что значит решить задачу разными способами
Урок по математике «Решение задач разными способами»
Тема “Решение задач разными способами”
Вид: закрепление умения решать задачи на основе расширения способа действия.
Ход урока
1. Орг. момент.
Эмоционально-психологический настрой на урок. (Цель: создать эмоционально-психологический контроль)
Мне вспомнилась одна пословица “Корень ученья горек, да плод его сладок”. Как вы понимаете эту пословицу?
Она очень подходит к нашему уроку и вы это поймете.
2. Сообщение темы и цели урока.
— Тема нашего урока “Решение задач разными способами”
— Запишите число и тему урока.
3. Актуализация знаний.
— Мы с вами уже решали очень много самых разных задач, а сегодня я предлагаю вам решить необычные задачи, а задачи в которых есть буквенное значение.
4. Решение задачи.
Для ремонта школы привезли в одинаковых банках 90 кг зеленой краски и 180 кг белой краски. Зеленой краски было 18 банок. Сколько купили банок с белой краской?
1 способ.
1) 90 : 18 = 5 (кг) – в 1 банке.
2 способ.
1) 180 : 90 = 2 (раза) – во сколько раз за белую краску заплатили больше, чем за зеленую.
2) 18 х 2 = 36 (банок.)
— Ребята, что обозначает часть или целое число 90? 18? 180?
— Где мы еще с вами можем встретить часть и целое? (В уравнении)
5. Физминутка.
Если неизвестное число находится сложением – приседаете,
Вычитанием – руки вверх,
Делением – руки вперед.
А – 7 = 18 35 : а = 7 а + 6 = 10 30 – а = 13 а : 12 = 5 а х 4 = 24
— Назовите уравнения, где а – целое.
Решите уравнения второго столбика (по вариантам)
— Ребята, а что такое уравнение?
— А попробуйте теперь решить в паре такое уравнение:
6. Расширение способа действия.
— Мы с вами решали задачу двумя способами. Это были арифметические способы решения. А давайте попробуем решить эту задачу еще одним способом – с помощью уравнения.
— Что мы возьмем за х?
— Вы уже говорили, что уравнение это равенство. Какая величина в нашей задаче равна, одинаковая?
— Исходя из этих данных составьте в группах уравнение по этой задаче. (180 : х = 90 : 18)
— Молодцы! Это алгебраический способ решения задачи.
7. РРО.
— Мы с вами уже решали задачи разными способами, а сейчас попробуйте записать решение задачи в виде уравнения.
Уровень 1.
Реши задачу, составив уравнение.
На крыше сидело 7 голубей. Когда к ним прилетело еще несколько, их стало 15. Сколько голубей прилетело?
Уровень 2.
Реши задачу, составив уравнение.
В 7 одинаковых коробках 21 кг винограда. Сколько килограммов винограда в 4 таких же коробках?
8. Итог урока.
— Разрешите закончить наш урок, задав вам несколько вопросов.
— С чем мы сегодня познакомились на уроке?
9. Домашнее задание.
1 уровень. Найдите в учебнике задачи, которые можно решить уравнением.
2 уровень. Составьте 2 задачи, которые можно решить уравнением – простым и усложненным.
Различные способы решения задач и различные формы записи решения
Страницы работы
Содержание работы
На одном из уроков математики во II классе ученик, получив задание “Реши задачу”, спросил: “Каким способом нужно решать: по действиям или выражением”. Учитель ответил: “По действиям”.
Этот диалог показал, что и учитель, и ученик принимают различные формы записи решения за различные способы ее решения. Посещение уроков, беседы с учителями и учащимися позволили нам сделать вывод, что эта ошибка довольно распространена. Смешение же названных понятий приводит к тому, что, когда требуется действительно решить задачу разными способами, учащиеся либо вовсе не понимают задания, либо понимают его с большим трудом. А это, в свою очередь, снижает обучающие и воспитывающие возможности такого важного вида работы над задачей, как решение задач разными способами.
