что делать если не понимаешь геометрию 7 класс
Как научиться хорошо и быстро решать задачи по геометрии
Как подружиться с геометрией, если предмет кроме страха, других эмоций не вызывает? Этим вопросом с одинаковой частотой задаются как сами ученики, так и их родители. Многим, сложно преодолеть психологический барьер и начать просто вникать в тему. О том, как правильно подойти к изучению, этого, действительно сложного предмета, в нашей статье.
Распространенная причина страха
На 90% отношение к предмету формирует преподаватель. Если он сумеет пробудить в детях живой интерес – в геометрии начнут разбираться даже самые закоренелые троечники. Дети будут готовы оставаться на перемене в классе, только чтобы рассмотреть еще один вариант решения задачи.
Если же, предмет объясняется скучно, непонятно, вникнуть в тему будет сложно. В таких случаях, рекомендуем воспользоваться нижеописанными советами.
С чего начать изучение
Первое, что нужно сделать, перед тем, как погрузиться в изучение предмета – осознать, за один день ничего не произойдет. Процесс обучения займет определенное количество времени. Сколько конкретно, зависит от поставленной цели. Если в планах просто хорошая оценка на экзамене, или нужно написать контрольную, достаточно изучить конкретную тему и немного попрактиковаться.
Вникнуть в предмет: рабочие приемы
Пролистайте в учебнике несколько последних параграфов. Спешить не нужно, старайтесь вникнуть в написанное. После, попытайтесь решить несколько задач. Постоянно возвращайтесь к тексту в учебнике, постарайтесь самостоятельно «увидеть» алгоритм решения задачи.
Если первое время, испытываете какие-либо затруднения, ничего страшного. Главное, не опускать руки, и проявить упорство. Загляните в выпущенный к учебнику, решебник, но не просто списывайте готовые решения, а попытайтесь ухватить логику алгоритма. Если подобную задачу рассматривали на уроке, попробуйте вспомнить, что говорил учитель по этой теме. Возможно, что-то из озвученного им, пригодится.
Не пренебрегайте помощью сверстников. Иногда, одноклассники, друзья, сестры или братья, могут донести суть изучаемой темы гораздо быстрее, чем это сделал бы взрослый человек.
Другое дело, если перед учеником стоит задача более глубокого погружения в предмет. Усилий потребуется гораздо больше, и опять, на первом месте будет стоять мотивация и осознание, того, что придется потрудиться. Помните! Решить одну задачу самостоятельно, а потом скатиться к систематическому списыванию из интернета готовых решений, не поможет. Упражняться в решении следует систематически и довольно часто. Прекрасно, если полчаса или даже час в день, вы будете посвящать исключительно геометрии.
Достичь поставленной цели и овладеть предметом на должном уровне поможет только практика. Пусть решение 1-2 задачек в день, станет привычкой. Со временем, вы отметите про себя, что процесс решения идет все легче, а находить правильные ответы становится интереснее.
Если на уроке рассматривается задача и учитель предлагает желающим попробовать решить ее у доски, отзывайтесь, даже пока не видите, как ее осилить. Начните рассуждать. Преподавателям всегда приятно, когда ученик искренне интересуется предметом. Учитель обязательно включится в ваши рассуждения. Там, где нужно, поможет. Направит ход мыслей в нужном направлении. Вы запомните алгоритм, и в следующий раз с блеском справитесь самостоятельно.
Использовать по желанию
Если геометрия не дается ни в какую или требуется понимание предмета, выше школьного уровня, можно провести несколько занятий с репетитором. Индивидуальные занятия с преподавателем практически всегда дают хороший результат. Репетитору даже не обязательно посещать лично. Организовать уроки, при современных технологиях, возможно по скайпу или через другие подобные приложения.
Вот и все рекомендации. Ничего сложного, а польза огромная. Просто выполняйте их, и вы даже не заметите, как серьезно продвинетесь в геометрии.
Низкая подготовка детей по геометрии
Первый «репетиторский» пост вызвал небывалый ажиотаж, поэтому пишу еще. Если кому интересно, то могу продолжать. Не только свои рассуждения, но и всякие разные истории из преподавательской деятельности. Забавные и грустные 🙂
Я думаю, что многие родители замечали, что у детей понимание геометрии страдает. Даже в сравнении с той же алгеброй. Это не только сейчас началось, такое наблюдается уже который год. Казалось бы, геометрия начинается лишь в 7 классе, но нередки случаи спасения утопающих уже в этом самом 7 классе. Как же так выходит и в чем причины?
Не раз я сталкивалась не просто со слабым уровнем, а с практически нулевым. Причем по алгебре стоит хотя бы «6», а геометрия «2» или нарисованная «6». Когда я говорю ученику: «Начерти равнобедренный треугольник», а это вызывает трудности. Почему так?
