что значит в математике в задачах в
Порядок действий в математике
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!
Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования
Для тех, кто подзабыл матешу
Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.
Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.
Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.
Знак Σ — сумма
Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:
Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.
На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:
Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».
Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:
Произведение П
С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:
А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:
Что дальше
Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.
Числовые и буквенные выражения. Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
Например, это НЕ математические выражения:
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Велосипедист едет со скоростью \(v_<1>\) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_=3\cdot v_<1>\);
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_
= v_<1>-15\).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.3 / 5. Количество оценок: 8
Как решать текстовые задачи?
В этом уроке мы с вами займёмся классическими школьными задачами! Да-да, теми самыми старыми добрыми задачками про трубы и бассейны, автомобили и поезда, лодки и катера, велосипедистов и лыжников, строителей и маляров — и так далее.) По-другому их ещё называют текстовыми задачами.
Название говорит само за себя: условие задачи дано словами. То есть, в виде текста. Но текста не простого, а золотого… пардон… наполненного математическим смыслом! И наша с вами основная задача будет уловить этот самый смысл да грамотно перевести обычные русские слова в чистую математику. А той — всё по плечу! Именно этим увлекательным процессом (переводом слов в математику) мы большей частью и будем заниматься на протяжении всех уроков этого раздела. Приступим?)
Какие бывают задачи по математике?
Задач в математике очень и очень много. Самых разных — простых и сложных, коротких и навороченных. Но всё богатое многообразие текстовых задач можно условно разделить на четыре основные группы.
1) Задачи на движение.
2) Задачи на работу.
3) Задачи на проценты (в т.ч. на смеси, сплавы и т.д.).
Из текста задачи сразу становится понятно, к какой именно группе она принадлежит. Если что-то или кто-то куда-то движется (едут поезда, автобусы, велосипеды, плывут лодки, идут туристы и т.д.), то перед вами типичная задача на движение. Если же кто-то что-то делает (строители строят дом, маляр красит забор, труба наполняет бассейн, землекоп роет канаву, писатель пишет книгу и т.д.) — задача на работу. Если речь идёт о процентах (а также долях, частях, концентрациях и т.п.) — соответственно задача на проценты (или на части, на дроби). Ну а если что-то кардинально другое (например, покупки в магазине, целые числа и т.п.) или же несколько групп в одном флаконе (скажем, одновременно работа и проценты), то эта задачка уже из разряда «прочие». Всего и не предугадаешь. Математика — она большая, да…)
А зачем вообще делить задачи на какие-то группы?! Решай себе, да и дело с концом! А вот зачем. Дело всё в том, что для каждой группы текстовых задач существует своя ключевая формула для решения. Эта формула-ключ — едина для всей группы. Разумеется, за исключением задач из группы «Прочие». Там свои порядки. Можно и вовсе без ключей обойтись, а может пригодиться и несколько ключей сразу. Всё от конкретной задачи зависит.
Что же такое формула-ключ? Это основная формула для решения задач из конкретной группы, которую надо знать железно! Ибо без этой формулы-ключа — никак. Причём никак от слова «совсем»… Зато с ключом — всё легко и просто! Зная формулу-ключ, вы будете в состоянии решать любые задачи из конкретной группы: простые, сложные — всякие! Заманчивая перспектива, правда?)
Как решать задачи из конкретной группы, подробно будет разобрано в соответствующих уроках. А в этом уроке мы с вами разберём самый общий принцип решения задач по математике любой группы. Краеугольный камень, если можно так выразиться. Который лежит в основе победы даже над самой-самой злой задачкой.)
Как решать текстовые задачи?
Так как же решать задачи?
Решение любой (да-да, именно любой!) текстовой задачи всегда состоит из двух основных этапов. На первом этапе надо по условию задачи составить уравнение (или систему уравнений). А на втором этапе надо это самое уравнение или систему (вы не поверите) решить.)
Как решать уравнения — переходим по ссылке и постигаем. А вот как составлять эти самые уравнения для любых текстовых задач по математике, этим мы займёмся прямо здесь и сейчас.
Как составить уравнение для задачи?
Рецепт здесь универсальный. Сначала (всегда!) определяем группу, к которой относится задача. Вспоминаем формулу-ключ для этой группы и записываем рядышком с условием. Пригодится.)
А вот дальше начинается самое интересное. Нам что нужно? Правильно, составить уравнение! Для составления уравнения надо что-то взять за икс. А вот дальше, читая задачу, делать с иксом все те действия, которые описаны в условии. При этом икс выступает как бы известной величиной. Вот в результате всего этого набора действий и получается уравнение.