Поэтому мы считаем своевременным обратить внимание учителей на отличие понятий способа решения задачи и формы записи решения задачи.
Задача считается решенной различными способами, если се решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.
Рассмотрим, например, задачу № 522 из учебника математики для II класса: “Для уроков труда купили 4 катушки белых ниток, по 10 коп. за катушку, и 6 катушек черных ниток по такой же цене. Сколько денег уплатили за эти нитки?”
Эта задача может быть решена двумя арифметическими способами.
При первом из них, наиболее очевидном, первоначально определяют стоимость черных ниток: (10-4)-коп., затем стоимость белых ниток: (10-6) коп. и, наконец, стоимость всех ниток.
При втором способе замечаем, что цена 1 катушки белых ниток та же, что и черных, поэтому вначале можно узнать, сколько всего катушек ниток купили (6+4), а затем определить стоимость всех этих ниток
Запись решения, для каждого способа может быть выполнена в нескольких формах. Покажем все эти формы для каждого способа решения.
Запись решения по действиям с планом.
1. Сколько стоят белые нитки? 10·4 = 40 (коп.)
2. Сколько стоят черные нитки? 10·6=60 (коп.)
3. Сколько денег уплатили за все эти нитки?
1. Сколько всего катушек с нитками купили?
2. Сколько денег уплатили за все эти нитки?
В настоящее время эта форма записи решения задач в начальной школе практически не применяется. Однако мы считаем, что ознакомить с ней учащихся полезно и ее можно использовать на уроках математики, хотя и значительно реже, чем другие формы.
Рассмотрим другую форму записи решения той же задачи — это запись решения по действиям с пояснениями.
1. 10 · 4 =40 (коп) — стоимость белых ниток,
2. 10 ·6 = 60 (коп) — стоимость черных ниток.
3. 40+60=100 (коп.) — стоимость всех ниток.
1. 6+4 = 10 (шт.) — всего купили катушек ниток.
2. 10·10 = 100 (коп) — стоимость всех ниток.
Решение задачи можно также оформить по действиям без пояснений.
Ответ: все нитки стоят 1 руб.
Ответ: все нитки стоят 1 руб.
По задаче можно также составить выражение и найти его значение.
Ответ: все нитки стоят 1 руб
Ответ: все нитки стоят 1 руб.
Запись решения в этой форме осуществляется учащимися в два этапа. Вначале составляется выражение, затем учащиеся находят его значение, после чего запись решения приобретает вид равенства, в левой части которого записано выражение, составленное по задаче, а в правой части — его значение.
Ни в коем случае нельзя называть запись 10 · 4 + 10 · 6 = 100 выражением, так как это противоречит тому определению понятия выражения, которое положено в основу изучения этого понятия в школе. Математическое выражение составляется из цифр, букв, знаков арифметических действий и скобок, но не содержит знаков математических отношений: равенства, неравенства и др. Два математических выражения, соединенные знаком равенства, образуют равенство.
Приведенная выше запись — это равенство, левая часть которого есть выражение, составленное по задаче (10 · 4 + 10 ··6), а правая часть — выражение, состоящее всего лишь из одного числа (100), являющегося значением предыдущего выражения.
При проверке решения задачи, записанной в этой форме, учащимся можно дать такие задания:
1. Прочитайте выражение, составленное по задаче.
2. Назовите значение этого выражения. (Значение составленного по задаче выражения равно 100.)
3. Дайте ответ на вопрос задачи. (Все нитки стоят 100 коп., т. е. 1 руб.)
При решении задач следует правильно употреблять в своей речи соответствующие термины: Решите задачу и запишите решение по действиям с пояснениями. Решите задачу двумя способами, записав каждое решение в виде равенства, левая часть которого — выражение, составленное по задаче. Решите задачу двумя способами. Составьте соответствующие выражения и найдите их значения. Решите задачу и запишите решение вначале по действиям с пояснениями, а затем в виде выражения. Найдите значение этого выражения. Дайте ответ на вопрос задачи.
