что значит за точку взята точка

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Обобщающий урок «Теоремы Менелая и Чевы»

Разделы: Математика

Оборудование: мультимедийный проектор. Приложение 1.

1. Организационный момент.

Точка С₁ делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В₁ лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ₁. В каком отношении делит прямая В₁ С₁ сторону ВС? (на слайде 2).

Решение: По условиюИспользуя теорему Менелая, находим: .

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4).

Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR. (на слайде 5).

Решение: По условию NQ = LR, . Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая

3. Отработка практических навыков.

Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. (рисунок 1 слайд 6).

Доказательство: Пусть АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ₁, ВМ₂ и СМ₃ пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М₃С пересекает две стороны треугольника АВМ₂ и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая

или .

Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ₁С и АМ₂С, мы получаем, что

. Теорема доказана.

Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 2 слайд 6).

Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL_1, BL_2, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 3 слайд 6).

Доказательство: Пусть АН₁, АН_2, АН₃ – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН₂ и ВСН₂ по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН₂, обозначив АН₂ = х, СН₂ = b – х.

Итак, АН₂ = , СН₂ = .

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН₂ и ВСН₃, ВАН₁ и САН₁, получим АН₃ = , ВН₃ = и ВН₁ = ,

СН₁ = .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН₁, ВН₂ и СН₃ пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН₃, ВН₃, ВН₁, СН₁, СН₂ и АН₂ через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

Задачи 5 – 7 самостоятельное решение 3 учащихся. (чертежи на экране).

2. остальные:

Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке. (на рисунке 4 слайд 6).

Доказательство: Пусть А₁, В₁ и С₁ – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения: ВС₁ = ВА₁ = х, СА₁ = СВ₁ = у, АВ₁ = АС₁ = z.

. Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. Теорема доказана.

3. Разбор задач 5, 6, 7.

Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. (на слайде 7 рисунок 1)

Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то = . По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: . Итак, = .

В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А₁ и С₁ – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА₁ и СС₁. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ₁. Найдите АР : РА₁.

(на слайде 7 рисунок 2)

Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В₁, так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С₁В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = .

В треугольнике АВА₁ прямая С₁С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая .

Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. (на слайде 7).

Решение: Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО : ОD. Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то , то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF – биссектриса треугольника АВС, то , то есть AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая .

4. Самостоятельное решение задач 9, 10, 11. – 3 учащихся.

Задача 12 (для всех оставшихся учащихся класса):

Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (рисунок 4 на слайде 7).

Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, , тогда S_ABC = _.

5. Разбор задач 9, 10, 11.

Решение задач – практикум:

А. На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А_1, В₁, С_1, так что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ – конкурентные.

Докажите, что

По теореме Чевы имеем: (1 ).

.

Что и требовалось доказать.

По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей MN имеем:

. По условию следовательно ,

Для треугольника MNC и секущей АВ по теореме Менелая имеем: по условию

8. Самостоятельное решение задач: 1 вариант:

1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁ так, что АВ = ВС₁, ВС = СА₁, СА = АВ₁. Найдите отношение в котором прямая АВ₁ делит сторону А₁С₁ треугольника А₁В₁С₁. (3 балла).

2. На медиане СС₁ треугольника АВС взята точка М. Прямые АМ и ВМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках А₁ и В₁. Докажите, что прямые АВ и А₁В₁ параллельны. (3 балла).

3. Пусть на продолжении сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В_1. Докажите, что точки А₁, В_1, С₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла).

4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).

5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).

6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁ так, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов).

7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, D_1. Докажите, что точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).

1. Точки А₁ и В₁ делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. (3 балла).

2. Отрезок МN, соединяющий середины сторон АD и ВС четырехугольника АВСD делится диагоналями на три равные части. Докажите, что АВСD – трапеция, одно из оснований АВ или СD, которое в двое больше другого. (3 балла).

3. Пусть на стороне АВ и продолжении сторон ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла).

4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла).

5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов).

6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁ так, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов).

7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, D_1. Докажите, что точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов).

9. Домашнее задание: учебник § 3, № 855, № 861, № 859.

Источник

Что значит за точку взята точка

В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4.

а) Обозначим По теореме о внешнем угле треугольника Треугольник ABD равнобедренный, поэтому а так как AM параллельна BD,

Следовательно, AM — биссектриса угла BAC.

б) По свойству биссектрисы треугольника значит,

Tреугольник DCB подобен треугольнику ACM с коэффициентом поэтому

В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 54 и известно отношение AC : AB = 5 : 4.

