что значит матрица положительно определена

Русские Блоги

Определение и различение положительной определенной матрицы и полуположительной определенной матрицы

1. Положительно определенная матрица и положительная полуопределенная матрица

Если все значения признаков больше нуля, это называется положительно определенным.

Определение: A является квадратной матрицей порядка n, если для любого ненулевого вектора x существует> 0, гдеПредставляя транспонирование x, мы называем A положительно определенной матрицей.

В соответствии с определением и природой положительно определенных матриц, существует два способа оценить положительную определенность симметричной матрицы A:

Найти все собственные значения А. Если все характерные значения A являются положительными числами, то A является положительно определенным, если все характерные значения A являются отрицательными числами, то A является отрицательно определенным.

Рассчитайте основные подформы каждого порядка A. Если основные подформы каждого порядка A больше нуля, то A является положительно определенным, если основные подформы каждого порядка A являются основными подформ нечетного порядка, отрицательны и четны, то A отрицательно определен.

2. Положительная полуопределенная матрица

Если все собственные значения не меньше нуля, оно называется положительным полуопределенным.

Для положительных полуопределенных матриц соответствующие условия должны быть изменены на все неотрицательные основные подформы. Последовательные основные подформы не являются отрицательными и не могут быть выведены, что матрица является положительной полуопределенной.
Природа:

Интеллектуальная рекомендация

[Makefile от более мелких к более глубоким полная запись обучения 4] Переменные и различные методы присвоения

Давайте сегодня узнаем о различных методах присваивания переменных в Makefile! Смысл тяжелой работы, чтобы бедность больше не ограничивать свое воображение! Добавьте QQ, чтобы вместе учиться и обменив.

[Luogu P3147] [BZOJ 4576] [USACO16OPEN]262144

Портал Луогу БЗОЙ Портал Описание заголовка Bessie likes downloading games to play on her cell phone, even though she doesfind the small touch screen rather cumbersome to use with her large hooves. Sh.

Источник

Дискретно-непрерывная математика (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158

Матрицы со специальным свойством положительности, иллю­стрируемым этими примерами, являются предметом исследова­ния в данной главе. Эти матрицы возникают в многочисленных приложениях: в гармоническом анализе, комплексном анализе, теории колебаний механических систем и, кроме того, во многих разделах самой теории матриц, например при сингулярном раз­ложении матрицы или решении линейных задач метода наи­меньших квадратов.

Эрмитова -матрица А называется положительно определенной, если

(21.1.1)

Если ослабить (21.1.1) заменой знака > на ≥, то А будет на­зываться положительно полуопределенной. В сами определяю­щие неравенства (21.1.1) уже неявно заложено требование, чтобы А была эрмитовой, поскольку левая часть должна быть веще­ственным числом при всех х. Разумеется, если А положительно определена, то она будет в то же врeмя положительно полуопределениой.

Упражнение. Что означают свойства положительной опреде­ленности и полуопределенности при п = 1?

Упражнение. Пусть и пусть произведение х*Ах вещественно для любого Доказать, что А — эрмитова матрица. Таким образом, вводя свойство положительной определенности, можно не требовать, чтобы матрица А была эрмитовой. Тем не менее, этого обычно требуют. Указание. Представить А в виде где В и С эрмитовы.

Упражнение. Пусть А — вещественная матрица из Мп, и пусть произведение положительно для любого ненулевого вектора Показать, что матрица А не обязана быть симметричной и, следовательно, положительно определенной. Ука­зание. Рассмотреть вещественную кососимметричную матрицу А и вычислить Чему в этом случае равно Что можно сказать о если х — комплексный вектор?

Упражнение. Показать, что матрица положительно

полуопределена, но не является положительно определенной.

Упражнение. Показать, что если положительно определена, то это же верно для матриц и А-1. Указание. Если то

Аналогичным образом можно ввести термины отрицательно определенная и отрицательно полуопределенная матрица: до­статочно изменить в определении (21.1.1) знак неравенства на противоположный или, что эквивалентно, потребовать, чтобы матрица —А была соответственно положительно определенной или положительно полуопределенной. Таким образом, всякое утверждение относительно отрицательно определенных матриц отражает зеркальным образом утверждение относительно поло­жительно определенных матриц. Если эрмитова матрица не принадлежит ни одному из указанных выше классов (т. е, левая часть (21.1.1) может принимать и положительные, и отри­цательные значения), то ее называют незнакоопределенной.

Из свойства матрицы быть положительно определенной сразу вытекает несколько следствий; каждое из них имеет ана­лог для положительно полуопределенных матриц.

21.1.2. Утверждение. Всякая главная подматрица положи­тельно определенной матрицы сама положительно определена.