Решение задач разными способами: способы решения задач в начальной школе, решение задач 2 способами 2 класс
Школьникам проще справиться с примерами на умножение или деление, чем найти ответ в задаче, требующей определенных математических навыков. Учебники по математике для второклассников включают ряд текстовых задач, которые решаются разными способами. Такие задания развивают у детей навыки логического и абстрактного мышления, а также помогают укрепить их способности в решении задач.
Перед вами способы, которые помогут с легкостью решить любую математическую задачу.
Способы решения задач в начальной школе
Школьники часто теряются, когда сталкиваются с решением текстовых задач. Им нужно научиться анализировать информацию и находить полезные инструменты для выполнения заданий.
Особенность текстовых задач в том, что в них прямо не указывается, какое именно действие (или действия) нужно выполнить для нахождения ответа.
Различают несколько способов решения задач – алгебраический, арифметический и графический.
графический способ решения задач: чертёж
Не существует наиболее рационального способа решения, т.к. все варианты в итоге имеют одинаковый ответ.
Петерсон решение задач
Решение задач несколькими способами
На дереве сидело 7 голубей и 5 ласточек. 4 птицы улетели. Сколько птиц осталось?
графический способ решения задачи
графический
В первом ряду изображены голуби, в нижнем — ласточки. Если 4 голубя улетели (их зачеркнули), осталось всего 8 символов.
Ответ: 8 птиц осталось сидеть на дереве.
арифметический способ решения задачи
арифметический
Если улетели ласточки, узнаем, сколько птиц осталось.
5-4 = 1 (ласт.)
К голубям добавим 1 ласточку.
7 + 1 = 8 (пт.)
арифметический 2-й вариант
Если дерево покинули голуби, узнаем, сколько птиц осталось сидеть.
7-4 = 3 (гол.) — осталось
Сложим оставшееся количество голубей и ласточек.
3 + 5 = 8 (пт.)
Ответ: 8 птиц осталось сидеть на дереве.
Решение задач разными способами: 2 класс
Задача 1
В автобусе ехало 16 пассажиров. 5 пассажиров вышло на первой остановке, на второй салон покинуло еще 3 человека. Сколько пассажиров осталось в автобусе?
1 вариант решения арифметический
5 + 3 = 8 (п.) — всего пассажиров вышло на остановках
16 — 8 = 8 (п.) — пассажиров осталось в автобусе
Ответ: 8 пассажиров осталось в автобусе
2 вариант графический
Зеленым цветом помечено количество вышедших пассажиров, красным — количество оставшихся. Подсчитаем деления на красном конце и получим 8 человек.
Ответ: 8 пассажиров осталось в автобусе
Важно! Решение задачи несколькими способами является проверкой правильности. Одинаковые ответы указывают на правильность решения.
Задача 2
Маляру нужно покрасить 15 окон. К обеду он покрасил 5 окон, после обеда — 3. Сколько окон осталось ему покрасить?
1 вариант решения арифметический
5 + 3 = 8 (ок.) — всего окон покрасил маляр
15-8 = 7 (ок.) — окон осталось покрасить
Ответ: маляру осталось покрасить 7 окон
2 вариант решения арифметический
15-5 = 10 (ок.) — окон нужно было покрасить после обеда
10-3 = 7 (ок.) — окон осталось покрасить
Ответ: маляру осталось покрасить 7 окон
Задача 3
Маша купила в магазине несколько ручек. 4 штуки она подарила подруге, после чего у нее осталось 8 ручек. Сколько ручек купила Маша?
1 вариант решения алгебраический
Пускай Маша купила х ручек, 4 она подарила и 8 штук осталось. Имеем уравнение
Х — 4 = 8
Х =8+4
Х =12 (р.) купила всего
Ответ: Маша купила 12 ручек
2 вариант решения арифметический
Общее количество ручек находим из сложения подаренных и оставшихся ручек.