Вопрос действительно сложный и важный. По мимо индивидуальных особенностей ребенка к восприятию этой науки, есть и достаточно объективные причины. Рассмотрим, как по мне, два самых главных момента – временной и дидактический.
Во-первых, стоит сказать, как построено изучение геометрии в школе. Геометрия как таковая начинается не только в 7 классе, как думают многие ученики и их родители. Основы закладываются еще с 3 класса. Умение управляться с карандашом и линейкой, умение искать площадь и периметр в младших классах – это уже геометрия.
Важнейший момент – это понимание понятий. Каждый второй ребенок найдет периметр прямоугольника по формуле Р=(a+b)*2. Но не каждый скажет, что периметр – это сумма всех сторон. И, казалось бы, в чем беда? Задачу решает, ДПА в 4 классе сдал хорошо, что еще нужно? А проблемы будут в 7 классе, когда введут треугольник, дадут его стороны и скажут: «Найди-ка периметр». И что вы думаете 50% детей сделают? Да, они прибавят какие-то стороны (все или две любые) и умножат это на два. У них вбито в голове, что в периметре есть умножение на два, а значит что-то нужно умножать.
Похожая проблема и с площадью. Спросите, что такое площадь у своего ребенка. Не каждый ответит, что это ограниченное пространство на плоскости, зато каждый второй назовет формулу S=a*b. Детей сегодня натаскивают на формулы, а не на понимание. И ведь приведенные выше два примера – это база, основы.
Дальше пойдем по классам, 5-6 классы. Это все еще математика, но уже проходят плоские фигуры и объемы прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, конуса и т.д. Ищут площади как на плоскости (планиметрия), так и площади полной и боковой поверхностей в пространстве (стереометрия).
Ко мне на днях пришел ученик, 6 класс, который не понимал в принципе что такое площадь боковой поверхности цилиндра, но зато есть формула! Ему только сегодня ввели понятия: образующая, высота, радиус, диаметр, число Пи в конце концов. И тут же на формулу – решай! А что такое площадь учитель не сказал. Но и школьного учителя я не могу винить, откройте учебник 6 класса и посмотрите сколько там дается на эти темы. Два урока! В общей сложности 90 минут. И о каком понимании предмета может идти речь в принципе?
И у меня, как у репетитора, нет возможности такого ребенка натаскать, разве что на каникулах в режиме нон-стоп. Но волшебным образом на каникулах половина детей пропадает, да и те, кто остаются банально не тянут всю ту базу. Спасают летние каникулы, но это вообще самое неблагодарное время работы репетитора – количество желающих подтянуть математику оставляет желать лучшего.
Моделируем дальше ситуацию, с 1 по 6 класс были некоторые моменты геометрии, но они были наспех и рывками. Дети без четкого понимание этих основ переходят в 7 класс. И тут – отдельный предмет! Вот мы и ответили на заданный вопрос в самом начале, откуда проблемы у 7-классника.
Алгебра ребенку привычнее, там цифры хотя бы побольше 🙂 А тут формулы, фигуры, правила оформления задач и ночной кошмар всех детей – теоремы и их доказательства. И на каждую подтему один урок, 45 минут. Что за это время можно успеть? Мало того, что весь предмет в новинку в принципе, тут еще нехватка времени.
Многие банально боятся геометрии. Я учу с самого начала занятий так: прочитал задачу, черти что дано, записывай условие, определяй, что нужно найти или доказать. И пробуй-пробуй! На глаз я тоже не каждую задачу решу, мне надо начать. А ребенку так тем более. Проблема в том, что алгоритма как такового нет, нужно пытаться, всегда одинаковых задач только с другими цифрами не будет, в этом отличия от некоторых шаблонных тем алгебры. Геометрия в какой-то мере больше развивает способность мыслить и анализировать.
Мне как репетитору хочется дать больше задачек разноплановых, но на одну тему, большему научить. Но я сталкиваюсь со сложностью ребенка в понимании с чего начать, с его банального страха начать и с нехваткой времени! А если еще и пропускаются занятия, то пиши пропало. За стандартные 60 минут моего урока в среднем хватает времени на 3-4 задачи, это катастрофически мало для выработки навыка у ученика. Отсюда и неудовлетворительные оценки.
Задач великое множество – стоит только развязать мне руки. Но успею ли я разобрать хотя бы с десяток разных задач на окружность, вписанную в треугольник, если в школьной программе на эту тему отводится что-то в 1-2 урока?
