что значит сингулярная матрица
Как узнать, является ли матрица сингулярной? [дубликат]
этот вопрос уже есть ответ здесь:
Как мы можем узнать, что матрица 4×4 является сингулярной или нет?
можем ли мы узнать это, не увеличивая нашу данную матрицу с матрицей тождества, а затем делая строку операции?
4 ответов
Итак, как определить, действительно ли матрица сингулярна? (В MATLAB, без использования бумаги и карандаша или символических вычислений или ручных операций строк?) Учебники иногда говорят студентам использовать определитель, поэтому я начну там.
теоретически можно просто проверить, равен ли определитель вашей матрицы нулю. Таким образом
как оказалось, эта матрица действительно сингулярна, поэтому есть способ написать строку M как линейную комбинацию другие строки (также true для столбцов.) Но мы получили значение, которое не было точно нулевым от det. Это действительно ноль, и MATLAB просто запутался? Почему так? Символический определитель действительно равен нулю.
как оказалось, вычисление детерминанта ужасно неэффективно для больших массивов. Поэтому хорошей альтернативой является использование произведения диагональных элементов конкретной матричной факторизации нашего квадратного массива. Фактически, это то, что MATLAB делает внутри det сам для несимметричных входов.
см., что диагональные элементы L являются единицами, но U имеет ненулевые диагональные элементы. И есть хорошие свойства о детерминанте произведения матриц, а также детерминанте верхних или нижних треугольных матриц.
видим, что мы получили тот же ответ. Поскольку факторизация LU достаточно быстра даже для больших массивов, это хороший способ вычислить определитель. Проблема в том, что он использует floating точечная арифметика. Таким образом, эти диагональные элементы U являются реальными числами с плавающей запятой. Когда мы берем продукт, мы получаем результат, который не совсем равен нулю. Последний элемент был ненулевым.
есть и другие проблемы с дет. Например, мы знаем, что матричный глаз(100) чрезвычайно хорошо обусловлен. Это матрица, в конце концов.
теперь, если мы умножим матрицу на константу, это не изменит статус матрицы как сингулярной один. Но что происходит с определителем?
так эта матрица сингулярна? Ведь если det(magic (4)) дает нам 1e-12, то 1e-100 должно соответствовать сингулярной матрице! Но это не так. Еще хуже,
фактически, определитель масштабируется на 0.0001^100, что в matlab будет 1e-400. По крайней мере, это было бы верно, если бы matlab мог представлять такое маленькое число, используя double. Он не может этого сделать. Это число будет уменьшаться. Или так же легко, мы можем сделать это переполнение.
ясно, что все эти масштабированные матрицы идентичности одинаково не сингулярны, но det можно сделать, чтобы дать нам любой ответ, который мы хотим видеть! Поэтому мы должны заключить, что вычисление определителя-ужасная вещь для матрицы. Меня не волнует, что тебе давным-давно сказал Твой учебник, или что сказал твой босс или учитель. Если кто-то сказал вам вычислить определитель для этой цели с помощью компьютера, это был ужасный совет. Период. Детерминанты просто слишком много проблем.
таким образом, ранг может сказать нам, что магический квадрат 4×4 является сингулярным, но наша масштабированная матрица идентичности не является сингулярной. (Хорошо, что ранг может проверить сингулярность неквадратичной матрицы.)
мы также можем использовать cond для тест на численную сингулярность. Наименьшее возможное число условий равно 1,0, что соответствует очень хорошо поведенной матрице. Большие номера условий плохие. В двойной точности это означает, что когда число условий больше, чем около 1e15, ваша матрица очень проблематична.
на самом деле, cond воспринимает, что масштабированная матрица идентичности хорошо обусловлена в конце концов. Большие номера условий плохие. Для матрицы двойной точности-число условий, которое находится в любом месте около 1e15 или около того указывает на матрицу, которая, вероятно, численно сингулярна. Итак, мы видим, что M явно сингулярен. Опять же, cond способен работать с неквадратичными матрицами.
или мы могли бы использовать rcond, инструмент, который оценивает взаимность числа условий. Это хороший инструмент для очень больших массивов. Когда rcond дает номер, который находится где-то рядом с eps, следите!