8+4 = 12 (шт.)
Ответ: Маша купила 12 ручек
Задача 4
В веревочном парке Максим до обеда преодолел 6 воздушных троп. А после отдыха он поднялся на 3 столба и одолел 5 подвесных мостов. Сколько всего препятствий покорил Максим?
1 вариант арифметический
Найдем общее количество преград, преодоленных Максимом после обеда.
3 + 5 = 8 (п.) — преодолел;
Сложим преодоленные преграды до отдыха и после отдыха.
6 + 8 = 14 (п.) — всего.
Ответ: Максим преодолел 14 преград
2 вариант арифметический
Найдем количество преград после восхождения мальчика на столбы.
6+3 = 9 (п.)
Всего, после того как преодолел подвесные мосты.
9+5=14 (п.)
Ответ: Максим преодолел 14 преград
Задача 5
У Ирины было 20 красных и 40 синих бусин. Она использовала 30 бусин. Сколько бусин осталось у девочки?
1 вариант арифметический
20 + 40 = 60 (в.) — всего бусин было у девочки
60-30 = 30 (б.) — бусин осталось у девочки
Ответ: у Ирины осталось 30 бусин
2 вариант решения арифметический
Поскольку в задаче не указано, какого цвета бусины использовала девочка, предположим, что девочка использовала синие бусины, тогда
40-30 = 10 (б.) — синих бусин осталось у девочки
20 + 10 = 30 (б.) — бусин осталось у девочки
Ответ: у девочки осталось 30 бусин
Текстовые математические задачи непростые, но, вникая в их суть и регулярно практикуясь, школьник постепенно укрепляет свои навыки. А поверить правильность ответа можно с помощью разных способов решения.
Решение задач различными методами и способами
Презентация содержит приёмы работы над задачами на уроках математики в начальной школе
Содержимое разработки
Решение задач различными методами и способами
Куличенко Валентина Геннадьевна
«Славгородский педагогический колледж»
Умение решать задачу различными способами связывается с развитием гибкости мышления и играет определенную роль в развитии умственных способностей и математического мышления.
Обучение решению задач различными способами способствует более глубокому осознанию задачной ситуации, пониманию взаимосвязей между величинами, входящими в задачу, между данными и искомыми, развивает наблюдательность и математическую зоркость.
В методической литературе отмечается, что решение задачи различными способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.
При оценке разных способов решения активно используются такие умственные операции, как анализ,
что оказывает положительное влияние на развитие умственных способностей учащихся.
Методы решения задач
основан на выборе арифметических действий, обусловленном различными связями и зависимостями между величинами, входящими в задачу, между данными и искомыми.
Задача 1. Для похода туристы закупили 96 банок консервов. В день они расходовали по 8 банок. Сколько банок консервов у них осталось после 10 дней?
Расходовали – 10 дн. по 8 б.
Задача 1. Для похода туристы закупили 96 банок консервов. В день они расходовали по 8 банок. Сколько банок консервов у них осталось после 10 дней?
Расходовали – 10 дн. по 8 б.
Задача 2. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два лыжника и через 2 ч встретились. Найдите скорость каждого лыжника, если расстояние между пунктами было 44 км, а скорость одного больше скорости другого на 2 км/ч.
Пусть х км/ч – скорость первого лыжника,
тогда скорость второго – х+2 км/ч.
Имеем уравнение: 2х+(х+2)*2=44
Пусть х км/ч – скорость второго лыжника,
тогда скорость первого – х-2 км/ч.
Имеем уравнение: 2(х-2)+2х=44
Задача 3. 8 яблок разложили на две тарелки. По скольку яблок на каждой тарелке?
Задача 4. Масса арбуза — 5 кг, а масса дыни на 2 кг меньше. Какова масса дыни?