Доказательство. Пусть S — собственное подмножество мно­жества Обозначим через A(S) матрицу, получен­ную из положительно определенной матрицы удале­нием строк и столбцов с номерами, дополнительными к S. Тогда A(S) — главная подматрица матрицы А, и все главные подмат­рицы могут быть получены этим путем. Напомним, что число det A(S) есть главный минор матрицы А. Пусть — нену­левой вектор, в котором компоненты, индексированные множе­ством S, произвольны, а остальные компоненты нулевые. Пусть x(S) — вектор, получающийся из х удалением (нулевых) компо­нент с номерами, дополнительными к S. Заметим, что

Поскольку x(S) — произвольный ненулевой вектор, это означает, что матрица A (S) положительно определена.

Упражнение. Показать, что диагональные элементы положи­тельно определенной матрицы суть положительные числа.

21.1.3. Утверждение. Сумма любых двух положительно опре­деленных матриц одинакового порядка является положительно определенной матрицей. Более общо, любая неотрицательная линейная комбинация положительно полуопределенных матриц сама положительно полуопределена.

Доказательство. Пусть А и В положительно полуопределены, и пусть числа а, b неотрицательны. Заметим, что для любого справедливо

Случай большего числа слагаемых рассматривается аналогич­ным образом. Если коэффициенты положительны, матрицы А и В положительно определены и вектор х ненулевой, то каждый член указанной выше суммы положителен. Таким образом, по­ложительная линейная комбинация положительно определенных матриц сама положительно определена.

Итак, множество положительно определенных матриц есть положительный конус в векторном пространстве всех матриц.

21.1.4. Утверждение. Каждое собственное значение положи­тельно определенной матрицы положительно.

Доказательство. Пусть А положительно определена, и х — собственный вектор матрицы А, отвечающий λ. Тогда

Поэтому собственное значение положительно как отношение двух положительных чисел.

21.1.5. Следствие. След, определитель и все главные миноры положительно определенной матрицы положительны.

Доказательство. След и определитель являются соответствен­но суммой и произведением собственных значений. Остальное следует из утверждения 21.1.2.

Упражнение. Показать, что собственные значения, след, опре­делитель н главные миноры положительно полуопределенной матрицы суть неотрицательные числа.

Упражнение. Показать, что собственные значения и след отрицательно определенной матрицы порядка п отрицательны, а определитель отрицателен для нечетных п и положителен для четных.

Упражнение. Показать, что если матрица положительно определена, то (Указание. Восполь-

зоваться свойством detA>0.) Вывести отсюда, что для поло­жительно определенной матрицы при всех

Показать, что в случае, если А лишь положительно полуопределена, знак > в этом неравенстве нужно заменить на

21.1.6. Утверждение. Пусть матрица положительно определена. Если то матрица С*АС положительно полуопределена. Кроме того, rank (С*АС) = rank С, так что С*АС положительно определена тогда и только тогда, когда С имеет ранг т.

Доказательство. Прежде всего заметим, что матрица С*АС эрмитова. Для любого имеем где

а неравенство есть следствие положительной опреде­ленности матрицы А. Итак, матрица С*АС положительно полу­определена. Далее замечаем, что, поскольку А положительно определена, неравенство равносильно условию

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Положительно определенная матрица

Последний раз редактировалось Ward 05.02.2015, 16:42, всего редактировалось 5 раз(а).

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Как доказать следующее утверждение: Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица такая, что

Я знаю, что квадратичная функция положительно определена тогда и только тогда, когда ее ранг и сигнатура равны .
Кроме того, матрицы билинейного функционала в разных базисах связаны таким соотношением: , где — матрица перехода от одного базиса к другому.
Вот как все это связать чтобы получить то, что мне нужно я не знаю. Помогите в этом пожалуйста.

P.S. Надеюсь меня выпустят из карантина.

Модератор

— отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Модератор

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 05.02.2015, 17:07, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось Ward 05.02.2015, 17:11, всего редактировалось 1 раз.

Уважаемый ewert
Да справа налево тупо подставляем и получаем то, что нам нужно.
Но дело в том, что такой теоремы еще не было, а появится она немного позднее.

Вроде в книжке сказано, что при доказательства необходимости нужно использовать:
1) Нужно использовать формулу изменения матрицы при переходе от одного базиса к другому.
2) Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ранг и сигнатура равны размерности пространства .

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 05.02.2015, 17:25, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось takeover 05.02.2015, 17:34, всего редактировалось 2 раз(а).

Последний раз редактировалось Ward 05.02.2015, 17:53, всего редактировалось 1 раз.

Все-таки базис рассматривается ортонормированный?

А я думал, что написанное мной равенство верно в любом базисе.
Получается, что только в ортонормированном?