наконец, для математических головок передач (таких как я) мы могли бы вытащить svd. Ведь СВД это инструмент, на котором основаны cond и rank. Когда одно или несколько сингулярных значений матрицы малы по сравнению с наибольшим сингулярным значением, мы снова имеем сингулярность.
здесь мы рассмотрим, когда сингулярное значение мало по сравнению с наибольшим сингулярным значением матрицы. Приятно, что svd может рассказать нам, насколько близка матрица к сингулярности, и если существует более одного малого сингулярного значения, если дает нам информацию о ранге матрица.
хорошо, что ни один из инструментов, которые я показал, не требует от пользователя выполнения элементарных операций строк или чего-то необычного.
НО, ПОЖАЛУЙСТА, НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ DET! Да, это есть в учебниках. Да, возможно, ваш инструктор или ваш босс сказал вам использовать его. Они просто ошибались, потому что такие инструменты терпят неудачу, когда они применяются на компьютере, который использует арифметику с плавающей запятой. И вы просто не хотите вычислять символический определитель, который будет ужасно неэффективный.
мне жаль, если это было долгое чтение. Я сейчас слезу с мыльницы.
Как уменьшить количество измерений и извлечь из этого пользу
Сначала я хотел честно и подробно написать о методах снижения размерности данных — PCA, ICA, NMF, вывалить кучу формул и сказать, какую же важную роль играет SVD во всем этом зоопарке. Потом понял, что получится текст, похожий на вырезки из опусов от Mathgen, поэтому количество формул свел к минимуму, но самое любимое — код и картинки — оставил в полном объеме.
Еще думал написать об автоэнкодерах. В R же, как известно, беда с нейросетевыми библиотеками: либо медленные, либо глючные, либо примитивные. Это и понятно, ведь без полноценной поддержки GPU (и в этом огромный минус R по сравнению с Python) работа со сколь-нибудь сложными нейронными сетями — и в особенности с Deep Learning — практически бессмысленна (хотя есть подающий надежды развивающийся проект MXNet ). Интересен также относительно свежий фреймворк h2o, авторов которого консультирует небезызвестный Trevor Hastie, а Cisco, eBay и PayPal даже используют его для создания своих планов по порабощению человечества. Фреймворк написан на Java (да-да, и очень любит оперативную память). К сожалению, он тоже не поддерживает работу с GPU, т.к. имеет несколько иную целевую аудиторию, но зато отлично масштабируется и предоставляет интерфейс к R и Python (хотя любители мазохизма могут воспользоваться и висящем по дефолту на localhost:54321 web-интерфейсом).
Так вот, если уж возник вопрос о количестве измерений в наборе данных, то это значит, что их, ну, скажем так, довольно много, из-за чего применение алгоритмов машинного обучения становится не совсем удобным. А иногда часть данных — всего лишь информационный шум, бесполезный мусор. Поэтому лишние измерения желательно убрать, вытащив из них по возможности все самое ценное. Кстати, может возникнуть и обратная задача — добавить еще измерений, а попросту — больше интересных и полезных фич. Выделенные компоненты могут быть полезны и для целей визуализации (t-SNE на это, например, и ориентирован). Алгоритмы декомпозиции интересны и сами по себе в качестве машинных методов обучения без учителя, что, согласитесь, иногда может и вовсе привести к решению первичной задачи.
Матричные разложения
В принципе, для сокращения размерности данных с той или иной эффективностью можно приспособить большинство методов машинного обучения — этим, собственно, они и занимаются, отображая одни многомерные пространства в другие. Например, результаты работы PCA и K-means в некотором смысле эквивалентны. Но обычно хочется сокращать размерность данных без особой возни с поиском параметров модели. Самым важным среди таких методов, конечно же, является SVD. «Почему SVD, а не PCA?» — спросите вы. Потому что SVD, во-первых, само по себе является отдельной важной методикой при анализе данных, а полученные в результате разложения матрицы имеют вполне осмысленную интерпретацию с точки зрения машинного обучения; во-вторых, его можно использовать для PCA и с некоторыми оговорками для NMF (как и других методов факторизации матриц); в-третьих, SVD можно приспособить для улучшения результатов работы ICA. Кроме того, у SVD нет таких неудобных свойств, как, например, применимость только к квадратным (разложения LU, Schur) или квадратным симметричным положительно определенным матрицам (Cholesky), или только к матрицам, элементы которых неотрицательны (NMF). Естественно, за универсальность приходится платить — сингулярное разложение довольно медленное; поэтому, когда матрицы слишком большие, применяют рандомизированные алгоритмы.