Почти любую арифметическую задачу, которую решают в 1 классе, можно решить графически без выполнения арифметических действий. При этом учащиеся могут убедиться, что иногда этот подход к решению задач приводит к усложнению, а иногда позволяет легко и просто решить
Задача 5. В парке посадили 40 деревьев, причем на каждую липу приходилось 4 клена. Сколько лип и сколько кленов было посажено в парке?
в процессе поиска решения на основе логических рассуждений можно дать ответ на вопрос задачи.
предполагает использование приемов работы по решению задач различными способами:
Задача 6. Рабочему было поручено изготовить 30 одинаковых деталей за 10 ч. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени?
Задача 6. Рабочему было поручено изготовить 30 одинаковых деталей за 10 ч. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени?
Задача 6. Рабочему было поручено изготовить 30 одинаковых деталей за 10 ч. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени?
Задача 6. Рабочему было поручено изготовить 30 одинаковых деталей за 10 ч. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени?
Решение текстовых математических задач разными способами в системе развивающего обучения Л.В. Занкова
Любопытство. С него все и началось.
П. Джеймс, Дж. Мартин. «Все возможные миры»
Любознание, любознательность – дельное любопытство,
любовь к наукам, к познаниям, желание поучаться.
Вл. Даль. «Толковый словарь живого
великорусского языка»
Опыт практической работы по системе, направленной на общее развитие младших школьников (система Л.В. Занкова), показал мне, что главное достоинство изучения математики в ней состоит в пристальном внимании к развитию творческого потенциала каждого ученика, в соединении репродуктивной и продуктивной деятельности школьников.
Особенно удачной мне представляется система работы с текстовыми задачами, которая позволяет сформировать у каждого ученика полноценное умение решать такие задачи не за счет «натаскивания» на основе ранней типизации задач и большого числа их, а за счет разнообразной творческой деятельности каждого ученика.
Наибольшее внимание в учебниках математики по системе Л.В. Занкова (авторы И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская) уделено разнообразным преобразованиям задач. Сюда относятся:
– преобразование текстов, не являющихся задачами, в задачи;
– изменение вопроса так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);
– изменение условия так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);
– изменение вопроса (условия, данных) так, чтобы задача стала нерешаемой;
– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней появились лишние (недостающие) данные;
– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней исчезли лишние (недостающие) данные;
– изменение текста задачи так, чтобы в ее решении появилось обратное действие.
Помимо заданий, требующих преобразований текстов задач, большое внимание уделяется:
– подбору и самостоятельному составлению обратных задач;
– сравнению задач с одинаковой фабулой, но различным математическим содержанием;
– сравнению задач с разной фабулой и одинаковым математическим содержанием.
Постоянное использование всех этих аспектов работы с задачами дает хорошие результаты, способствует формированию умения решать задачи. К сожалению, значительно меньшее внимание авторы учебников уделяют решению задач разными способами. Число таких заданий значительно меньше, они встречаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются многими учителями как важные.
Между тем мой многолетний опыт показал, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования умения решать задачи.
Прежде всего, необходимо отметить, что решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны, которые позволяют учащимся любить и выбирать этот вид деятельности на уроках математики.
А вот доводы в пользу постоянного решения задач разными способами с позиции учителя: этот вид деятельности способствует интенсивному развитию логического мышления, его глубины и гибкости, создает условия для улучшения речи учащихся (точности произношения и употребления слов, яркости и динамичности), готовит базу для решения задач разными способами в основной школе по разным предметам; способствует осуществлению личностно-ориентированного подхода, адаптации школьников, гуманизации обучения – важнейших проблем современной школы. Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор решения, даже если оно не является традиционным, у него появляется дополнительная возможность справиться с делом. Когда есть выбор при решении задачи, варианты ее оформления – это делает ученика свободным, спокойным, появляется возможность его успеха, возникает устойчивость важной для жизни мысли: «Всегда можно найти выход из сложной ситуации». Все эти мысли и есть часть плана формирования социально адаптированной личности в условиях современной школы.