а) Обозначим По теореме о внешнем угле треугольника Треугольник ABD равнобедренный, поэтому а так как AM параллельна BD,

Следовательно, AM — биссектриса угла BAC.

б) По свойству биссектрисы треугольника значит,

Tреугольник DCB подобен треугольнику ACM с коэффициентом поэтому

Аналоги к заданию № 556588: 556596 Все

В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN =&nbspAC.

а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.

б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8.

а) Прямоугольные треугольники ABC и NMC равны по двум катетам. Пусть угол BAC равен α, тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

б) По условию CN = AC и CM = BC, поэтому

откуда то есть ALM — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит,

Ответ: б)

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.

а) Заметим, что следовательно, треугольники BMN и NKA подобны по соотношению двух сторон и равенству углов, заключенных между этими сторонами. Тогда следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.

б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому и Из точек A и O отрезок KN виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN. Вписанные в эту окружность углы KAO и NAO опираются на равные хорды, поэтому AO — биссектриса угла KAN.

Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы

Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, Тогда Следовательно,

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 3AN. Точка B лежит на стороне KN и KB : BN = 2 : 1.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.

а) Поскольку то и прямоугольные треугольники BMN и NKA подобны по двум пропорциональным катетам. Значит, Следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.

б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому и Из точек A и O отрезок KN виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN. Вписанные в эту окружность углы KAO и NAO опираются на равные хорды, поэтому AO — биссектриса угла KAN.

Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы

Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, Тогда Следовательно,

Аналоги к заданию № 556617: 556624 Все

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.

значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°.

По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,

а значит, LC — высота треугольника KLM.

б) Обозначим отрезки буквами для удобства: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда

и

Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда

и

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющейся основанием треугольника и равным

Следовательно, искомая площадь равна

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.

значит, четырёхугольник LACB вписанный. Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда углы ACL и LBC равны 45°.

По условию углы KCA и MCB равны 45°. Следовательно,

а значит, LC — высота треугольника KLM.

б) Для удобства обозначим отрезки буквами: BC — a, AC — b, AB — c и CL — d. Пусть P — точка пересечения CL и AB. Тогда по доказанному в пункте а) отрезок CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы AP : PB = AC : CB = b : a, AP + PB = AB = c. Отсюда

и

Поскольку углы ACL и LBC равны 45°, получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам, тогда

и

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC, обозначенной буквой d, на сторону, являющуюся основанием треугольника и равную

Следовательно, искомая площадь равна

Аналоги к заданию № 562144: 562151 Все

Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 7,

а) Рассмотрим треугольники BCN и BAM. По условию AM = AD = BC, AB = CD = CN. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы MAB и BCN. Таким образом, треугольники BNC и BAM равны по двум сторонам и углу между ними, значит, равны и их соответственные стороны BN и BM. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, тогда равны их диагонали, поэтому AC = BM = BN = 7. Имеем:

Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:

откуда

Ответ:

Аналоги к заданию № 563666: 563667 Все

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если

а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA₁ и CC₁ — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому

б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем Сторону AC найдём по теореме косинусов:

Тем самым,

Ответ: б)

Докажем утверждение, использованное при решении пункта а).

В четырехугольнике сумма прямых углов и равна 180°, поэтому сумма двух других углов и также равна 180°. Тогда Углы и ABC равны как вертикальные, поэтому Таким образом, тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°.

Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б).

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения его высот равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Действительно, пусть высоты AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Стороны прямоугольных треугольников АСС₁ и ВНС₁ взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС₁ и ВНС₁ равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда откуда Для остроугольного треугольника доказательство аналогично. Для прямоугольного треугольника доказательство напрямую следует из определения котангенса.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года.

Приведем другое решение пункта б):

Рассмотрим треугольник C₁CH, заметим, что угол C₁CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA₁ катет BA₁ вдвое меньше гипотенузы: BA₁ = 4. Значит, АA₁ = 11. Из треугольника AA₁H находим Теперь по теореме Пифагора вычисляем:

Приведем ещё одно решение пункта б):

Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра откуда получаем: (это же следует из подобия треугольников и ).

Из прямоугольного треугольника CBA₁ находим катет BA₁, противолежащий углу в 30°: BA₁ = 4. Из треугольника АВС находим высоту:

Тогда

Источник

• ← что делать если разбился градусник с ртутью на улице
• что делать если потерялась собака в селе →