И вместо того, что неспешно посидеть на одной теме и разобрать ее, школьная программа неумолимо летит вперед. И так постоянно. Программа бежит, разброс по видам задач растет, а у меня и ученика времени все меньше и меньше (а если еще и ребенок часть занятий пропустил). Это я молчу о масштабном повторении, куда там. И я мало чего могу изменить в такой ситуации, поскольку дополнительное время просто неоткуда брать. Родители, как правило, ограничивают репетитора, выделяют всего-то один—два раза в неделю.
Спросите у своего ребенка, сколько теорем они доказали в классе? Как часто кто-либо вызывается к доске для ответа по теории? Предположу, что большинство учеников ответят так: «А мы теорем вообще не доказываем. Мария Ивановна иногда что-то у доски пишет, но нас не спрашивает».
Геометрия — наиболее требовательная наука к логике ее изложения. Эх, дали бы мне идеальные условия работы. Под идеальными условиями занятий я понимаю тот режим занятий, при котором будет возможность потратить столько времени, сколько потребуется.
Еще одна причина массовой безграмотности по геометрии — отсутствие отдельного экзамена. Когда я сама учился в школе, наша математик каждый урок устраивала опрос по теории. Она мола вызвать к доске сразу несколько учеников и каждому дать свою задачу на доказательство.
Где сейчас в самом обычном классе встретишь такую работу? А что говорить про экзамены? На ДПА по математике присутствует всего лишь одна более—менее серьезная геометрическая задачка, которую можно и пропустить. Все равно при одном нерешенном номере работу оценят на 12 баллов.
Я обычно пытаюсь что-то исправить в сложившейся ситуации, но, если ребенок приходит поздно или режим занятий не способствует применению моих методик — результат будет практически нулевым. Чем хочу подытожить: не оставляйте все на последний момент, не ставьте себя и репетитора в условия, когда уже поздно разбираться и приходится жертвовать геометрией, чтобы не упустить алгебру. Не пропускайте занятия на каникулах. Анализируйте свои оценки в школе. За что стоит, например, 2 по самостоятельной. Какие ошибки допущены. Воспитательная это двойка или за знания? И делайте работу над ошибками! Под лежачий камень вода не течет. 🙂
Может кому-то и нужно объяснение специальное, ХЗ. Но лично мне, напротив, легче воспринимать инфу из специальных источников вроде учебников, книг, методичек и пр.
По той же математике учитель потом ставила оценки, когда самостоятельно решали задачи. Передаёшь тетрадь и она сразу проверяет решение и ставит оценку. Я обычно не выёбывался подобным, мне хватало обычных оценок. Но как-то помню, что напало какое-то вдохновение и я решила быстрее всех задачи, четыре подряд и получил четыре пятёрки за один урок. Это было забавно, конечно. Ведь учитель по правилам всё и поставила. Но больше я так не страдал. ХЗ. Как-то неловко было и азарт подобный более не нападал.
И да. насчёт думать, а не тупо как мартышка следовать шаблону. Также помнится случай. Был какой-то срез. В моём варианте нужно было описать проекцию на плоскость, когда другая плоскость будет усекать конус, проходя через него параллельно основанию. Ну, в общем, сечение в виде круга. В учебнике так и было описано. Но есть простой частный случай, когда плоскость будет проходить через вершину конуса параллельно основанию, тогда проекцией будет точка. Т.е. окружность вырождается в точку в данном конкретном случае. В учебнике не было этого, но это было очевидно для меня. На сл. уроке, в начале самом при анализе среза, учитель меня подняла. Мне это показалось странным, мол, какого хрена, вроде не должен был в срезе накосячить. Но вот она обратила на это внимание. Оказалось, что я единственный в классе, который описал данный случай и поэтому она мне поставила дополнительную пятёрку за то, что я подумал своей башкой, а не тупо скопировал так как в учебнике. С учителем мне повезло, конечно. Всякие дополнительные занятия тоже были интересные.