Заинтересованность учителя в данном виде деятельности плюс игра, поиск, азарт, воображение учащихся убеждают, что необходимо постоянно решать задачи разными способами.
Необходимо отметить, что решение задач разными способами соответствует дидактическим принципам, положенным в основу системы Занкова (обучение на высоком уровне трудности, осознание школьниками процесса учения, развитие всех учащихся – как слабых, так и сильных), а также и свойствам методической системы (многогранность, процессуальность, разрешение коллизий, вариантность).
В своей работе я разделяю такие способы решения задач:
1) арифметические;
2) алгебраические;
3) смешанные.
Из предложенных детьми способов осуществляется выбор рационального способа решения: сначала из перечисленных выше (то есть ученики определяют, как рациональнее решать задачу – арифметически, алгебраически или частично так, а частично так; после такого выбора оцениваются с точки зрения их рациональности конкретные предложенные решения из выделенной на первом этапе категории решений.
Рациональный (лат.) – разумный, целесообразный. При решении рациональным способом числа подбираются так, чтобы с ними было удобно проводить математические операции, или само решение выполняется меньшим числом действий. Но слово «рациональный» не следует соотносить со словом «легкий», так как довольно часто бывает, что учащимся легче решить задачу боRльшим числом действий.
Перед решением задачи возможно использовать следующие формы ее записи, если это необходимо ученикам:
– краткую запись с использованием общепринятых условных обозначений (вот аргумент в ее защиту: требует внимательного чтения текста задачи, «дисциплинирует» числа, позволяет установить взаимосвязь между величинами);
– графическое моделирование задачи;
– таблицу;
– схематическое моделирование;
– рисунок;
– предметное моделирование.
В случае нужды при поиске разных способов решения задачи ученикам предлагаются разные формы помощи (особенно важную роль играет помощь в начале приобщения детей к этому виду деятельности):
– карточки для самоконтроля (на одной стороне каждой карточки вопрос к действию, на другой – само действие). Учащиеся должны восстановить порядок выполнения действий;
– карточки-схемы, определяющие порядок выполнения действий. Например:
– карточки-схемы с элементами подсказки:
– карточки с действиями, когда требуется установить порядок выполнения действий, «собрать» возможные способы решения задачи и дать пояснения к действиям. Приведу пример:
Задача 1. За 3 дня в парке посадили 30 деревьев.
В первый день посадили 15 деревьев, во второй – 7 деревьев. Сколько деревьев посадили в третий день?
30 – 15 30 – 7 30 – 22 15 – 7 23 – 15 15 + 7
1) 30 – 15 = 15 (д.) – посадили деревьев во второй и третий дни.
2) 15 – 7 = 8 (д.) – посадили деревьев в третий день.
1) 30 – 7 = 23 (д.) – посадили деревьев в первый и третий дни.
2) 23 – 15 = 8 (д.) – посадили деревьев в третий день.
1) 15 + 7 = 22 (д.) – посадили деревьев в первые два дня.
2) 30 – 22 = 8 (д.) – посадили деревьев в третий день.
– предлагается карточка, где выполнено 1–2 действия каждого способа, нужно завершить каждый способ по его началу и записать пояснения.
При выполнении решений задач разными способами записи оформляем по-разному:
– решение по вопросам;
– решение с пояснением (эти две формы используются при решении редко встречающихся или совершенно новых видах задач, чтобы развивать речь учащихся, помогать в приобретении умения кратко и точно формулировать свои мысли);
– выражением (этот вариант оформления способствует обобщению);
– возможно использование самой обобщенной записи. Например:
При решении задач разными способами бывают ситуации, когда часть действий разных способов совпадают, поэтому для экономии времени на уроке я ввела ответ на вопрос: «На уровне какого действия появился новый способ решения?» Например, ответ: «Новый способ решения начинается с четвертого действия», означает, что первые 3 действия такие же, как в рассмотренном ранее способе, а действия, начиная с четвертого, – новые. Записываются в таких случаях только новые действия.
