что значит с в таблице первообразных

Таблица производных и первообразных.

Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.

Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.

Если потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

а) По правилу дифференцирования дроби

б) С использованием свойств степеней

Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы).

Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:

— при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
— при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.

Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?

Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.

так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Источник

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Первообразная

Определение первообразной функции

Можно прочесть двумя способами:

Правила вычисления первообразных

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Неопределенный интеграл

Определение:

Свойства неопределённого интеграла

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция

Первообразная

F(x) + C

Неопределенные интегралы

\int f(x) dx = F(x) + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

Источник

Таблица и правила нахождения первообразных

На этой странице вы найдёте:

1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;

2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;

3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.

В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.

Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.

Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы. Именно с такими функциями и таблицами мы будем сегодня работать.

Но начнем мы, как всегда, с повторения: вспомним, что такое первообразная, почему их бесконечно много и как определить их общий вид. Для этого я подобрал две простенькие задачки.

Решение легких примеров

Пример № 1

Для того чтобы найти, необходимо записать следующее:

Теперь мы окончательно можем посчитать именно ту первообразную, которая нас и интересует:

Пример № 2

Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:

\[F\left( x \right)=\arcsin x+C\]

Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:

Давайте окончательно запишем:

Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.

Поэтому идем далее и переходим к более сложным конструкциям — первообразным показательных функций.

Решение задач, содержащих показательную функцию

Для начала запишем такие формулы:

Давайте посмотрим, как это все работает на практике.

Пример № 1

Давайте найдем первообразную для каждого из слагаемых:

А теперь соберем все слагаемые в единое выражение и получим общую первообразную:

Пример № 2

На этот раз степень уже побольше, поэтому формула сокращенного умножения будет довольно сложной. Итак раскроем скобки:

Теперь от этой конструкции попробуем взять первообразную от нашей формулы:

Правила работы с таблицей первообразных

Еще раз выпишем нашу функцию:

В предыдущем случае мы использовали для решения следующую формулу:

Давайте еще раз перепишем нашу конструкцию:

При вычислении наша конструкция запишется следующим образом:

Мы получили точно тот же результат, но пошли при этом по другому пути. Именно этот путь, который сейчас кажется нам чуть более сложным, в дальнейшем окажется более эффективным для вычисления более сложных первообразных и использование таблиц.

А теперь, когда мы все это поняли, пора перейти к чему-то более существенному. Сейчас мы разберем две простенькие конструкций, однако прием, который будет заложен при их решении, является более мощным и полезным инструментом, нежели простое «беганье» между соседними первообразными из таблицы.

Решение задач: находим первообразную функции

Пример № 1

Давайте сумму, которая стоит в числители, разложи на три отдельных дроби:

Это довольно естественный и понятный переход — у большинства учеников проблем с ним не возникает. Перепишем наше выражение следующим образом:

А теперь вспомним такую формулу:

В нашем случае мы получим следующее:

Чтобы избавиться от всех этих трехэтажных дробей, предлагаю поступить следующим образом:

Пример № 2

В отличие от предыдущей дроби в знаменателе стоит не произведение, а сумма. В этом случае мы уже не можем разделить нашу дробь на сумму нескольких простых дробей, а нужно каким-то образом постараться сделать так, чтобы в числителе стояло примерно такое же выражение как в знаменателе. В данном случае сделать это довольно просто:

Такая запись, которая на языке математики называется «добавление нуля», позволит нам вновь разделить дробь на два кусочка:

Теперь найдем то, что искали:

Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.

Нюансы решения

И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.

Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика. И чтобы попрактиковаться, давайте решим еще три более серьезных примера.

Источник

Что значит с в таблице первообразных

Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.

Зад ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Геометрический смысл первообразной

Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).

Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю

Источник

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F ( x ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C и ∫ k · f ( x ) d x = k · ∫ f ( x ) d x можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

В частности при a = e имеем y = e x

d ( a x ) = a x · ln α · d x

В частности при a = e имеем y = e x

log a x ‘ = 1 x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

d ( log a x ) = d x x · ln a

В частности при a = e имеем y = ln x

Обратные тригонометрические фунции.

Обратные тригонометрические фунции.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3 :

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Решение

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

Источник