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Что значит матрица положительно определена

Если матрица (10.12) является положительно определенной, т. е. имеет только положительные собственные значения, то модель (10.2) лучше оценивает параметр р, даже если на самом деле верна модель (10.1). [c.246]

Можно показать, что матрица вида (10.12) является положительно определенной в том и только том случае, если выполняется условие [c.247]

Матрица А 1, обратная к А, также симметрическая и положительно определенная. [c.273]

Ниже приводится важная теорема, касающаяся положительно определенных матриц. [c.36]

Понятие о положительно (неотрицательно) определенных матрицах было введено в 6. Мы уже видели, что матрицы АА и А А — неотрицательно определенные, и по теореме 8 собственные значения положительно (неотрицательно) определенной матрицы положительны (неотрицательны). Представим еще ряд свойств положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.45]

Пусть А — положительно определенная матрица, а В — неотрицательно определенная. Тогда [c.45]

Пусть А — положительно определенная матрица и В — симметрическая матрица того же порядка. Тогда существуют невырожденная матрица Р и диагональная матрица Л, такие что [c.46]

Для двух симметрических матриц А и В мы будем писать А В (или В Л), если матрица А — В — неотрицательно определенная, и А > В (или В В тогда и только тогда, когда В 1 > А 1. [c.46]

Пусть Аи В — положительно определенные матрицы, причем А — В — неотрицательно определенная. Тогда А В, причем неравенство выполняется как равенство тогда и только тогда, когда А = В. [c.47]

Пусть А — положительно определенная матрица с единичным определителем, А = 1. Если при этом / — А — неотрицательно определенная, то А = I. [c.47]

ТРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ МАТРИЦ [c.47]

Пусть А — положительно определенная матрица порядка п, а В — квадратная матрица порядка п + 1 вида [c.47]

Ср. упр. 11.2.) Утверждение (i) теоремы — прямое следствие (5). Чтобы доказать (п), отметим, что В > 0 тогда и только тогда, когда а — b A lb > О (из (5)), что выполняется тогда и только тогда, когда матрица Р ВР положительно определена (из (4)). Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда В — положительно определенная. П [c.48]

По индукции из теоремы 27 немедленно вытекает следующий результат. Теорема 28 Если А = (aij) — положительно определенная матрица порядка п, то [c.48]

Если А — положительно определенная матрица порядка п, то, в соответствии с теоремой 28, [c.49]

Доказать, что если А — положительно определенная матрица, то А + А 1 — 21 — неотрицательно определенная. [c.51]

Доказать, что собственные значения Л матрицы (А + В) 1 А, где А — неотрицательно определенная, а В — положительно определенная, удовлетворяют соотношению 0 Л И определяется как ф(х) = х Ах. Находим первый дифференциал [c.167]

Пусть а — п х 1 вектор и А — положительно определенная матрица порядка п. Доказать, что [c.176]

Показать, что обращение матриц является матрично выпуклым на множестве положительно определенных матриц, т. е. показать, что матрица [c.284]

Показать, что log A tr A — п для любой положительно определенной матрицы А порядка п, причем равенство достигается лишь в случае А = 1п. [c.300]

Таким образом, и здесь положительная определенность матрицы (10.12) означает ббльшую предпочтительность короткой модели (10.2) — даже, если истинное значение параметра у не [c.246]

Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы. [c.273]

Определитель этой матрицы называется гессианом. Характеристика Г.м. (ее отрицательная или положительная определенность и полуопределенность) служит условием для определения вида стационарной точки является ли она соответственно максимумом, минимумом или седловой точкой в задаче оптимизации функции. [c.60]

Шестая часть посвящена оценкам максимального правдоподобия, которые, конечно, являются идеальным объектом для демонстрации мощи развиваемой техники. В первых трех главах исследуется несколько моделей, среди которых есть многомерное нормальное распределение, модель с ошибками в переменных и нелинейная регрессионная модель. Рассматриваются методы работы с симметрией и положительной определенностью, специальное внимание уделено информационной матрице. Вторая глава этой части содержит обсуждение одновременных уравнений при условии нормальности ошибок. В ней рассматриваются проблемы оценивания и идентифицируемости параметров при различных (не)линейных ограничениях на параметры. В этой части рассматривается также метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) и метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML), особое внимание уделено выводу асимптотических ковариационных матриц. Последняя глава посвящена различным проблемам и методам психометрики, в том числе методу главных компонент, мультимодальному компо- [c.16]

Доказательство (существование). Пусть А — т х п матрица с г (А) = г. Если г = 0, тоЛ = 0,и для Л+ = 0 выполнены все четыре условия определения. Поэтому можно считать, что г > 0. В силу теоремы 1.16 существуют полуортогональные матрицы S и Т и положительно определенная диагональная матрица Л порядка г, такие что [c.60]

Источник