Что будет, если из исходного изображения вычесть средние значения каждого столбца, разделить полученную матрицу на корень квадратный из количества столбцов в исходной матрице, а потом выполнить сингулярное разложение? Оказывается, что столбцы матрицы V в полученном разложении в точности будут соответствовать главным компонентам, которые получаются при PCA (к слову, в R для PCA можно использовать функцию prcomp() )
Вернемся к вопросу выбора количества главных компонент. Капитанское правило такое: чем больше компонент, тем больше дисперсии они описывают. Andrew Ng, например, советует ориентироваться на >90% дисперсии. Другие исследователи утверждают, что это число может быть и 50%. Даже придуман так называемый параллельный анализ Хорна, который основывается на симуляции Монте-Карло. В R для этого и пакет есть. Совсем простой подход — использовать scree plot: на графике надо искать «локоть» и отбрасывать все компоненты, которые формируют пологую часть этого «локтя». На рисунке ниже, я бы сказал, надо учитывать 6 компонент:
В общем, как вы видите. вопрос неплохо проработан. Также бытует мнение, что PCA применим только для нормально распределенных данных, но Wiki с этим не согласна, и SVD/PCA можно использовать с данными любого распределения, но, конечно, не всегда результативно (что выясняется эмпирически).
Еще одно интересное разложение — это факторизация неотрицательных матриц, которая, как следует из названия, применяется для разложения неотрицательных матриц на неотрицательные матрицы:
X=WH.
В целом, такая задача не имеет точного решения (в отличие от SVD), и для ёё вычисления используют численные алгоритмы. Задачу можно сформулировать в терминах квадратичного программирования — и в этом смысле она будет близка к SVM. В проблеме же сокращения размерности пространства важным является вот что: если матрица Х имеет размерность m x n, то соответственно матрицы W и H имеют размерности m x k и k x n, и, выбирая k намного меньше самих m и n, можно значительно урезать эту самую исходную размерность. NMF любят применят для анализа текстовых данных, там, где неотрицательные матрицы хорошо согласуются с самой природой данных, но в целом спектр применения методики не уступает PCA. Разложение первой картинки в R дает такой результат:
Если требуется что-то более экзотичное
Какое отношение имеет ICA к задаче уменьшения размерности данных? Попробуем представить данные — вне зависимости от их природы — как смесь компонент, тогда можно будет разделить эту смесь на то количество «сигналов», которое нам подходит. Особого критерия, как в случае с PCA, по выбору количества компонент нет — оно подбирается экспериментально.
В самом простом представлении автоэнкодер можно смоделировать как многослойный перцептрон, в котором количество нейронов в выходном слое равно количеству входов. Из рисунка ниже понятно, что, выбирая промежуточный скрытый слой малой размерности, мы тем самым «сжимаем» исходные данные.
Вышеозначенный автоэнкодер несложно превратить в denoising autoencoder. Так как такому автокодировщику на вход надо подавать искаженные образы, перед первым скрытым слоем достаточно разместить dropout слой. Благодаря ему с некоторой вероятностью нейроны будут находиться в «выключенном» состоянии, что а) будет вносить искажения в обрабатываемый образ; б) будет служить своеобразной регуляризацией при обучении.
Еще одно интересное применение автоэнкодера — определение аномалий в данных по ошибке реконструкции образов. В целом, если подавать на вход автоэнкодера данные не из обучающей выборки, то, понятно, ошибка реконструкции каждого образа из новой выборки будет выше таковой из тренировочной выборки, но более-менее одного порядка. При наличии аномалий эта ошибка будет в десятки, а то и сотни раз больше.
Что значит сингулярная матрица
Показано, что обратная матрица существует только для несингулярной матрицы.
При этом для одной и той же матрицы не могут существовать две различные обратные матрицы.
Сформулирован алгоритм вычисления обратной матрицы.
Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы.
.
Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем
и, следовательно, 
Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.
Используем эти равенства для преобразования матрицы 
:
что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.