Что же брать за икс? Этот момент — стратегический. Это самая важная часть решения любой текстовой задачи. Именно ответ на этот вопрос и является основной проблемой в решении текстовых задач. Ибо от удачного выбора того, что взять за икс, зависит и общий итог решения: получится/не получится. Многие ученики на этом вопросе решение задачи и заканчивают. А зря…
Возьмите за икс вопрос задачи!
Да-да! Вот, что спрашивают в задаче, то и берите за икс! Спрашивают, сколько километров проехал велосипедист? Вот и пишем: «Пусть велосипедист проехал х километров!» Сколько часов работал слесарь? Нет проблем! Слесарь работал х часов! Сколько килограммов золота в сплаве? Да х килограммов! И так далее…
Всегда ли такой выбор икса срабатывает? В подавляющем большинстве текстовых задач — да. Разумеется, думать головой никто не отменял, да.) Иногда вопрос простой, но за икс никак не берётся. Например, в задаче могут фигурировать Саша, Петя и Вася. Допустим, они занимаются чем-то полезным (скажем, красят забор). Даны все соотношения, но вопрос задачи поставлен так: «Кто из мальчиков красит быстрее всех?»
И что? Как нам такой вопрос за икс брать? Никак. В таких случаях приходится брать за икс что-нибудь конкретное. Производительность Саши, например. Вычислить все остальные производительности, а затем дать и окончательный ответ задачи.
Отсюда простое правило: если не знаете, что именно брать за икс — берите вопрос задачи! Чаще всего этого вполне достаточно. Что-то не срастается — не беда. Делаем вторую попытку, пробуем брать за икс другую величину, третью… Подбираем варианты как ключики к замку. Что-то да сработает!
Кстати, это относится не только к текстовым задачам, а ко всей математике вообще. Кто пробует, у того и получается. Рано или поздно, но — получается! А вот кто не пробует, тому ничего и не светит. Увы…
Учимся составлять уравнения!
Итак, для составления уравнения нам нужно просто перевести условие задачи из текста в формулы. Допустим, мы определились и что-то выбрали за икс. Удачно, неудачно — неважно. Выясним при составлении уравнения для задачи. Кстати, эта увлекательная процедура (перевод словесного описания задачи в математическую форму) носит название составление математической модели задачи.
Что же нам делать с иксом-то? Ну выбрали и выбрали — и что из этого?
А вот что. Как только мы что-то выбрали за икс, с этого момента наш икс становится как бы известной величиной. Да! Именно так. Покажу на конкретном примере, как это выглядит. Ибо, как говорится, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, да…)
Настя пошла в магазин за продуктами и купила батон хлеба, пакет молока и пачку масла, а на оставшиеся деньги купила мороженое. На молоко Настя потратила на 20 рублей меньше, чем на масло, но на 50 рублей больше, чем на хлеб. За мороженое Настя заплатила 40 рублей, а все продукты обошлись Насте в 250 рублей. Сколько стоит молоко?
Ничего не боимся и работаем строго по этапам. Первым этапом определяем группу, к которой относится задача. Движение есть? Нет его. Работы тоже нет. Да и процентами, к счастью, не пахнет. Значит, задача из группы «прочие». Стало быть, никаких формул-ключей применять не надо.
Вторым этапом выбираем, что взять за икс. Думаем, прикидываем и так и сяк, а потом просто машем рукой и пишем вопрос задачи:
Пусть молоко стоит х рублей.
Ну вот. Начало положено. А теперь внимательно читаем условие задачи ещё раз и выкачиваем из текста всю ценную информацию. Первое предложение никакой математической нагрузки не несёт. Зато во втором предложении натыкаемся на слова: «На молоко Настя потратила на 20 рублей меньше, чем на масло…»
А вот эту фразу уже можно в дело пустить! Напоминаю, что икс (стоимость молока) мы считаем как бы известной величиной. С которой можно делать всё что угодно. Вот о чём говорится в задаче, то и делаем! Раз нам сказано, что на молоко Настя потратила на 20 рублей меньше, чем на масло, то сколько же она потратила на масло? Правильно! На 20 рублей больше, чем на молоко (х рублей)! То есть (х+20) рублей.
х+20 — стоимость масла.
Отлично! Процесс идёт.) Читаем условие дальше: «…, но на 50 рублей больше, чем на хлеб.» Стоп! Это важно. Можно записать стоимость хлеба. Ведь стоимость молока нам как бы известна! Это икс рублей. А хлеб на 50 рублей дешевле.
х-50 — стоимость хлеба.
Вот и ещё одну величину скачали и перевели из текста в математику. Читаем внимательно дальше. Мороженое пока что никак в нашу модель не вписывается, ну и ладно. Его учтём в самом конце. А вот следующие слова: «… все продукты обошлись Насте в 250 рублей.» – сразу ставят всё на свои места! Ведь у нас все продукты уже записаны: и хлеб, и молоко, и масло! Сложим всё вместе, да мороженку-то не забываем:
(х-50) + х + (х+20) + 40 = 250
Всё! Уравнение составилось и записалось само собой.)