Ты описываешь в своём посте норм проблему. Но тут ещё есть важный момент насколько я себе представляю. Родители. Да-да. Они самые. Если родитель не может, например, в геометрию, сам балду пинал на уроках или «усё забыл за долгие годы», то почему ребёнок вот прямо счас должен всё одуплять? Может начать с этого момента тоже. Пусть родители показывают на своём примере, что оказывается они что-то сами соображают, подсказывают. Спустя десятки лет после школы, кто мешает открыть учебник и освежить свою память? Кстати, это полезно как профилактика всякой хуеты старческой. Да-да, я понимаю, что родители заняты и пр., поэтому они и нанимают репетиторов, которые понимаю и ориентируются в данных темах лучше. Но! Тут другой вопрос. Нужно показать на своём примере ребёнку, что учиться незазорно, это не мучение и пр. Мол, я вот тоже всё забыл, давай вместе посмотрим что там у тебя. 15-20 мин уделил, пошёл своими делами заниматься, а потом ребёнок сам включится. Если взять это за правило, то думаю, что будет меньше проблем с учёбой у ребёнка. А ещё лучше, если ты знаешь как эти знания применить на практике, как показать ребёнку их важность. Например, вот гуляете вы с ребёнком и видите дорожку протоптанную (чтобы срезать), просто сакцентируйте на этом внимание ребёнка, мол, смотри почему же люди тут дорожку топчат. Очевидно, чтобы было короче проходить и сэкономить лишние секунды. А почему всё-таки короче? Потому что это типичный невырожденный треугольник. А в евклидовой геометрии в невырожденном треугольнике, как мы знаем, сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей. Вот так вот просто. И для многого можно найти некоторое практическое применение, если не вдаваться в абстракцию. Это важно, я полагаю, на раннем этапе, это поможет ребёнку заинтересоваться, находить объяснения процессам и явлениям. Разве это сложно?
Алгебра и геометрия в 7 классе, как всё знать
Что делать, если ребенок не понимает алгебру и геометрию в седьмом классе? Как решебники и ГДЗ способны заменить репетитора.
Реально ли выучить алгебру и геометрию в 7 классе без репетитора
Каждый учащийся постоянно слышит о том, что повторять пройденный материал необходимо систематически. Но по разным причинам это не всегда получается. И наступает момент, когда совершенно непонятно, что происходит на уроках алгебры и геометрии. Эти предметы имеют характерную черту – новые темы обязательно опираются на предыдущие. И достаточно одного пропуска, чтобы непонимание, как лавина, потянуло за собой неуспеваемость.
Чтобы подтянуть знания чаще всего рекомендуются занятия с репетитором. Но этот вариант не всем подходит. Неужели нереально выучить алгебру и геометрию самостоятельно? Нет ничего не возможного, когда под рукой решебник по алгебре для 7 класса под редакцией Макарычева. Также на помощь приходят ГДЗ, главное уметь правильно ими пользоваться.
Изучаем алгебру без слез
Это один из самых сложных предметов, изложенный сухим языком с массой формул и правил. Здесь мало просто вызубрить, материал необходимо понять. Особое внимание необходимо уделить решению практических задач, ответы на которые красноречиво указывают, есть ли пробелы в знаниях. Важно не торопиться и постепенно переходить от простого к сложному. Если какая-то тема осталась непонятой, ее необходимо разобрать самостоятельно. Поможет в этом решебник под редакцией Макарычева.
Этот учебник отличное пособие для самопроверки, так как в нем можно найти все подсказки. Материал изложен максимально доступно, что позволяет семиклассникам понять тему, даже если урок был пропущен по болезни. Также к решебнику есть ГДЗ, где все задания уже решены и имеют обязательные разъяснения по ходу выполнения работы. В процессе изучения можно обнаружить непонятные для себя выражения, их нельзя оставлять без внимания. Если вникнуть в слово или предложение самостоятельно не получилось, необходимо задать вопрос учителю на уроке и попросить их объяснить.
Готовые домашние задания по геометрии в помощь родителям
Редко кто из родителей может самостоятельно вспомнить и решить упражнения практикума по геометрии в седьмом классе. Им в помощь были создано ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасяна Л.С. Пособие включает в себя четыре объемных главы, где собраны все рассматриваемые в школе темы. С помощью учебника можно изучить:
Отдельный раздел в решебнике отведен разбору задач повышенной сложности и примерам на повторение пройденного материала. Детальный алгоритм решения позволит не только подготовиться к следующему уроку семиклассникам, но и восполнить пробелы в знаниях всем тем, кто готовится к ЕГЭ.
Особенно удобно то, что оба этих учебника можно найти онлайн на сыйте gdzplus. Просмотреть нужную информацию можно просто воспользовавшись смартфоном или любым другим подходящим гаджетом. Пошаговые алгоритмы, разобранные в решебниках позволят сэкономить на найме репетитора и убрать пробелы в знаниях.
Основы геометрии
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.
Все эти фигуры обладают двумя свойствами:
Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.
У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.
Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).
Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.
Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.
Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.
Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — 
,
то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).
Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.
Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.
Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.
Первый признак равенства треугольников звучит так:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.
Подобные треугольники
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Треугольники АВС и A1B1C1 будут подобны, если
Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A1B1C1 подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA1B1C1.
Теорема о первом признаке подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.
На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.
Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.
Классификация треугольников по их сторонам
Для классификации треугольников можно использовать их типологию.
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Свойства прямоугольного треугольника
С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Взаимодействие объектов
Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.
Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.
Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.
На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.
Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:
Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.
На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.
В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.
Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.