Приведу примеры разных способов решения задач, предложенных учениками в начале введения такой деятельности (2-й класс) и в конце начального обучения (4-й класс).
Задача 2 (из «Арифметики» Л.Н. Толстого).
У одного хозяина 23 овцы, а у другого на 7 больше. Сколько у них овец вместе?
1) 23 + 7 = 30 (ов.) – столько овец у второго хозяина.
2) 23 + 30 = 53 (ов.) – столько овец у двух хозяев.
1) 23 + 23 = 46 (ов.) – столько овец было бы у двух хозяев, если бы у второго было столько же овец, сколько у первого.
2) 46 + 7 = 53 (ов.) – столько овец было у двух хозяев в действительности.
1) 23 x 2 = 46 (ов.) – столько овец было бы у двух хозяев, если бы у второго было столько же овец, сколько у первого.
2) 46 + 7 = 53 (ов.) – столько овец было у двух хозяев в действительности.
На этом этапе большинство учеников использовали ту или иную форму помощи для получения нескольких способов решения. Рациональным был признан первый способ, так как у него самые краткие пояснения к действиям.
Задача 3 (№ 262 из учебника «Математика, 4-й класс» авторов И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской).
Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км, и через 4 ч встретились. Определи скорость каждого автомобиля, если один ехал быстрее другого на 12 км/ч.
Арифметические способы
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4) 150 – 69 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 150 – 81 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552 : 2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
4) 276 + 48 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
5) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
6) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648 : 2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
4) 324 – 48 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
5) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
6) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552 : 4 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными.
4) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648 : 4 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
4) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552 : 2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
4) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648 : 2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
4) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 : 2 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными).
3) 12 : 2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость.
4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
1) 4 + 4 = 8 (км/ч) – были в пути два автомобиля.
2) 600 : 8 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными).
3) 12 : 2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость.
4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
Алгебраические способы
Пусть х (км/ч) – скорость второго автомобиля.
Тогда скорость первого автомобиля равна (х + 12) (км/ч).
Скорость сближения автомобилей – (х + х + 12) (км/ч).
Общий путь автомобилей до встречи – (х + х + 12) x 4 (км).
По условию задачи этот путь равен 600 км.
Получаем уравнение: (х + х + 12) x 4 = 600.
Пусть скорость второго автомобиля у (км/ч).
Тогда скорость первого автомобиля (у + 12) (км/ч).
Путь второго автомобиля до встречи равен у x 4 (км), а первого – (у + 12) x 4 (км).
Путь, пройденный двумя автомобилями вместе, – у x 4 + (у + 12) x 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение: у x 4 + (у + 12) x 4 = 600.
Пусть скорость первого автомобиля к (км/ч.)
Тогда скорость второго автомобиля равна (к – 12) (км/ч).
Скорость сближения автомобилей – (к + к – 12) (км/ч).
Путь двух автомобилей до встречи равен (к + к – 12) x 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение – (к + к – 12) x 4 = 600.
Пусть скорость первого автомобиля в – (км/ч).
Тогда скорость второго автомобиля (в – 12) (км/ч).
Путь второго автомобиля до встречи равен в x 4 (км), а первого – (в – 12) x 4 (км).
Путь, пройденный двумя автомобилями вместе: в x 4 + (в – 12) x 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение: в x 4 + (в – 12) x 4 = 600.
Ответ: 81 км/ч – скорость первого автомобиля, 69 км/ч – скорость второго автомобиля.
Конечно, весь комплект представленных решений предложил не один ученик, но каждый из них нашел не меньше трех без использования какого-либо вида помощи с моей стороны.
При выборе рационального способа решения ученики сначала выбрали арифметический способ, мотивируя это тем, что рассуждения проще и решение по действиям выполнить легче, чем решить уравнения. Из всех предложенных арифметических решений в качестве рационального выбран первый. При этом на выбор влияли количество действий (четыре) и их трудность (наиболее легким ученики посчитали сложение в последнем действии).