Русские Блоги
Факторизация сингулярной матрицы SVD
Сингулярная матричная факторизация SVD
Основная идея разложения сингулярной матрицы заключается в том, что на интерес пользователя влияет только несколько факторов, поэтому разреженная и многомерная матрица оценок User-Item разлагается на две низкоразмерные матрицы, которые изучаются через User и информация о рейтинге элемента. Матрица характеристик пользователя P и матрица характеристик элемента Q используются для прогнозирования оценки продукта пользователем посредством восстановленной низкоразмерной матрицы. Временная сложность SVD составляет O (м3).
1. Разложение на собственные значения:
Если вектор v является вектором признаков квадратной матрицы A, он должен быть выражен в следующей форме:
2. Разложение по сингулярным числам:
3. Применение в неявной семантической модели рекомендательной системы.
Предполагая, что существует K скрытых переменных, нам нужно найти матрицы P (U * K) и Q (K * V):
2. Как мы можем найти лучшие P и Q?
Градиентный спуск (поскольку размерность вектора признаков пользователей и элементов относительно невелика, его можно эффективно решить с помощью градиентного спуска (Gradient Descend)):
1. Определите функцию потерь (плюс член регуляризации)
2. Найдите градиент / частную производную, обновите формулу итерации:
3. Вернитесь к матричному продукту, чтобы добавить немаркированные элементы.
4. Преимущества и недостатки матричной факторизации в рекомендации
Метод матричной факторизации сопоставляет многомерную матрицу оценок User-Item с двумя низкоразмерными матрицами пользователей и элементов, что решает проблему разреженности данных. Использование матричной факторизации имеет следующие преимущества:
1. Его легче программировать, и метод стохастического градиентного спуска можно повторять для обучения модели.
2. Относительно низкая временная и пространственная сложность, отображение многомерных матриц в две низкоразмерные матрицы экономит место для хранения, процесс обучения относительно трудоемок, но может быть завершен в автономном режиме; оценочное прогнозирование обычно рассчитывается онлайн, напрямую с использованием параметров полученные в ходе автономного обучения, можно рекомендовать в режиме реального времени.
3. Точность предсказания относительно высока, а точность предсказания выше, чем у совместной фильтрации на основе полей и фильтрации содержимого.
4. Очень хорошая масштабируемость, удобно добавлять другие факторы к вектору характеристик пользователя и вектору характеристик элемента, такие как SVD ++ с неявными факторами обратной связи и динамическое время SVD ++, этот метод часть предвзятости и интерес пользователя выражаются как функция времени, что хорошо отражает изменение интереса пользователя.
Основными недостатками матричной факторизации являются:
1. Обучение модели требует много времени.
2. Рекомендуемые результаты плохо поддаются интерпретации. Каждое измерение матрицы пользователей и элементов, которое разложено *, не может быть объяснено с помощью концепций в реальной жизни. Невозможно назвать каждое измерение с реальной концепцией, но можно понимать только как потенциальное семантическое пространство.
Русские Блоги
Статья, чтобы понять принцип и применение разложения по сингулярным числам (SVD)
1. Введение
2 Собственные значения и собственные векторы
Прежде чем приступить к выводу SVD, давайте сначала разберемся с определением собственного значения и собственного вектора:
A x = λ x Ax=\lambda x A x = λ x
Каковы преимущества нахождения собственных значений и собственных векторов? То есть мы можем разложить матрицу A по собственному усмотрению.
То есть информация матрицы A может быть представлена ее собственными значениями и собственными векторами.
Таким образом, наше выражение для собственного разложения можно записать как 
Подводя итог, можно сказать, что при разложении по собственным значениям можно получить собственные значения и собственные векторы. Собственное значение указывает, насколько важна эта функция, а собственный вектор указывает, что это за функция. Однако разложение по собственным значениям также имеет много ограничений. Например, преобразованная матрица должна бытьфаланга。
3 Разложение SVD
Мы вычислили как U, так и V, и теперь нет матрицы сингулярных значений Σ, которая не была бы вычислена. Поскольку Σ равно 0, за исключением сингулярного значения на диагонали, нам нужно только найти каждое сингулярное значение σ Ладно.
