Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
AB * AC = AE * AD Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Как решаем: окружность 360° − ⌒AC − ⌒CB = 360° − 200° − 80° = 80° По теореме: вписанный угол равен дуге ½. ㄥACB = ½ ⌒AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол. На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140° Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ ⌒AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
⌒СB = ⅕ от 360° = 72° Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от ⌒CB = 72° / 2 = 36°
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура
Рисунок
Теорема
Вписанный угол
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности.
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности.
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
Фигура
Рисунок
Теорема
Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Угол, образованный касательной и секущей
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Угол, образованный двумя касательными к окружности
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :
Следствие
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
\(\blacktriangleright\) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;
\(\blacktriangleright\) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; \[\alpha = \dfrac<1><2>\buildrel\smile\over\]
\(\blacktriangleright\) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac<1><2>\left(\buildrel\smile\over-\buildrel\smile\over\right)\]
\(\blacktriangleright\) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; \[\alpha = \dfrac<1><2>\left(\buildrel\smile\over+\buildrel\smile\over\right)\]
\(\blacktriangleright\) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;
\(\blacktriangleright\) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;
\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\) ;
\(\blacktriangleright\) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.
Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то
Планиметрические задачи на применение теоремы об углах в окружности встречаются в ЕГЭ из года в год. Как правило, данная тема подробно рассматривается в 8—9 классе. В связи с этим у выпускников часто возникает потребность в повторении основных теорем про углы в окружности. Поскольку подобные задачи часто включаются и в базовый, и в профильный уровень экзамена, знать алгоритм их выполнения должны абсолютно все учащиеся, независимо от уровня подготовки. Освежив в памяти базовую теорию и практические примеры, в которых применяется теорема о внешнем угле окружности, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Готовьтесь к прохождению аттестационного испытания вместе с образовательным порталом «Школково»!
Часто процесс поиска нужного источника, в котором представлена вся необходимая информация, отнимает достаточно большое количество времени. Учебник далеко не всегда есть под рукой. А найти нужные формулы нередко оказывается проблематично даже в Интернете.
Отточить навыки и улучшить собственные знания в таком непростом разделе геометрии, как планиметрия, а также по задачам по теме «Центральные и вписанные углы окружности», вам поможет наш образовательный портал. «Школково» предлагает учащимся и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого государственного экзамена.
Чтобы задачи ЕГЭ на применение теоремы о дугах окружности и углах давались легко, мы рекомендуем прежде всего повторить определения и основные правила. Сделать это вы можете, посетив раздел «Теоретическая справка». Здесь наши специалисты изложили материал, подготовленный специально для старшеклассников с различным уровнем подготовки. А для закрепления полученных знаний мы предлагаем выполнить соответствующие упражнения. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Мы сгруппировали как простые, так и более сложные задания и для каждого из них прописали алгоритм решения и правильный ответ. База задач в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.
Выполнять упражнения на образовательном портале «Школково» могут все старшеклассники независимо от того, в каком регионе нашей страны они проживают. При необходимости любое задание может быть сохранено в разделе «Избранное». Это позволит выпускнику в дальнейшем быстро его найти и, к примеру, обсудить алгоритм решения со школьным преподавателем или репетитором.
