что значит приведите подобные слагаемые
6.4.2. Раскрытие скобок. Приведение подобных слагаемых
1. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или не стоит никакого знака.
Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то убираем скобки, знак «+» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, без изменений.
Примеры. Раскрыть скобки.
1в) 7x+(-a-2b+5c-k) = 7x-a-2b+5c-k.
2. Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-».
Если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.
Примеры. Раскрыть скобки.
Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом. Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1).
Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).
Примеры. Привести подобные слагаемые.
3в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.
4. В алгебраическом выражении могут быть различного вида подобные слагаемые. В этом случае подобные слагаемые подчеркиваются одинаковыми линиями.
Примеры. Привести подобные слагаемые.
5. Для преобразования алгебраических выражений с помощью раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: чтобы сумму чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на третье число и сложить результаты.
Примеры. Раскрыть скобки.
5а) 2 (4х-5у) = 2 ∙ 4х+2 ∙ (-5) = 8х-10у;
6. Упростить алгебраическое выражение – это значит раскрыть скобки, выполнить указанные действия, привести подобные слагаемые.
Примеры. Упростить выражение.
7. Примеры для самостоятельного решения. Упростить:
Урок 42 Бесплатно Подобные слагаемые
В одном из прошлых уроков мы узнали и разобрали одно важное свойство распределительных чисел: распределительное свойство умножения относительно сложения.
Сегодня мы подробно посмотрим, как оно позволяет нам раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, а также в целом упрощать выражение.
Раскрытие скобок
Распределительное свойство умножения справедливо для любых чисел a, b и c.
Также мы уже упоминали, что это свойство можно обобщить, во-первых, для большего числа слагаемых, во-вторых, в роли общего множителей могут выступать не только числа, но и выражения.
Сейчас подробно посмотрим на примерах.
Пример:
Посмотрим на выражение \(\mathbf<(\frac<15><37>+\frac<19><74>)\cdot74>\)
Мы можем сначала посчитать выражение в скобках, а можем сначала раскрыть скобки, избавившись от дробей, а затем выполнить сложение.
Воспользуемся вторым способом:
В данном случае мы имели выражение, максимально близкое к тому, что мы видим в формулировке распределительного свойства.
Теперь рассмотрим такое выражение: \(\mathbf<(1001-65):13>\)
Тут мы видим вычитание вместо сложения и деление вместо умножения.
Но мы уже умеем заменять вычитание на сложение, заменяя вычитаемое на слагаемое, противоположное вычитаемому:
Также и деление мы умеем заменять на умножение, заменяя делитель на множитель, обратный делителю:
Теперь мы получили выражение, соответствующее формулировке распределительного свойства.
Применим же свойство и найдем значение выражения.
Заметим, что хоть мы и заменяли вычитание на сложение, в конце мы все равно вычитали.
Также несмотря на то, что мы заменяли деление на умножение, в конце мы все равно делили.
Распределительное свойство также работает и в таком виде:
Также важно понимать, что распределительное свойство может работать не только с двумя числами, но и с любым другим их количеством.
Три точки обозначают любое количество слагаемых от нуля до бесконечности.
Аналогично предыдущему примеру, слагаемые в скобках могут быть с разными знаками. В таком случае они будут с такими же знаками и в правой части равенства.
Пример:
Раскроем скобки в выражении \(\mathbf<(a+b+c+d)\cdot x>\) :
Также важно понимать, что на месте a, b и других букв в скобках могут стоять любые другие выражения.
Пример:
Также и множитель снаружи скобок может быть не только числом или скобкой, а любым другим выражением, например, как в этом примере ax и bx являются произведениями двух множителей.
Как мы сказали, множитель может быть любым выражением, например, выражением в скобках. Рассмотрим еще такой пример.
Пример:
Раскроем скобки в выражении \(\mathbf<(a+b)(c+d)>\) :
Тут можно действовать в любом порядке: можно считать первую скобку общим множителем, раскрывая вторую, а можно и наоборот.
Мы будем сейчас раскрывать вторую скобку, то есть (\(\mathbf
Теперь общими множителями для первой и второй скобок будут с и d соответственно:
Промежуточный шаг можно было пропустить, так как скобки не несли в нем смысла, но оставим его здесь для наглядности.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вынесение общего множителя
Распределительное свойство умножения относительно сложения помогает нам выносить общий множитель, то есть, смотря на формулировку, мы из правой части переходим в левую.
Сразу скажем, что по аналогии с раскрытием скобок, мы не должны пугаться вычитания и деления, а должны, если сомневаемся, заменять их на сложение и умножение соответственно.
Пример:
Вынесем общий множитель в выражении \(\mathbf
Мы видим, что выражение состоит из трех слагаемых, каждое из которых является произведением.
В каждом из этих произведений есть множитель а.
Его мы и будем выносить.
В данном случае не стояла задача раскрывать скобки. Мы это сделали, чтобы ответ выглядел более законченным
Также можно выносить несколько множителей одновременно.