Мы заметили: 
Таким образом мы можем найти каждое из наших сингулярных значений, а затем найти матрицу сингулярных значений Σ.
Кроме того, мы также можем видеть, что наша матрица собственных значений равна квадрату матрицы сингулярных значений, что означает, что собственное значение и сингулярное значение удовлетворяют следующему соотношению: 
Другими словами, нам не нужно σ i = A v i u i \sigma_=\frac
4 Пример расчета СВД
Для сингулярного значения матрицы A мы можем сначала вычислить его по вольфрамальфе: 
Шаги расчета вручную: 
Как показано на приведенном выше рисунке, мы можем видеть, что SVD может делить матрицу на разные матрицы и складывать их, а коэффициент перед делением является значением SVD. Для сингулярных значений он аналогичен собственным значениям в нашем разложении на собственные числа, и он также находится в матрице сингулярных значений. Расположены в порядке убывания, и особые значения уменьшаются очень быстро. Во многих случаях сумма верхних 10% или даже 1% сингулярных значений составляет более 99% всех сингулярных значений.
Другими словами, мы также можем аппроксимировать матрицу с наибольшими k сингулярными значениями и соответствующими левыми и правыми сингулярными векторами.
Благодаря этому важному свойству SVD можно использовать для уменьшения размерности PCA, чтобыСжатие данных и шумоподавление, Может также использоваться в алгоритме рекомендации для разложения матрицы, соответствующей пользователю и предпочтению, а затем получения неявного запроса пользователя на рекомендацию.
5 СВД используется для PCA
Другими словами, наш алгоритм PCA может быть выполнен без декомпозиции признаков, но с SVD.Этот метод эффективен при большом размере выборки.
Фактически,Реальная реализация алгоритма PCA scikit-learn заключается в использовании SVD.Мы думаем, что вместо насильственного разложения признаков.
С другой стороны, обратите внимание, что PCA использует только правую сингулярную матрицу нашего SVD, а не левую сингулярную матрицу, так в чем же польза от левой сингулярной матрицы?
Предположим, что наш образец m × n m×n m × n Матрица X, если найти матрицу через СВД X X T XX^
может получить один d × n d×n d × n X ’, эта матрица такая же, как и наша исходная m × n m×n m × n По сравнению с матрицей выборки измерений X количество строк уменьшено с m до k, что показывает, что количество строк сжато.
Левая сингулярная матрица может использоваться для сжатия строк.
Правую сингулярную матрицу можно использовать для сжатия количества столбцов, то есть размера объекта, который является нашим уменьшением размерности PCA.
6 Резюме
1. SVD-декомпозиция состоит в том, чтобы разложить матрицу на ее левую матрицу собственного подпространства и правую матрицу собственного подпространства, а матрица собственных значений в середине представляет вес, поэтому нам нужно только каждый раз выбирать эти важные характеристики и сохранять их. Восстановить исходную матрицу практически без потерь;
2. SVD-декомпозицию можно рассматривать как своеобразную исходную матрицуВыражение низкого ранга；
3. SVD может использоваться для шумоподавления данных;
4. SVD можно использовать для сжатия размеров элементов;
Интеллектуальная рекомендация
PAT Class B 1090 Упаковка для опасных грузов
При транспортировке товаров в контейнерах нужно быть очень осторожным, чтобы не упаковать несовместимые товары в ящик. Например, окислитель не должен находиться в одной емкости с легковоспламеняющейся.
Клавиша ярлыка терминатора Ubuntu1804
Установить Рендеринг горячая клавиша Ctrl + Shift + E Вертикальное сегментационное окно Ctrl + Shift + O Горизонтальное сегментационное окно Ctrl + Shift + N Свободно переключите каждое окно сегментац.
Конфигурация резервного копирования библиотеки Postgresl под WIN окружающей среды
1. Изменение основного сервера и в режиме ожиданияИзмените разрешение подключения файла pg_hba.conf базы данных: изменился на: В это время, вы должны убедиться, что вы можете подк.
Каркас TensorFlow для машинного обучения
Компьютерная графика (семь) Кривая Безье (Bessel) и исходный код
Загрузка исходного кода:Нажмите меня, чтобы скачать «Кривая Безье» была изобретена французским математиком Пьером Безье, который заложил основы компьютерной векторной графики. Его основное.