP – медиана равнобедренного треугольника (исходя из определения этого термина). Отрезок PM – высота геометрической фигуры, она перпендикулярна основанию: PM ⟂ AB, что требовалось доказать.

Проводим линию m и не лежащую на ней точку M. Рисуем окружность с центром M, пересекающую m в паре точек: A, B.

Чертим окружности с центрами в A и B, пересекающие M. Симметричную ей относительно прямой m точку обозначим N. Соединим их отрезком MN.

Докажем перпендикулярность MN линии m.

В треугольниках ANM с BNM равны стороны: AN = NB = AM = NB, AB – общая. Если три стороны треугольников равны, значит геометрические фигуры одинаковые: ∠АМС = ∠ВМС. Отрезки MC и CN – биссектрисы треугольников, где AB – основание. Далее, исходя из свойств равнобедренного треугольника, MC и CN – высоты геометрической фигуры, они перпендикулярны основанию. Получается, AB ⟂ MN.

Задача

Мы доказали, что CE ⟂ a.
Последний шаг: покажем, что из точки C к прямой a нельзя провести более одного перпендикуляра.
Предположим: из точки С на прямую a возможно опустить второй перпендикуляр CD1. Тогда получим △CDD1 уже с парой прямых углов, что невозможно – у треугольника более одного прямого угла быть не может. Значит, из точки C нельзя опустить более одного перпендикуляра.
Исходя из рассмотренного материала, следует закономерное свойство двух прямых a и b, перпендикулярных к третьей c: между собой они параллельны: a||b.

Перпендикулярные отрезки – это отрезки, пересекающиеся под углом 90°.

Источник

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Решение

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Источник

Что значит перпендикулярные прямые

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Перпендикулярные прямые

Всего получено оценок: 673.

Всего получено оценок: 673.

Перпендикулярные прямые образуют собой целый пласт фигур, построений и вычислений в геометрии. Без понимания перпендикулярных прямых не получится решать такие фигуры, как прямоугольный треугольник, прямоугольник, квадрат или прямоугольная трапеция. Поэтому стоит особенное внимание уделить этим понятиям.

Что такое перпендикулярные прямые

При пересечении двух прямых образуется 4 угла. Определение перпендикулярных прямых звучит так: это прямые, угол между которыми равен 90 градусам. Углов всего 4, полный угол это 360 градусов. Если один из углов равен 90 градусам, то и 3 других будут по 90.

Чтобы отрезки назывались перпендикулярными, должно выполняться условие: отрезки могут пересекаться или не пересекаться, но угол пересечения между прямыми, на которых они лежат, должен равняться 90 градусам.

Свойства

У перпендикулярных прямых не так много свойств. Все они не требуют доказательств, так как исходят из определения перпендикулярности.

Фигуры с перпендикулярными прямыми

Одной из первых фигур, с которыми знакомится человек, являются квадрат и прямоугольник.

Прямые углы приятны человеческому взгляду, поэтому очень часто квадрат или прямоугольник используют как форму для столешниц, стульев, тумбочек и других предметов. Весь окружающий человека мир составлен из параллельных и перпендикулярных линий.

Еще со времен Древней Греции известен прямоугольный треугольник. Форму прямоугольного треугольника принимали различные приборы для навигации, кроме того, много времени изучению свойств прямоугольного треугольника уделил Пифагор. Именно его авторству принадлежит Теорема Пифагора, которая часто востребована в решениях задач.

Существует прямоугольная трапеция, у которой одна из сторон перпендикулярна обоим основанием. А стереометрия и вовсе пестрит перпендикулярами в пространстве: правильная призма, прямоугольная пирамида и самый обычный куб.

К тому же, в любом треугольнике можно провести высоту, что необходимо для нахождения площади фигуры. Перпендикуляр для нахождения площади пригодится и в параллелограмме, а прямоугольный треугольник и квадрат имеют высоту в составе своих сторон, из-за чего площадь этих фигур гораздо проще найти.

Рис. 3. Высота.

Что мы узнали?

Мы разобрали, что такое перпендикулярные прямые, поговорили о свойствах перпендикуляров и описали фигуры, для построения которых необходимы перпендикулярные прямые. Разобрались в теме для полного понимания при первой встрече с данным вопросом в 6 классе.

Источник

Что значит «перпендикулярно»? Происхождение и значение термина

Слово «перпендикулярно» часто встречается в учебниках геометрии. А вот каково происхождение этого понятия? Что значит «перпендикулярно», откуда появилось это слово? Об этом и рассказывается в данной статье.

Происхождение слова

Наречие «перпендикулярно» происходит от существительного «перпендикуляр». Это слово пришло в русский язык из латыни. Там per и pendere означало «перед» и «висеть», а сочетание этих двух слов можно перевести как «отвес». Словосочетание показалось очень удобным, и его стали применять в геометрии.

Перпендикуляром можно назвать прямую. Но не каждую, а лишь ту, которая находится под прямым углом. Поэтому ответ на вопрос о том, что значит перпендикулярно, обязательно должен содержать упоминание прямого угла. Прямая может быть перпендикулярна другой прямой, лучу, вектору, стороне геометрической фигуры и даже плоскости.

Свойства перпендикулярности

Несколько свойств делают перпендикулярность довольно интересным геометрическим явлением. По умолчанию, если первая линия расположена под углом 90° ко второй, то и вторая перпендикулярна первой. Поэтому в условии задачи нет смысла обсуждать, какая из линий перпендикулярна другой.

При изучении высшей математики объяснить, что значит перпендикулярно, будет сложнее. Для математика перпендикулярность – всего лишь частный случай общей математической концепции ортогональности. В понятие перпендикулярности также входит описание многомерных геометрических объектов и их свойств.

Обозначение

На вопрос о том, что значит перпендикулярно, можно ответить и графически. Все математики мира придерживаются определенный условных обозначений, понятных даже тем, кто не знает иностранных языков.

Обозначение перпендикуляра впервые появилось на свет в 1634 году. Оно было опубликовано в работах французского астронома и математика Пьера Эригона. В своем многотомном труде он обобщил все математические знания, известные в то время, и изложил их на французском и латинском языках. Его труды не утратили своего значения много лет спустя – так, Эригона цитировали в своих работах Лейбниц и Паскаль. Он был автором нескольких математических обозначений, наиболее долгоживущим из них оказался знак перпендикулярности. На языке математики «перпендикулярно» выглядит вот так:

Как видно, ничего сложного в обозначении перпендикуляра нет. Просто нужно дорисовать маленький квадратик в углу пересекающихся линий. Иногда перпендикуляр рисуют в виде угла с обозначением в 90°.

Теперь вы тоже знаете о том, что значит слово «перпендикулярно» и кто придумал такое удачное обозначение геометрического понятия.

Источник