Пример:
Вынесем общие множители в выражении \(\mathbf
В данном случае в выражении три произведения, в каждом из которых есть множитель а и с, вынесем их:
Кстати, всегда можно проверить себя, раскрыв скобки и убедившись в равенстве полученного выражения и исходного.
Как мы уже сказали, в роли множителей могут выступать всевозможные выражения, а не только числа или произведения. Покажем на примере.
Пример:
Вынесем общие множители в выражении \(\mathbf
Мы видим, что общий множитель есть у первых двух слагаемых и у вторых двух соответственно, вынесем их.
Получается, что выражение состоит из двух слагаемых, каждое из которых является произведением, и в каждом из этих произведений есть множитель \(\mathbf<(a+b>\), вынесем его:
Так мы получили ответ.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Приведение подобных слагаемых
В заголовке мы упомянули два новых термина, поэтому сначала дадим им определения.
Подобными слагаемыми называют такие слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Пример:
Посмотрим, какие есть подобные слагаемые в выражении \(\mathbf<12ab+2b+3ab+5\frac<1><2>b+0.2b>\)
У первого и третьего слагаемого буквенная часть равна \(\mathbf
У второго, четвертого и пятого слагаемого буквенная часть равна \(\mathbf\), эти три слагаемых являются подобными.
Если же мы зададимся вопросом, являются ли подобными первые два слагаемых, то ответ будет отрицательным.
В самом деле, их буквенные части отличаются: \(\mathbf
Внимательный читатель заметит, иногда \(\mathbf
Нередко для удобства подобные слагаемые подчеркивают, причем каждую группу подобных слагаемых подчеркивают разным типом подчеркиваний:
Теперь зная, что такое подобные слагаемые, приступим к их сложению (приведению).
Чтобы привести (сложить) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Пример:
Возьмем то же выражение и приведем в нем подобные слагаемые.
Как вы видите, процесс очень похож на вынесение общего множителя. В данном случае общим множителем для подобных слагаемых является их одинаковая буквенная часть.
Если мы видим в сумме слагаемое со знаком «минус» перед ним, то и коэффициенты мы будем складывать с этим же знаком.
Пример:
Приведем подобные слагаемые в выражении \(\mathbf<5c+4a-2c+3a>\)
Также достаточно часто встречаются задания вида «раскройте скобки и приведите подобные слагаемые».
Пример:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении \(\mathbf<5a(c+3d)-4c(a-d)>\)
В целом, ничего нового в этом задании нет, надо просто аккуратно применить те приемы, которые мы уже освоили.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Мы уже говорили про математику в литературе, но речь была про малоизвестные случаи.
Наш урок имеет порядковый номер 42, а это число является крайне популярным в культуре!
Известно оно стало из-за книги Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».
В ней сверхразумная раса существ создала мощный компьютер с названием «Думатель» (Deep Thought) с одной лишь целью: найти «Окончательный Ответ на величайший вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого».
После семи с половиной миллионов лет работы компьютер выдал один ответ: число 42.
Дальше отрывок из книги, как отреагировали существа:
“— Сорок два! — взвизгнул Лунккуоол. — И это всё, что ты можешь сказать после семи с половиной миллионов лет работы?
— Я всё очень тщательно проверил, — сказал компьютер, — и со всей определённостью заявляю, что это и есть ответ. Мне кажется, если уж быть с вами абсолютно честным, то всё дело в том, что вы сами не знали, в чём вопрос.
— Но это же великий вопрос! Окончательный вопрос жизни, Вселенной и всего такого! — почти завыл Лунккуоол.
— Да, — сказал компьютер голосом страдальца, просвещающего круглого дурака. — И что же это за вопрос? “
Книга оказалась крайне популярной и читающее сообщество начало гадать, что могло означать это число, какой смысл вкладывал автор.
Но само число стало частью культуры, и, например, в сообществе программистов, часто можно встретить примеры с именно этим числом.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Многочлен стандартного вида
Определение многочлена
Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».
Одночлен — это частный случай многочлена.
Рассмотрим примеры многочленов:
Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:
Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем – 3×2, а не просто 3×2.
Этот же многочлен можно записать вот так:
Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.
Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом.
Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.
Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x – b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.
Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.
Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:
Такие выражения состоят из свободных членов.
Многочлен стандартного вида
Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.
Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.
К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.
Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.
Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.
Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x – xy2
Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.
Степень многочлена
Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.
Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.
Рассмотрим на примере:
Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2
Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:
Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.
Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен второй степени.
Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен второй степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.
В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.
Пример:
Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:
Коэффициенты многочлена
Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.
Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.
Например:
Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.
Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.
Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x – xy2.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x – xy2 = 5x + 5xy2.
Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.
Многочлен приведен к стандартному виду.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.
Подобные слагаемые, их приведение, примеры
Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.
Определение и примеры подобных слагаемых
В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.
Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:
Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.
Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.
Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.
Возьмем для примера выражение 2 · x · y + 3 · y · x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2 · x · y и 3 · y · x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x · y и y · x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.
К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.
Приведение подобных слагаемых, правило, примеры
Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:
Приведем пример таких вычислений.
Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.
Решение