что значит метод интервалов

Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 x + 3

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции, а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f ( x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f ( x ) x − 2)( x + 7) x − 2)( x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f ( x ) = ( x − 2)( x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

( x − 2)( x + 7) x + 9)( x − 3)(1 − x ) x + 9)( x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f ( x ) = ( x + 9)( x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

( x + 9)( x − 3)(1 − x ) f ( x ) x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

( x − 1)(2 + x )(7 − x ) f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x );
( x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

Требуется найти знак функции f ( x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность, т.е. +∞.

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f ( x ) = −1 и f ( x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x )

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: ( x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

( x − 1)(2 + x )(7 − x ) x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x (2 x + 8)( x − 3) = 0;
x = 0;
2 x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f ( x ) = x (2 x + 8)( x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

Источник

Метод интервалов: случай нестрогих неравенств

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

Определение квадратного неравенства

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Неравенство примет вид:

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Метод интервалов, примеры, решения

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Приведем несколько примеров таких неравенств:

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак « + ».

Теперь обратимся к примерам.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.

Источник

Метод интервалов (ЕГЭ 2022)

Метод интервалов тебе просто необходимо понять и знать его как свои пять пальцев!

Хотя бы потому, что он применяется для решения рациональных неравенств.

И потому, что, зная этот метод как следует, решать эти неравенства на удивление просто.

Чуть позже раскрою тебе пару секретов, как сэкономить время на решении этих неравенств.

Ну что, заинтриговал? Тогда поехали!

Метод интервалов — коротко о главном

Метод интервалов применяется для решения рациональных неравенств.

Он заключается в определении знака произведения по знакам сомножителей на различных промежутках.

Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов:

Суть метода интервалов

Суть метода в разложении неравенства на множители (повтори тему «Разложение на множители»), определении ОДЗ и знака сомножителей.

Возьмем самый простенький пример: \( (x+1)\cdot (-2)>0\).

Области допустимых значений (ОДЗ) здесь писать не надо, поскольку деления на переменную нет, и радикалов (корней) здесь не наблюдается.

На множители здесь все и так разложено за нас. Но не расслабляйся, это все, чтоб напомнить азы и понять суть!

Допустим, ты не знаешь метода интервалов, как бы ты стал решать это неравенство? Подойди логически и опирайся на то, что уже знаешь.

Во-первых, левая часть будет больше нуля если оба выражения в скобках либо больше нуля, либо меньше нуля, т.к. «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс», так?

А если знаки у выражений в скобках разные, то в итоге левая часть будет меньше нуля.

А что же нам нужно, чтоб узнать те значения \( x\), при которых выражения в скобках будут отрицательными или положительными?

Нам нужно решить уравнение, оно точно такое же как неравенство, только вместо знака «\( >\)» будет знак «\(=\)«.

Корни этого уравнения и позволят определить те пограничные значения, при отступлении \( x\) от которых множители \( (x+1)\) и \( (-2)\) будут больше или меньше нуля!

А теперь сами интервалы.

Что такое интервал?

Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежутки в голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются, т.к. знак в неравенстве \( >\), а не \(\ge\), то есть строго больше, а не больше или равно.

Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси.

Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты.

Возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

Взгляни еще раз на неравенство \( (x+1)\cdot (-2)>0\).

Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией в моем примере обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно?

Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно.

Ну, раз ты с этим разобрался, то дело за малым – записать ответ!

В ответ пишем те промежутки, при которых левая часть больше нуля, \( x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\), что читается, как икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одного и от двух до плюс бесконечности.

Теперь пример, в котором тебе придется не только интервал рисовать.

Пример 1

\( (<^<2>>-1)\cdot (-3)

Пришло время раскрыть тебе один секрет, который я обещал еще в начале этой темы!

Можно не подставлять значения из каждого интервала для определения знака, а определить знак в одном из интервалов, а в остальных просто чередовать знаки!

Таким образом, мы сэкономили немного времени на проставлении знаков – думаю, это выигранное время на ЕГЭ не помешает!

Пример №2

Теперь рассмотрим пример дробно-рационального неравенства – неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями (см. «Рациональные уравнения»).

Что можешь сказать про это неравенство? А ты взгляни на него как на дробно-рациональное уравнение, что делаем в первую очередь?

Сразу видим, что корней нет, значит точно рациональное, но тут же дробь, да еще и с неизвестным в знаменателе!

Источник

• ← что значит сокет am3
• что делать если малыш икает после кормления новорожденный →