Решаем этого монстра и получаем:
Это и есть ответ. Молоко стоит 80 рублей.
Что, примитивная задачка? Что ж, можно и усложнить. Задать вопрос по-другому. Например, так: «На сколько рублей молоко дороже мороженого?»
«А чего тут думать-то?» — спросите вы… На 40 рублей, конечно же!
Согласен, элементарно… когда задача уже решена. Для молока. А если не решена? Что тогда брать за икс? Вопрос задачи? Не канает! По той простой причине, что этот вопрос — разницу в цене — никуда не пристегнёшь. Ничего у нас не запишется, уравнение не составится…
Здесь как раз тот самый случай, когда вопрос задачи не годится в качестве икса. Что делать? Да просто взять за икс что-нибудь конкретное! Не обязательно брать именно молоко, можно хлеб, например. Решить задачу для хлеба, отыскать все остальные цены, а уж потом и нужную разницу в цене сосчитать.
Кроме того, такая постановка вопроса — наглядный пример той ситуации, когда выбранный икс (неважно, молоко это, хлеб, масло…) не будет служить ответом на вопрос задачи! Да-да! Многие про эту фишку забывают, записывают радостно найденный икс в ответ и… все труды идут коту под хвост… Посему железно запомните элементарное, но глобальное правило:
Перед записью окончательного ответа ещё раз прочитайте условие задачи! Это гарантированная защита от очередного источника досадных ошибок.
Итак, вот он, универсальный алгоритм решения любых текстовых задач:
1. Определяем, к какой группе относится задача. Вспоминаем формулу-ключ для этой группы и записываем рядышком с условием на всякий случай.
2. Вводим неизвестную величину. Для этого выбираем, что взять за икс. Если с выбором сложности, то берём за икс вопрос задачи. Чаще всего этого достаточно.
3. Используя формулу-ключ (или здравый смысл и житейскую логику), переводим текст задачи в математическую форму, считая икс как известную величину. Расписываем все остальные величины через икс и строим математическую модель задачи. Или, что то же самое, составляем уравнение. Если что-то не стыкуется, то, скорее всего, выбор икса неудачный. Пробуем выбрать другую величину, третью…
4. Записываем уравнение и решаем его. Находим икс.
5. Читаем ещё раз условие! Чего спрашивают-то… Используя найденный икс, отвечаем на нужный вопрос задачи и записываем окончательный ответ.
Специально ещё раз заостряю ваше внимание на самом последнем пункте. Забывают про него частенько. А потом начинают на себе волосья драть, подавать необоснованные жалобы, апелляции за вполне заслуженно сниженные баллы на ЕГЭ или ОГЭ…
Ну что, я считаю, что пришла пора потренироваться в составлении уравнений для простеньких задачек! А вы что думаете?) Сразу обрадую, что никаких специальных формул-ключей здесь применять не надо, достаточно расписать условие, составить математическую модель и… готово дело.) Но вынужден и огорчить: в каких-то задачах хорошо брать за икс сам вопрос, а в каких-то нет. Тут уж вы сами.)
1. Турист путешествует пешком по Карелии, по болотам и тайге, и за три дня одолел целых 100 км! В первый день он прошёл на 5 км меньше, чем во второй, но на 10 км больше, чем в третий. Сколько километров прошёл турист в первый день?
2. У кассира набралось мелочи на общую сумму 800 рублей, состоящую из рублёвых, двухрублёвых, пятирублёвых и десятирублёвых монеток. Известно, что пятирублёвых монет было в два раза больше, чем десятирублёвых, но на 20 меньше, чем двухрублёвых, а количество рублёвых монет было 40 штук. Сколько всего монет у кассира?
3. У Ани день рождения! Такое радостное событие Аня решила отметить в хорошем ресторане. Внимательно изучив меню, на первое Аня заказала себе суп-пюре из шампиньонов, на второе — спагетти с морепродуктами, на десерт — торт «Тирамису», а в качестве напитка — безалкогольный мохито. Попраздновав от души, Аня отдала 1500 рублей официанту, после чего, попрощавшись и не беря сдачи, довольная покинула ресторан. Сколько стоит самое дорогое блюдо, если известно, что:
1) Тирамису на 100 рублей дороже супа-пюре, но на 120 рублей дешевле спагетти, а мохито дешевле спагетти в 2,5 раза?
2) Добровольные чаевые официанту за безупречное обслуживание составили 140 рублей.
Ответы (в беспорядке): 210; 500; 35.
Ну а где километры, монеты, рубли — это уж вы сами как-нибудь…)